Йэн Стюарт – Это база: Зачем нужна математика в повседневной жизни (страница 56)

Все обычные термодинамические переменные могут быть выведены при помощи подходящих манипуляций из функции разбиения, так что наилучший способ «рассмотрения» термодинамической модели состоит в вычислении функции разбиения. Изинг нашел свое решение, выведя формулу для свободной энергии{63} и предложив формулу для намагничивания{64}. Формула выглядит внушительно, но для Изинга она, должно быть, стала большим разочарованием, поскольку после всех хитроумных вычислений оказалось, что при отсутствии внешнего магнитного поля материал собственного магнитного поля не имеет. Хуже того, это верно для абсолютно любой температуры. Так что модель предсказывает отсутствие фазового перехода и спонтанного намагничивания, казалось бы, ферромагнитного материала.

Сразу же возникло подозрение, что главной причиной такого отрицательного результата стала простота модели. Конкретнее, подозрение пало на размерность решетки. По сути, размерность один слишком мала, чтобы привести к реалистичным результатам. Очевидно, следовало бы провести расчет для двумерной решетки, но это оказалось по-настоящему трудно. Методы Изинга для этого не годились. Только в 1944 году, после нескольких прорывных открытий, сделавших подобные расчеты более систематическими и простыми, Ларс Онсагер решил-таки двумерную задачу Изинга. Это было настоящее математическое достижение, давшее сложный, но явный ответ. Но даже тогда расчет предполагал отсутствие внешних магнитных полей.

Формула показывает, что теперь фазовый переход есть и приводит к существованию ненулевого внутреннего магнитного поля при температуре ниже критической, равной где k_B – постоянная Больцмана из термодинамики, а J – сила взаимодействия между спинами. Для температур вблизи критической точки удельная теплота уходит в бесконечность, как и логарифм разности между реальной и истинной температурой – одной из характеристик фазового перехода. В более поздних работах были выведены также различные критические экспоненты.

Но какое отношение эти игры со спинами электронов и магнитами имеют к прудам с талой водой во льдах Арктики? Тающий лед находится в состоянии фазового перехода, но лед – это не магнит, а таяние не связано с переворачиванием спинов. Откуда здесь может взяться полезная связь?

Если бы математика была жестко связана с какой-то одной физической интерпретацией, которая ее и породила, то ответ был бы «ниоткуда». Однако это не так. По крайней мере, не всегда. Именно здесь вступает в игру пресловутая непостижимая эффективность математики.

Моделирование развития системы талых прудов на базе модели Изинга[11]

Часто первым указанием на возможность такой мобильности, когда математическая идея перекочевывает из одной области применения в другую, вроде бы не связанную с ней область, становится неожиданное семейное сходство в какой-нибудь формуле, графике, числе или картинке. Как правило, сходство такого рода оборачивается не более чем визуальной ассоциацией, совпадением, привлекающим внимание, но ничего не означающим. В конце концов, на свете не так уж много разных графиков и фигур.

Иногда, однако, такое сходство является ключом и указывает на глубокую взаимосвязь.

Именно так началось исследование, к которому я наконец перехожу в этой главе. Около 10 лет назад математик Кеннет Голден, рассматривая фотографии морских арктических льдов, заметил, что они необычайно похожи на картинки пятен электронных спинов вблизи фазового перехода в точке Кюри. Он задался вопросом, нельзя ли приспособить модель Изинга для объяснения процесса формирования и распространения талых прудов. Модель для льда, конечно, применяется на гораздо более крупном масштабе, ведь состояния «вверх»/«вниз» у крохотных электронов здесь заменяются на состояние лед/вода на участке поверхности морского льда площадью около одного квадратного метра.

Потребовалось время, чтобы превратить эту мысль в серьезную математику, но она привела Голдена, работавшего вместе с метеорологом Куртом Стронгом, к новой модели влияния климатических изменений на морской лед. Голден показал результаты моделирования по Изингу одному из коллег, специализировавшемуся на анализе изображений талых прудов, и тот принял их за фотографии реальных прудов. Более подробный анализ статистических свойств этих изображений – например, соотношения между площадью прудов и их периметрами, указывающего на степень извилистости береговой линии, – показал очень близкое численное совпадение.

