Йэн Стюарт – Это база: Зачем нужна математика в повседневной жизни (страница 59)

Слева: на торе некоторые замкнутые кривые являются границами, а некоторые нет. Справа: на сфере все замкнутые кривые являются границами

В эту игру можно играть и при более высоких размерностях. Например, в трех измерениях можно заменить «замкнутую кривую» на «(топологически) сферическую поверхность», а «ограничивает диск» на «ограничивает шар». Если вы сумеете найти сферу, которая не ограничивает шар, это будет означать, что в пространстве имеется трехмерное отверстие. Если вы хотите пойти дальше и определить это отверстие, то знайте, что еще первые топологи обнаружили возможность складывать и вычитать замкнутые кривые, или сферы. Я расскажу, как это происходит с кривыми на поверхностях, для более высоких размерностей все аналогично, но более хлопотно.

Цикл на торе

По существу, вы складываете две замкнутые кривые, когда рисуете их на одной поверхности. Чтобы сложить целое множество кривых, следует нарисовать их все. Существуют, правда, технические тонкости: часто полезно бывает рисовать вдоль кривой стрелочку, обозначая ее ориентацию, а одну и ту же кривую можно рисовать много раз и даже отрицательное число раз. Это почти то же самое, что рисовать обратную ей кривую (та же кривая, противоположная ориентация) положительное число раз, в смысле, который я скоро объясню.

Множество кривых, помеченных числами, которые показывают, сколько раз нужно нарисовать каждую из них, называется циклом. На поверхности существует бесконечное число возможных циклов, но топологически многие из них эквивалентны друг другу. Итак, я только что сказал, что минус цикл – это тот же цикл, где все стрелочки перевернуты. На самом деле это не совсем верно, потому что «тот же» означает «идентичный», а циклы эти не идентичны. Но мы можем сделать их одинаковыми, применив топологический вариант фокуса, который проделывают специалисты по теории чисел в модулярной арифметике. Там, хотя числа 0 и 5 не одинаковы, мы можем сделать вид, что они одинаковы для определенных целей, и получить кольцо Z₅ целых чисел по модулю 5. В теории гомологий мы проделываем фокус того же рода и делаем вид, что любая замкнутая кривая, которая ограничивает диск, – то же самое, что нулевая кривая, и не рисуем ни одной ее копии. Такую кривую называют границей и говорят, что она гомологична нулю. Эта же идея распространяется и на циклы: цикл гомологичен нулю, если представляет собой комбинацию кривых, каждая из которых является границей.

Мы можем сложить циклы C и D и получить C + D, как уже описывалось, а можем вычесть один из другого, перевернув стрелочки в цикле D, и получить C – D; правда, C – С не обязательно должно равняться 0. Это раздражает, но выход есть: эта разность всегда гомологична нулю. Если мы сделаем вид, что все гомологичное нулю равно нулю, то получим прекрасный алгебраический объект, называемый группой гомологий на поверхности. В результате мы производим алгебраические операции над циклами по модулю (то есть игнорируя) границ. Точно так же, как мы занимаемся арифметикой (mod 5), игнорируя числа, кратные 5.

Это и есть гомология.

Группа гомологий сферы тривиальна: каждый цикл гомологичен нулю и группа состоит только из одного 0. Группа гомологий тора не тривиальна: некоторые циклы в ней не гомологичны нулю. Оказывается, каждый цикл гомологичен целому кратному цикла, обозначенного на рисунке как «не граница», так что группа гомологий тора представляет собой замаскированное множество целых чисел Z. Я не буду ничего считать и рисовать диаграммы, но группа гомологий бутылки Клейна – это Z₂ × Z₂, пары (m, n) целых чисел по модулю 2. Так что у бутылки тоже имеется отверстие, но это отверстие иного рода, чем отверстие в торе (ну, не совсем в нем).

Я рассказал вам о довольно сложной конструкции – группе гомологий – не без причины: мне хотелось дать вам представление о том, как топологи строят инварианты. Но единственное, что вам следует вынести отсюда, – это мысль о том, что у каждого пространства имеется группа гомологий, что это топологический инвариант и что с его помощью можно многое выяснить о форме пространства. В топологическом смысле.

