Йэн Стюарт – Это база: Зачем нужна математика в повседневной жизни (страница 58)

Сделать это не всегда просто.

Бутылка Клейна выглядит как классическая математическая игрушка. Трудно понять, как она может, хотя бы в принципе, быть полезной в реальном мире. Конечно, Гильберт настаивал, что математические игрушки ценны не сами по себе, а через теории, на создание которых они вдохновляют, так что бутылке Клейна нет нужды оправдывать свое существование непосредственно. На самом деле эту невероятную фигуру все же можно отыскать в природе. Она возникает в зрительной системе приматов – а это обезьяны обычные и человекообразные, ну и, конечно, мы.

Более столетия назад невролог Джон Хьюлингс Джексон выяснил, что кора головного мозга человека содержит своеобразную топографическую карту мышц тела. Кора – это извилистая поверхность мозга, так что все мы держим в голове карту собственных мышц. Это полезно, потому что мозг управляет сокращением и расслаблением мышц и, соответственно, нашими движениями. Значительная часть коры отвечает за зрение, и мы сегодня знаем, что зрительная кора содержит в себе аналогичные карты, управляющие зрительным процессом.

Зрение – это не только глаз, работающий как камера и посылающий фотографию в мозг. Оно намного сложнее, потому что мозг должен не только получить изображение, но и распознать его. Подобно камере, глаз имеет линзу для фокусировки входящего изображения, а работа сетчатки немного напоминает работу пленки. На самом деле зрительный процесс ближе к работе цифровых камер. Свет попадает на крохотные рецепторы на сетчатке, именуемые палочками и колбочками, а нейронные связи передают сигналы в кору мозга по зрительному нерву – пучку нервных волокон. По пути эти сигналы обрабатываются, но основную часть анализа берет на себя кора.

Зрительную кору можно представить в виде ряда слоев, уложенных друг на друга. У каждого слоя своя роль. Верхний слой V1 распознает границы между частями изображения. Это первый шаг сегментирования сигнала на составляющие части. Информация о границах передается глубже в кору и на каждом шаге анализируется на наличие следующего типа структурной информации, а затем преобразуется для передачи на следующий уровень. Естественно, это сильно упрощенное описание, да и «слои» – тоже упрощение. На самом деле много сигналов передается и в обратном направлении. Эта система создает в наших головах многоцветное трехмерное представление внешнего мира – настолько живое и подробное, что по умолчанию мы считаем, что это и есть окружающий мир. Это не совсем соответствует истине, что и демонстрируют наглядно зрительные иллюзии и двусмысленности. Во всяком случае, в конечном итоге кора сегментирует изображение на части, в которых мы можем узнать кошку, или тетю Веру, или что угодно еще. А затем мозг может вызвать дополнительную информацию: кличку кошки или тот факт, что Вера недавно выиграла в лотерею.

Слой V1 распознает границы при помощи островков нервных клеток, чувствительных к краям, ориентированным в тех или иных направлениях. На рисунке показана часть V1, полученная путем оптической записи из зрительной коры макаки. Разные оттенки серого (в статье, послужившей мне источником, их называют цветами, так что и я буду их так называть) соответствуют нейронам, которые срабатывают при получении данных, указывающих на границу такой ориентации. Цвет непрерывно переходит от одного оттенка к другому, за исключением отдельных изолированных точек, где все цвета существуют рядом в конфигурации, напоминающей колесо со спицами. Эти точки представляют собой сингулярности поля ориентации.

Эта конфигурация ограничена топологическими свойствами поля ориентации. Существует всего два способа расположить серию цветов вокруг сингулярности так, чтобы все переходы были непрерывны: цвета будут меняться либо последовательно по часовой стрелке, либо против. На рисунке показаны примеры обоих вариантов. Присутствие сингулярностей неизбежно, поскольку зрительной коре, чтобы распознать линию целиком, приходится использовать много вертушек – поворотных пунктов.

Теперь мы зададимся вопросом, как мозг совмещает информацию об ориентации с информацией о том, как граница движется. Направление – это не только прямая, но и стрелочка на ней (север противолежит югу, хотя то и другое находится на одной прямой), и после поворота на 180° стрелочка меняется на противоположную. Чтобы направление вернулось к первоначальному, необходимо совершить поворот на 360°. Границы не имеют стрелочек и потому возвращаются к первоначальному состоянию после поворота на 180°. Кора должна каким-то образом обеспечить работу и направлений, и границ одновременно. Если обвести сингулярность петлей, ориентации вокруг петли будут меняться непрерывно, но поле направлений должно будет перевернуться с заданного направления на противоположное – скажем, с северного на южное – нечетное число раз. Эти утверждения по природе своей топологичны, и они привели ученого по имени Сигеру Танака к выводу о том, что рецептивные поля связаны друг с другом с топологией бутылки Клейна{66}. Это предсказание уже проверено экспериментально на разных животных, в том числе на мартышках, кошках и хорьках, и полученные данные указывают на то, что организация зрительной коры у многих млекопитающих схожа. С людьми эксперименты не проводились по этическим соображениям, но мы тоже млекопитающие, более того – приматы. Поэтому вполне вероятно, что у нас, как и у макак, в голове имеются бутылки Клейна, помогающие нам воспринимать движущиеся объекты.