Геометрия талых прудов жизненно важна для климатических исследований, потому что она влияет на важные процессы, протекающие на морском льду и в верхних слоях океана. Среди этих процессов – изменение альбедо льда (коэффициента, указывающего, какую часть света и теплового излучения он отражает) по мере его таяния, дробление ледяных полей и изменение их размеров. Это, в свою очередь, влияет на распределение светлых и темных пятен подо льдом, на фотосинтез водорослей и экологию микроорганизмов.

Приемлемая модель не должна противоречить двум основным наборам наблюдаемых данных. В 1998 году экспедиция SHEBA определила размеры талых прудов посредством фотографирования с вертолетов. Из наблюдений получилось, что распределение вероятностей в отношении размеров прудов подчиняется степенному закону: вероятность обнаружения пруда площадью A примерно пропорциональна A^k, где постоянная k примерно равна –1,5 для прудов площадью от 10 до 100 м². Такой тип распределения часто указывает на фрактальную геометрию. Те же данные, вкупе с наблюдениями Трансарктической экспедиции Хили – Одена 2005 года HOTRAX, показывают фазовый переход во фрактальной геометрии талых прудов по мере их роста и слияния. Геометрия прудов развивается от простых форм в самоподобные области, границы которых ведут себя как заполняющие пространство кривые. Фрактальная размерность граничных кривых – соотношение между площадью и периметром – изменяется при этом от 1 до примерно 2 при критической площади пруда около 100 м². Это влияет также на изменение ширины и глубины прудов, на площадь контакта вода – лед, через который происходит расширение прудов, и, наконец, на скорость таяния.

Полученная из наблюдений величина показателя степени k составляет –1,58 ± 0,03, что хорошо согласуется с величиной –1,5 от SHEBA. Изменение фрактальной размерности, замеченное HOTRAX, может быть рассчитано теоретически с использованием модели просачивания, для которой максимальная размерность, соответствующая примерно 2, оказывается равной 91/48 = 1,896. Численное моделирование по модели Изинга тоже дает фрактальную размерность, очень близкую к данной{65}.

Одна интересная особенность этой работы состоит в том, что используемая модель оперирует очень небольшими масштабами длин – всего в несколько метров. Большинство климатических моделей имеет масштаб длины в несколько километров. Так что подобное моделирование – совершенно новый раздел. На данный момент он еще находится в стадии становления, и модель требует немалой доработки, чтобы вобрать в себя больше физики тающего льда, поглощения и излучения солнечного света, даже ветров. Но она уже подсказывает новые пути сравнения наблюдаемых данных с математическими моделями и позволяет в какой-то степени объяснить, почему талые пруды образуют такие замысловатые фрактальные формы. Кроме того, это первая математическая модель фундаментальной физики талых прудов.

Репортаж The Guardian, процитированный в эпиграфе к данной главе, рисует мрачную картину. Недавнее ускорение таяния арктических льдов и уменьшения ледового покрова, выведенное из наблюдений, а не из математических моделей, подразумевает, что подъем уровня моря к 2100 году составит две трети метра. Это на 7 см больше, чем ранее предсказывала Межправительственная группа экспертов по изменению климата (IPCC). Около 400 млн человек будет ежегодно подвергаться риску наводнений, что на 10 % больше, чем 360 млн человек, предсказанные IPCC. Кроме того, подъем уровня моря усиливает штормовой нагон волны, что может нанести дополнительный ущерб прибрежным регионам. В 1990-е годы Гренландия ежегодно теряла по 33 млрд тонн льда. За последние 10 лет этот показатель увеличился до 254 млрд тонн в год, а всего с 1992 года потеряно уже 3,8 трлн тонн льда. Примерно половина этих потерь вызвана ускорением сползания ледников и отламыванием от них айсбергов на границе с океаном. Вторая половина обусловлена таянием льда, в основном на поверхности. Так что физика талых прудов сегодня приобретает жизненно важное значение для каждого из нас.

Если находку Изинга удастся уточнить, то все связанные с ней идеи можно будет применить к талым прудам. Особенно связь с фрактальной геометрией, которая позволяет глубже заглянуть в сложную геометрию талых прудов. Кроме того, история Изинга и таяния Арктики – это чудесный пример непостижимой эффективности математики. Кто мог бы предсказать столетие назад, что модель Ленца, относящаяся к ферромагнитному фазовому переходу, может иметь что-то общее с изменением климата и грядущим исчезновением полярных ледяных шапок?

13

Позовите тополога

Топологические свойства устойчивы. Число компонентов или отверстий – не та характеристика, которая должна меняться при небольшой ошибке в измерениях. Это принципиально важно для практического применения.