Понятие группы гомологий восходит к новаторским исследованиям Энрико Бетти и Пуанкаре, проводившимся в конце XIX века. Их подход состоял в подсчете топологических особенностей, таких как отверстия, но в конце 1920-х годов он был переведен на язык теории групп стараниями Леопольда Вьеториса, Вальтера Майера и Эмми Нётер, а вскоре появились и широкие обобщения. То, что я называю просто группой гомологий, – это всего лишь первая из целого ряда таких групп, определяющих алгебраическую структуру отверстий размерности 1, 2, 3 и т. д. Существует также парное понятие когомологии и родственное понятие гомотопии, связанное скорее с тем, как кривые трансформируются и соединяются конец к концу, а не с тем, какое отношение они имеют к границам. Пуанкаре понимал, что эта конструкция дает группу, в которой, как правило, не выполняется перестановочный закон. Сегодня алгебраическая топология – это громадная узкоспециализированная область, где продолжают открывать новые топологические инварианты.

Существует также стремительно растущая область, известная как прикладная топология. Поскольку новое поколение математиков и физиков знакомо с топологией практически с детства, для них она оказывается куда менее странной и пугающей, чем была в свое время для старшего поколения. Они бегло говорят на языке топологии и видят новые возможности применения ее для решения практических задач. Бутылка Клейна в зрительной системе – пример с передовых позиций биологии. В материаловедении и радиоэлектронике можно найти такие понятия, как топологические изоляторы: это материалы, которые можно переводить из проводящего состояния в непроводящее, меняя топологию их электрических свойств. Топологические качества, сохраняющиеся при деформациях, очень стабильны.

Одна из наиболее перспективных концепций прикладной топологии возникла, когда специалисты по чистой математике пытались написать алгоритмы, которые позволили бы компьютеру вычислять группы гомологий. Им удалось это сделать, переписав определение группы гомологий так, чтобы оно больше подходило для компьютерных вычислений. Впоследствии эти идеи оказались эффективным новым методом анализа «больших данных». При этом чрезвычайно модном подходе ко всем областям науки компьютеры используются для поиска скрытых закономерностей в численных данных. Как явствует из названия, он работает лучше всего с очень большими объемами данных. К счастью, современные датчики и электроника чрезвычайно хорошо умеют измерять, хранить и манипулировать гигантскими объемами данных. К несчастью, мы часто понятия не имеем, что делать с этими данными после того, как собрали их, но именно здесь и кроются математические загадки больших данных.

Предположим, вы наизмеряли миллионы чисел и принципиально представляете их как своего рода облако точек в многомерном пространстве переменных. Чтобы извлечь из этого облака данных осмысленные закономерности, необходимо найти выраженные структурные особенности. Первостепенна среди них форма облака. Ее невозможно определить, просто нанеся точки на экран и посмотрев на них, – может оказаться, что вы смотрите не с того направления, или важные группы точек затенены другими точками, или число переменных слишком велико, чтобы зрительная система нормально их обрабатывала. Но, как мы уже видели, «Какой это формы?» – фундаментальный вопрос в топологии. Поэтому резонно предположить, что топологические методы могут помочь отличить, скажем, примерно сферическое облако данных от тороидального с отверстием в нем. Что-то отдаленно похожее на это мы делали для проекта FRACMAT из главы 8. Там важно было, насколько компактно облако точек и является ли оно округлым или вытянутым. Более тонкие топологические детали значения не имели.

Невозможно разобраться в топологии миллиона точек данных вручную: необходимо использовать компьютер. Но компьютеры сконструированы не для того, чтобы анализировать топологию. Так что методы, которые специалисты по чистой математике разрабатывали для компьютерных расчетов групп гомологий, были перенесены в область больших данных. И, как всегда, в готовом виде они не делали работу полностью. Их нужно было адаптировать к новым требованиям больших данных, главное из которых – то, что форма облака данных не является четко определенной. Она зависит, в частности, от масштаба, в котором вы рассматриваете облако.

Представьте, например, шланг, уложенный в бухту. При взгляде с умеренного расстояния сегмент шланга похож на кривую, которая топологически есть одномерный объект. Вблизи он похож на длинную цилиндрическую поверхность. Еще ближе поверхность обретает толщину, более того, вдоль середины цилиндра проходит отверстие. Если отойти и посмотреть издалека, но под широким углом, шланг окажется свернутым как сжатая пружина. А стоит расфокусировать зрение, бухта расплывется в… тор.

Подобного рода эффект означает, что форма облака данных – не постоянное понятие. Так что группа гомологий тоже не такая уж замечательная идея. Вместо этого математики задаются вопросом о том, как воспринимаемая топология облака данных меняется с масштабом наблюдения.