Йэн Стюарт – Это база: Зачем нужна математика в повседневной жизни (страница 60)

Соединение точек данных, разделенных различными расстояниями, создает ряд триангуляций и вскрывает отверстия разных размеров. Постоянная гомология распознает эти эффекты

Начиная с облака и выбранной мерки длины, вы можете создать то, что топологи называют симплексным комплексом. Для этого следует соединить точки попарно ребрами везде, где они оказываются ближе друг к другу, чем предписывает выбранная мерка. Тогда ребра, которые находятся близко друг к другу, окружают треугольники, а треугольники, которые находятся близко друг к другу, окружают тетраэдры и т. д. Многомерный тетраэдр называется симплексом, а набор симплексов, объединенных определенным образом, есть симплексный комплекс. Для нас подойдет и более простое его название «триангуляция». Помните только, что треугольники могут быть любой размерности.

Если у вас есть триангуляция, существуют математические правила вычисления гомологии. Но ведь триангуляция зависит от масштаба наблюдения. Так что и гомология тоже от него зависит. Наш интересный вопрос о форме тогда приобретает вид: как меняется гомология триангуляции с изменением масштаба? Важнейшие особенности формы должны быть менее подвержены изменениям, нежели более неустойчивые черты, которые чувствительны к масштабу. Так что мы можем сосредоточиться на тех аспектах группы гомологий, которые сохраняются при изменениях масштаба. Результирующий инструмент – не просто группа гомологий, а семейство таких групп, по одной на каждый масштаб, – известен как постоянная гомология.

Здесь последовательность из шести рисунков показывает, какие точки соединяются на разных масштабах, при разных мерках длины. С увеличением мерки – а мы при этом видим все более грубые структуры – в начальном облаке отдельных точек начинают формироваться небольшие сгустки, в одном из которых мы видим столь же небольшое отверстие. Это отверстие заполняется, а сгустки растут. Затем сгустки объединяются в кольцо, открывая нашему взору большое отверстие. Его стенки постепенно утолщаются, но само оно остается большим отверстием, пока мерка длины не станет такой большой, что все заполнится целиком. Рисунок схематичен, а подробности, которые добавил бы компьютерный алгоритм, опущены для ясности. Доминантной чертой, существующей на максимальном диапазоне шкал, является большое отверстие в середине.

Штрихкод постоянной гомологии показывает, какие структуры сохраняются на каких масштабах. (Схематично.)

Обратите внимание, что это описание включает в себя не только топологию, но и информацию о расстоянии. Формально топологическое преобразование не обязано сохранять расстояния, но в анализе данных их реальные значения важны не менее, чем общая топологическая форма. Поэтому постоянная гомология обращает внимание не только на топологические, но и на метрические свойства. Один из способов представления информации, полученной при помощи постоянной гомологии, предполагает построение штрихкода, где горизонтальные линии обозначают диапазон масштабов, на которых сохраняются те или иные гомологические черты (такие как отверстия). Например, штрихкод для представленного на рисунке облака точек мог бы выглядеть примерно как штрихкод на рисунке выше. В штрихкоде схематически обобщается информация о том, как топология меняется с масштабом.

Постоянная гомология и ее штрихкоды – все это прекрасно, но для чего они могут пригодиться?

Представьте, что вы управляете бизнесом и ваши офисы располагаются на поляне в лесу. Грабители могут подойти к ним по лесу незамеченными. Поэтому вы устанавливаете вокруг датчики, каждый из которых способен регистрировать движение и поддерживать связь с соседними датчиками, и включаете эту систему по ночам. При появлении кого бы то ни было, законном или нет, датчики должны поднять тревогу, и тогда ваша служба безопасности может пойти на место и выяснить, в чем дело. Или представьте, что вы генерал и управляете военной базой в местности, где активно действуют террористические группы. Вы делаете что-то похожее, только с оружием.

Как гарантировать, что покрытие территории датчиками достаточно, что нет прорех, через которые преступник или террорист мог бы прокрасться внутрь?

Если датчиков немного, вы можете нанести их на карту и визуально оценить распределение. Если число датчиков велико или имеются различные ограничения, обусловленные рельефом местности, то такой метод становится менее реальным. Поэтому нужен способ обнаружения прорех в зоне действия датчиков… Искать прорехи? Похоже, это задача как раз для постоянной гомологии. В самом деле, это одна из тех многочисленных областей, где в настоящее время применяется эта новая идея. Аналогичное применение можно назвать «барьерным покрытием»: определить, защищает ли данный набор датчиков охраняемое здание или комплекс полностью. «Прочесывающее покрытие» относится к подвижным датчикам, а домашний, или коммерческий, вариант этого алгоритма используется в роботах-пылесосах. Весь ли пол он почистит?

