Йэн Стюарт – Это база: Зачем нужна математика в повседневной жизни (страница 55)

Хотя модель Изинга связана с магнитными явлениями, ее структура и способы работы с ней относятся скорее к термодинамике. Эта область зародилась в классической физике, где занималась такими величинами, как температура и давление в газах. К 1905 году, когда физики наконец удостоверились в том, что атомы существуют и соединяются в молекулы, они поняли также, что переменные вроде температуры и давления представляют собой статистические средние величины. Это «макроскопические» величины, которые мы можем легко измерить, но определяются они событиями значительно более мелкого «микроскопического» масштаба. Кстати говоря, их невозможно разглядеть в микроскоп, хотя сегодня существуют микроскопы, позволяющие получать изображения атомов. Эти приборы работают, только когда атом неподвижен. В газе громадное число молекул носится вокруг, иногда сталкиваясь и отскакивая друг от друга. Столкновения рандомизируют движение молекул, то есть делают его случайным.

Теплота есть форма энергии, заключенная в движении молекул: чем быстрее они движутся, тем горячее газ и, соответственно, выше его температура. А температура отличается от теплоты: это мера качества теплоты, а не ее количества. Существует математическая взаимосвязь между положением и скоростью молекул и термодинамическими средними параметрами. Эта взаимосвязь является предметом отдельной научной области – статистической механики, которая пытается вычислять макроскопические переменные через микроскопические, с особым акцентом на фазовые переходы. Например, что именно меняется в поведении молекул воды, когда лед тает? И какое отношение к этому имеет температура вещества?

Перед Изингом стояла аналогичная задача, но вместо молекул H₂O и льда, превращающегося при нагревании в воду, он анализировал спины электронов и магниты, теряющие свои свойства при нагревании. Ленц сделал модель – ту самую, которую мы сегодня называем моделью Изинга, – как можно более простой. Однако, как часто случается в математике, ее рассмотрение простым не было.

Напомню, что «рассмотрение» модели Изинга означает расчет того, как статистические свойства группы крохотных магнитиков меняются с температурой. Это сводится к нахождению полной энергии системы, которая зависит от магнитного паттерна – числа и организации положительных и отрицательных спинов, черных и белых клеток на шахматной доске. Физические системы стремятся к состояниям с минимально возможной энергией. Именно поэтому, например, упало легендарное ньютоновское яблоко: его потенциальная гравитационная энергия уменьшалась, пока оно летело к земле. Ньютон догадался, что те же рассуждения применимы и к Луне, которая непрерывно падает, но пролетает мимо поверхности Земли, поскольку одновременно уходит в сторону. При помощи вычислений он показал, что одна и та же сила тяготения количественно объясняет оба движения.

Так или иначе, все крохотные магнитики – электроны с определенным направлением спинов – стремятся сделать свою суммарную энергию как можно меньше. Но как они это делают и в какое состояние приходят, зависит от температуры материала. На микроскопическом уровне теплота – это форма энергии, которая заставляет молекулы и электроны двигаться беспорядочно. Чем горячее становится материал, тем активнее они движутся. В магните конкретное пространственное распределение спинов постоянно меняется из-за этого беспорядочного движения, вот почему «рассмотрение» модели дает статистическое распределение вероятностей, а не конкретный узор спинов. Однако наиболее вероятные узоры выглядят очень похоже, так что можно поставить вопрос о том, как выглядит типичный паттерн при заданной температуре.

Принципиально важная часть модели Изинга – математическое правило взаимодействия электронов, которое определяет энергию любого паттерна. Модель принимает упрощающее предположение о том, что электроны взаимодействуют только с ближайшими соседями. При ферромагнитном взаимодействии считается, что вклад в энергию отрицателен, когда соседние электроны имеют одинаковый спин. В антиферромагнитных системах он положителен, когда соседние электроны имеют одинаковый спин. Существует также дополнительный вклад в энергию от взаимодействия каждого электрона с внешним магнитным полем. В упрощенных моделях сила всех взаимодействий между соседними электронами одинакова, а внешнее магнитное поле считается равным нулю.

