Йэн Стюарт – Это база: Зачем нужна математика в повседневной жизни (страница 57)

Топология – одна из гибких разновидностей геометрии – первоначально представляла собой в высшей степени абстрактную часть чистой математики. Большинство из тех, кто хотя бы слышал о ней, по-прежнему так считает, но ситуация потихоньку начинает меняться. То, что может существовать нечто под названием «прикладная топология», на первый взгляд кажется невероятным. Это как учить свинью петь: замечательным результатом было бы не то, что свинья поет хорошо, а уже то, что она вообще поет. Такая оценка справедлива в отношении свиней, но совершенно несправедлива в отношении топологии. Сегодня, в XXI веке, прикладная топология несется вперед на всех парах и решает важные задачи в реальном мире. На самом деле это незаметно происходит уже не первый день, но сейчас процесс достиг такой стадии, когда прикладную топологию уже можно вполне обоснованно считать новой отраслью прикладной математики. И речь идет не о случайных применениях каких-то аспектов топологии: ее применения едва ли не повсеместны, а используемые топологические инструменты охватывают значительную часть предмета, включая самые хитроумные и абстрактные моменты. Косы. Комплексы Вьеториса – Рипса. Векторные поля. Гомология. Когомология. Гомотопия. Теория Морса. Индекс Лефшеца. Расслоенные пространства. Пучки. Категории. Копределы.

На это есть причина: единство. Сама топология тоже выросла, всего за столетие с небольшим, из кучки небольших диковинок до полностью интегрированной области исследований и знаний. Сегодня это одна из главных опор, на которых зиждется вся математика. А везде, куда приходит чистая математика, появляется и прикладная математика. Со временем. (Обратный процесс тоже случается.)

Топология изучает, как изменяются фигуры под действием непрерывных преобразований и, в частности, какие свойства они при этом сохраняют. Знакомые примеры топологических структур – лента Мёбиуса, то есть односторонняя поверхность, и узлы. На протяжении почти 80 лет математики изучали топологию из природного любопытства и не думали ни о каком практическом применении. Предмет становился все более абстрактным, появлялись заумные алгебраические структуры, получившие название гомологии и когомологии, чтобы делать такие вещи, как подсчет числа отверстий в топологической фигуре. Все это казалось очень невразумительным и не имело значения для практики.

Однако математики не теряли присутствия духа и продолжали работать над топологией из-за ее центральной роли в развитом математическом мышлении. Компьютеры становились все более мощными, и математики начали искать способы электронного воплощения топологических концепций, которое позволило бы исследовать очень сложные формы. Но, чтобы компьютеры получили возможность производить нужные вычисления, исследователям пришлось изменить подход к вопросу. Результат, известный как «постоянная гомология», – это цифровой метод поиска отверстий.

Вверху слева: цилиндр. Вверху справа: лента Мёбиуса.

Внизу слева: тор. Внизу справа: бутылка Клейна

На первый взгляд, задача распознавания отверстий кажется очень далекой от реального мира. Но топология оказывается идеальным средством для решения некоторых задач, связанных с сетями датчиков охранной сигнализации. Представьте себе секретное правительственное учреждение, окруженное лесом и неизменно привлекающее к себе внимание террористов и воров. Чтобы вовремя заметить их приближение, вы размещаете в лесу датчики движения. Как эффективнее всего это сделать и как убедиться, что в кордоне нет дыр, через которые плохие парни смогут пройти незамеченными?

Дыры? То есть отверстия? Конечно! Зовите тополога.

Когда вы впервые знакомитесь с топологией, вам обычно рассказывают о базовых формах. Они кажутся очень простыми и странными маленькими игрушками. Одни из них причудливы, другие откровенно жутковаты. Но эти причуды имеют смысл. Как однажды сказал великий математик Гильберт, «искусство математики состоит в нахождении того частного случая, который содержит все зародыши общности». Стоит выбрать правильную игрушку, и перед вами откроются совершенно неизведанные области.

Первые две игрушки на рисунке можно сделать, взяв полоску бумаги и соединив ее концы. Очевидный способ сделать это дает нам цилиндрическую полоску. Менее очевидный состоит в предварительном перекручивании одного конца на 180°. Это лента Мёбиуса, названная в честь Августа Мёбиуса, наткнувшегося на такую забавную штуку в 1858 году, хотя еще до этого ее заметил ученик Гаусса Иоганн Листинг. Именно Листинг в 1847 году первым пустил в оборот название «топология», но прозорливо подталкивал его к этому зарождающемуся предмету с самого начала не кто иной, как Гаусс.