Более научное применение метода реализуется совместно с методом скользящего окна для восстановления динамических аттракторов, который я упоминал в главе 8. Постоянная гомология может распознать момент, когда топология аттрактора существенно меняется. В теории динамических систем этот момент называют точкой бифуркации, он свидетельствует о серьезном изменении в динамике. Еще одно важное применение – выяснение того, как менялся климат Земли за миллионы лет, от теплых периодов к оледенениям и даже к полностью покрытой снегом и льдом Земле. Джесси Бервальд с коллегами показал, что штрихкоды облаков данных скользящего окна прекрасно помогают распознавать изменения в общем климатическом режиме{69}. Тот же метод применяется и к другим физическим системам, например в случае вибрации в станках. Фирас Хасавнех и Элизабет Манч выяснили, что временная серия измерения режущего инструмента может уловить эти вибрации, известные среди профессионалов как «дрожь»{70}. Кроме того, метод применяется и в медицинском сканировании, например для распознавания бифонирования при видеоэндоскопии гортани, которой занимаются Кристофер Трали и Хосе Переа{71}. Этот эффект возникает, когда голосовая связка производит звук сразу двух частот, и может указывать на повреждение или паралич связки. При эндоскопии гортани камера на конце оптоволоконного кабеля вводится в нос и опускается в горло. Саба Эмрани и другие{72} применили штрихкоды к аудиоданным, чтобы распознавать у пациентов свистящее дыхание – ненормальный высокий звук, который может указывать на частичную блокировку дыхательных путей или легочные заболевания, такие как астма, рак легких и хроническая сердечная недостаточность.

У вас проблемы с данными? Нужна срочная помощь?

Зовите тополога.

14

Лиса и еж

Лиса знает много секретов, а еж – всего один, но большой.

Собирая материалы для этой книги, я наткнулся на фразу: Πόλλ' οἶδ' ἀλώπηξ, ἀλλ' ἐχῖνος ἓν μέγα. В школе я учил латынь, а не греческий, но математики знают греческий алфавит. Даже я смог узнать здесь слова «эхинос» и «мега» и предположить, что речь идет о каком-то большом ежике. На самом деле фраза переводится так: «Лиса знает много секретов, а еж – всего один, но большой». Сказал это предположительно древнегреческий поэт Архилох.

Чей подход выбрать – лисы или ежика? Что лучше – перечислить кучу поразительных открытий в математике за последние 50 лет и рассказать, как они используются, или сосредоточиться на чем-то одном, но большом?

Я решил сделать и то и другое.

Лисью часть вы уже одолели, все ее 13 глав. Пришел черед ежовой части, где я попробую подвести итог.

Оглядываясь на рассмотренные нами темы, я не устаю удивляться богатству и разнообразию тех областей математики, которые в настоящее время прочно вошли в системы и устройства, определяющие характер жизни в начале XXI века. Жизни не только обеспеченных людей в западных странах – хотя они, наверное, выигрывают от этого больше других, – а миллиардов людей во всех без исключения странах мира. Мобильный телефон принес современную связь в развивающиеся страны. Сегодня связь вездесуща и меняет все. Не всегда к лучшему, но перемены – это палка о двух концах. Без математики и без множества людей, обученных пользоваться ею на профессиональном уровне, мобильных телефонов не было бы.

Кроме того, существует великое множество областей применения, которые я не упомянул за недостатком места. Те, о которых вы здесь прочли, не обязательно самые лучшие, важнейшие, яркие или ценные. Это всего лишь несколько примеров, которые близки мне, поскольку касаются применения чаще всего новой математики в неожиданных областях. Помимо прочего, я стремился к разнообразию: не думаю, что было бы разумно посвятить 90 % книги, скажем, применению дифференциальных уравнений в частных производных, хотя материала на эту тему предостаточно, да и обосновать их значимость совсем несложно. Я хотел показать не только значимость математики для человечества в целом, но и разнообразие и широкий охват современных областей практического использования моего предмета.

Для успокоения совести я кратко упомяну еще ряд областей применения, о которых можно было бы рассказать. И это тоже будет лишь верхушка айсберга. Проводя исследования для книги, я собрал немало примеров и теперь приведу некоторые из них. Располагаются они в произвольном порядке.