Цвета (здесь оттенки серого) показывают ориентацию, которая порождает больше всего активности в каждом участке коры. Воспринимаемая ориентация меняется плавно, за исключением точек сингулярности, где все цвета сходятся[12]

Эти идеи интересны не только биологам. В стремительно развивающейся области биомиметики инженеры учатся у природы, что позволяет им создавать новые материалы и новые машины. Например, в изобретении рентгеновских телескопов важнейшую роль сыграла любопытная структура глаза омара{67}. Чтобы сфокусировать пучок рентгеновских лучей, необходимо изменить их направление, но у них настолько высокая энергия, что подходящее зеркало может отклонить луч только на очень небольшой угол. Эволюция омара решила аналогичную проблему для видимого света миллионы лет назад, и эта же геометрия работает для рентгеновских лучей. Новые представления о слое V1 коры головного мозга у млекопитающих могут быть перенесены и на компьютерное зрение, с потенциальным применением в таких сферах, как беспилотные автомобили и машинная интерпретация спутниковых снимков для военных и гражданских целей.

Центральный вопрос топологии звучит так: «Какая это фигура?» То есть «Какое топологическое пространство мы здесь видим?» Вопрос может показаться банальным, но математика представляет нам топологические пространства самыми разными способами – в виде картинок, формул, решений уравнений, поэтому не всегда понятно, что мы получаем. Например, только тополог способен разглядеть бутылку Клейна в слое V1 мозга макаки. Мы замахнулись на решение этой задачи, когда заметили, что четыре пространства на моем рисунке – цилиндр, лента Мёбиуса, тор и бутылка Клейна – различаются топологическими свойствами. Ближе к концу XIX века и в начале XX века математики разработали систематические подходы к этому вопросу. Ключевая идея состоит в том, чтобы определить топологические инварианты – свойства, которые можно вычислить и которые одинаковы у топологически эквивалентных пространств, но различны по крайней мере у некоторых неэквивалентных пространств. Обычно этого недостаточно, чтобы различать все неэквивалентные пространства, но даже частичная классификация полезна. Если у двух пространств различается какой-то из инвариантов, то эти пространства определенно имеют различную топологию. При рассмотрении четырех фигур, о которых мы говорили, инвариантами являются такие аспекты, как «сколько краев?» и «сколько сторон?».

За прошедшие десятилетия выяснилось, что одни инварианты полезнее других, и было построено несколько инвариантов, имеющих фундаментальное значение. Тот, о котором я хочу сейчас рассказать (отчасти потому, что в последнее время у него появились серьезные сферы применения), называется гомологией. По существу, он подсчитывает, сколько отверстий заданной размерности имеет пространство. Мало того, он не просто подсчитывает: он соединяет отверстия и неотверстия в единый алгебраический объект, называемый группой гомологий.

Есть одно базовое топологическое пространство, которое я до сих пор не упоминал: сфера. Как и в случае с тором, когда математики произносят это слово, они подразумевают бесконечно тонкую поверхность, а не заполненную сферу (которую называют шаром). У сферы нет краев, как у тора и бутылки Клейна. Мы можем показать, что она топологически отличается и от тора, и от бутылки Клейна, если посмотрим на отверстия или их отсутствие.

Начнем с тора. С первого взгляда очевидно, что у тора прямо в середине есть огромное и очень заметное отверстие. Сферы выглядят совершенно иначе. Но как определить отверстие математически, так, чтобы определение не зависело от окружающего пространства? Ответ в том, что смотреть надо на замкнутые кривые на поверхности. Любая замкнутая поверхность на сфере образует границу области, которая с топологической точки зрения представляет собой диск – внутренность окружности{68}. Доказательство этого довольно заковыристо, поэтому будем просто считать, что так оно и есть. На торе некоторые замкнутые кривые также ограничивают диски, но некоторые нет. Мало того, любая замкнутая кривая, проходящая «сквозь» отверстие, не может ограничивать диск. Доказать это тоже довольно непросто, но мы опять смиримся с судьбой и будем считать, что все в порядке. Таким образом, мы показали, что сфера топологически отличается от тора, потому что «замкнутая кривая» и «ограничивает (топологический) диск» – это топологические свойства.