У цилиндра имеются два края, каждый из которых представляет собой окружность, и две стороны, или поверхности. Можно раскрасить цилиндр внутри в красный цвет, а снаружи в синий, и эти два цвета нигде не встретятся. В топологии значение имеют те свойства фигур, которые сохраняются при непрерывной деформации фигуры. Вы можете растягивать ее части, сжимать их или скручивать, но не имеете права разрезать или рвать – разве что позже соедините все как было. Одинаковая всюду ширина цилиндрической ленты на рисунке не является ее топологическим свойством: ширину можно изменить путем непрерывной деформации. Округлость краев тоже не топологическое свойство, по аналогичным причинам. Но само наличие двух краев и двух сторон – топологические свойства.

Фигуры, которые считаются идентичными при деформации, имеют особое название: мы называем их топологическими пространствами. Настоящее определение звучит в высшей степени абстрактно и заумно, так что я буду пользоваться более неформальными изобразительными средствами. Однако все, что я говорю, может быть сформулировано точно и надлежащим образом доказано.

Мы можем использовать эти топологические свойства для доказательства того, что цилиндр невозможно непрерывной деформацией превратить в ленту Мёбиуса. Хотя то и другое получается в результате склеивания концов бумажной полоски, это разные топологические пространства. Причина в том, что у ленты Мёбиуса всего один край и одна сторона. Если провести по краю бумажной ленты пальцем, то палец сделает два оборота, прежде чем вернется в исходную точку. При этом он благодаря перекручиванию на 180° перейдет сверху вниз и обратно. Если вы начнете закрашивать поверхность красной краской, то сделаете полный оборот и обнаружите, что закрашиваете оборот той части бумаги, которую уже окрасили, опять же благодаря перекручиванию на 180°. Так что лента Мёбиуса имеет другие топологические свойства по сравнению с цилиндром.

Фигура внизу слева похожа на бублик. Математики называют такую фигуру тором, имея в виду только поверхность, но не внутреннюю часть, где у бублика находится мякиш. В этом тор больше напоминает надувной спасательный круг. В нем есть отверстие. Вы можете просунуть в это отверстие палец или, в случае спасательного круга, тело. Но это отверстие не в самой поверхности. Если бы это было так, надувной спасательный круг сдулся бы – и вы бы утонули. Отверстие расположено в месте, где поверхности как раз нет. Это совершенно логично: инженер широкополосной связи, сидящий в инспекционном люке, тоже находится там, где нет поверхности. Но у люка есть края, а вот у тора имеется отверстие, но нет ни одного края. Как и у цилиндра, у тора две стороны: та, что мы видим на рисунке, и та, что «внутри».

Фигура внизу справа менее известна. Это бутылка Клейна. Она называется так в честь великого немецкого математика Феликса Клейна и потому, что внешне похожа на бутылку. Название, по-видимому, было немецким каламбуром, поскольку по-немецки Fläche означает «поверхность», а Flasche – «бутылка». В одном отношении рисунок выглядит обманчиво: кажется, что поверхность протыкает себя насквозь. В бутылке Клейна такого не происходит. Самопересечение возникает потому, что мы, естественно, рисуем так, будто предмет находится в трехмерном пространстве. Чтобы получить бутылку Клейна без самопересечений, нужно либо выйти в четыре измерения, либо, что еще лучше, последовать стандартной топологической практике – вообще отбросить потребность в окружающем пространстве. Тогда бутылку Клейна можно рассматривать как цилиндр, два круглых конца которого соединены друг с другом, но после того, как один из них вывернули наизнанку. Чтобы проделать это в трехмерном пространстве, необходимо проткнуть концом цилиндра его стенку и вновь его там раскрыть, но можно сделать то же самое концептуально, просто добавив правило, по которому вы, падая с одного конца цилиндра, оказываетесь на другом его конце, со сменой направления вдоль окружности. У бутылки Клейна, как у тора, нет краев, а ленту Мёбиуса она напоминает тем, что имеет только одну сторону.

Итак, мы описали различия всех четырех приведенных на рисунке топологических пространств. Они различаются либо числом концов, либо числом сторон. Либо типами отверстий, если мы только сможем сказать, что подразумеваем под отверстием. Это наблюдение открывает один из фундаментальных вопросов топологии. Как определить, являются ли данные топологические пространства идентичными или отличаются друг от друга? Для этого недостаточно просто посмотреть на фигуру, потому что она может быть деформирована. Как говорится, для тополога что бублик, что кофейная чашка – все едино. Чтобы ответить на вопрос, необходимо привлечь топологические свойства, по которым различаются пространства.