Ключ к математике данной модели – понять, как энергия данного паттерна меняется с изменением цвета одного квадратика с черного на белый или наоборот. То есть единичный электрон в произвольной позиции переключается между +1 (черный) и –1 (белый). Одни переключения увеличивают суммарную энергию, другие уменьшают. Переключения, которые понижают суммарную энергию, более вероятны, однако переключения, которые ее повышают, не исключаются полностью в связи со случайным тепловым движением. Интуитивно мы ожидаем, что паттерн спинов сведется к варианту с минимальной энергией. В ферромагнитном материале при этом все электроны должны иметь одинаковый спин, но на практике мы имеем не совсем это, потому что на достижение такого состояния потребовалось бы слишком много времени. Вместо этого при умеренных температурах существуют участки, где спины почти идеально выровнены, что создает черно-белый рисунок. При более высоких температурах случайная толкотня берет верх над взаимодействием между соседними спинами, и выровненные участки становятся настолько маленькими, что связь между спином данного электрона и спинами его соседей практически исчезает, а узор становится хаотичным и выглядит в целом серым, несмотря на крошечные черно-белые детали. При низких температурах выровненные участки увеличиваются и дают более упорядоченный паттерн. Паттерны никогда полностью не стабилизируются, в них всегда происходят случайные изменения. Но статистические свойства паттерна для заданной температуры довольно стабильны.

Больше всего физиков интересует переход от четких цветовых пятен – упорядоченного состояния – к случайному серому хаосу. Это тоже фазовый переход. Эксперименты с фазовым переходом ферромагнетиков из состояния намагниченности в немагнитное состояние показывают, что при температуре ниже точки Кюри магнитный паттерн имеет пятнистый характер. Размеры пятен различны, но группируются вокруг конкретного типичного размера, или «масштаба длины», который становится меньше по мере роста температуры. При температуре выше точки Кюри пятен нет: два значения спина беспорядочно перемешаны. Больше всего физиков занимает то, что происходит непосредственно в точке Кюри. В этот момент наблюдаются пятна разных размеров, без доминирующего масштаба длины. Пятна образуют фрактал – паттерн с детальной структурой на любом масштабе. Увеличенная картинка части узора обладает теми же статистическими чертами, что и узор целиком, поэтому из паттерна невозможно вычленить преобладающий размер пятна. Определенного масштаба длины больше не существует. Однако скорость, с которой меняется паттерн во время перехода, можно связать с численной мерой, которую называют критической экспонентой. Эксперименты позволяют измерить критическую экспоненту очень точно, что делает этот параметр весьма чувствительным тестом для теоретических моделей. Одной из главных целей теоретиков является создание моделей, которые дают верное значение критической экспоненты.

Компьютерное моделирование не позволяет «рассмотреть» модель Изинга в точности – модели не в состоянии привести формулу для статистических свойств со строгим математическим доказательством ее корректности. В принципе, современные системы компьютерной алгебры могли бы помочь исследователям угадать формулу, если таковая существует, но ей все равно потребуется доказательство. Более традиционное компьютерное моделирование позволяет получить убедительные свидетельства в пользу или против того, что модель соответствует реальности. Заветная цель математических физиков (или склонных к физике математиков, поскольку главная задача здесь носит чисто математический характер, хотя и мотивируется физикой) – получение точных результатов в отношении статистических свойств спиновых паттернов в модели Изинга, особенно в отношении того, как эти свойства меняются при прохождении температуры через точку Кюри. В частности, исследователи заняты поиском доказательств того, что в модели наблюдается фазовый переход, и намерены охарактеризовать его через критическую экспоненту и фрактальные свойства наиболее вероятных паттернов в точке перехода.

Теперь наша история становится более сложной для понимания, но я попытаюсь дать вам основные идеи, не углубляясь в подробности. Отбросьте недоверие и плывите по течению.

Самым важным математическим инструментом в термодинамике является так называемая функция разбиения. Получается она путем сложения, для всех состояний системы, определенного математического выражения, которое зависит от состояния и температуры. Точнее говоря, чтобы получить это выражение для любого заданного состояния, мы берем энергию этого состояния, делаем ее отрицательной и делим на температуру. Затем находим экспоненту этой величины и складываем эти выражения для всех возможных состояний{62}. Физическая идея здесь состоит в том, что вклад состояний с более низкими энергиями в эту сумму больше, так что в функции разбиения доминируют наиболее вероятные состояния (а сама она, соответственно, имеет в этом месте максимум).