Йэн Стюарт – Это база: Зачем нужна математика в повседневной жизни (страница 54)

Магниты известны человеку не менее 2500 лет. Они возникают естественным образом в минерале магнетите, который представляет собой оксид железа. Небольшой кусок магнетита, известного еще как магнитный железняк, может притягивать железные предметы. Его можно превратить в компас, подвесив на нитке или пустив плавать в воде на деревянной дощечке. Природные магниты используются для навигации примерно с XII века. Подобные материалы, способные обретать постоянное магнитное поле, называют ферромагнетиками. По большей части они представляют собой сплавы железа, никеля и/или кобальта. Одни материалы сохраняют магнитные свойства почти вечно, а другие можно намагнитить на какое-то время, но они довольно быстро размагничиваются.

Ученые начали серьезно заниматься магнитами в 1820 году, когда датский физик Ханс Кристиан Эрстед открыл связь между магнетизмом и электричеством, а именно тот факт, что электрический ток может создавать магнитное поле. В 1824 году британский ученый Уильям Стерджен изготовил электромагнит. История электромагнетизма слишком обширна, чтобы описывать ее подробно, но ключевыми в развитии этой области физики стали эксперименты Майкла Фарадея. Они позволили Джеймсу Клерку Максвеллу сформулировать математические уравнения для электрического и магнитного полей и их взаимосвязи. Эти уравнения показывают, что движущееся электрическое поле порождает магнетизм, а движущее магнитное поле порождает электричество. Вместе они создают электромагнитные волны, которые распространяются со скоростью света. Мало того, свет и сам является такой волной. Как и радиоволны, рентгеновские лучи и микроволны.

Одно из загадочных свойств ферромагнетиков заключается в том, как они реагируют на нагрев. У каждого из них есть критическая температура, именуемая точкой Кюри. Если нагреть ферромагнетик выше точки Кюри, его магнитное поле исчезает. И не просто исчезает: переход происходит резко. При приближении температуры к точке Кюри магнитное поле начинает ослабевать, причем тем быстрее, чем она ближе к этой точке. Физики называют такой тип поведения фазовым переходом второго типа. Большой вопрос: почему так происходит?

Подсказку дало открытие электрона – элементарной частицы, несущей крохотный электрический заряд. Электрический ток – это поток электронов. Атом имеет ядро из протонов и нейтронов, окруженное облаком электронов. Число и расположение электронов определяет химические свойства атома. Кроме того, электроны обладают спином – это квантовое свойство, и, хотя электроны на самом деле не вращаются, у спина много общего с моментом импульса, одним из свойств вращающихся тел в классической физике. Это свойство показывает, насколько интенсивно вращение и в каком направлении оно происходит – вокруг какой оси вращается тело.

Физики экспериментально установили, что спин электрона наделяет его магнитным полем. Поскольку квантовая механика такая, какая она есть, то есть странная, спин электрона, измеренный относительно почти любой конкретной оси, всегда имеет значение либо «вверх», либо «вниз». Эти состояния примерно соответствуют крохотному магниту с северным полюсом вверху, а южным внизу или такому же магниту с противоположным расположением полюсов. До измерения спина он может представлять собой любую комбинацию из «вверх» и «вниз», то есть вращаться вокруг совершенно разных осей, но когда вы наблюдаете спин относительно выбранной вами оси, он всегда равен «вверх». Или «вниз». Одно из двух. Это, конечно, странно и совершенно непохоже на спин в классической физике.

Связь между спином электрона и его магнитным полем вносит значительный вклад в понимание не только того, почему магниты теряют свои магнитные свойства при сильном нагреве, но и того, как они это делают. До намагничивания ферромагнетика спины его электронов ориентированы произвольным образом, так что их крохотные магнитные поля компенсируют друг друга. Когда материал намагничивается при помощи электромагнита или под влиянием постоянного магнита, спины его электронов ориентируются в одном направлении. При этом они складываются и порождают заметное крупномасштабное магнитное поле. Без внешнего вмешательства такое расположение спинов электронов сохраняется, и мы получаем постоянный магнит.

Однако если материал нагреть, тепловая энергия начинает раскачивать электроны, некоторые из них переворачиваются и меняют спин на противоположный. Магнитные поля, направленные в разные стороны, ослабляют друг друга, так что общее магнитное поле объекта тоже ослабевает. Это качественно объясняет потерю магнитных свойств, но ничего не говорит о том, почему происходит резкий фазовый переход или почему он всегда происходит при определенной температуре.

Здесь на сцене появился Ленц. Он предложил простую математическую модель: множество электронов, которые влияют на соседей в соответствии с их относительными спинами. В этой модели каждый электрон располагается в фиксированной точке пространства, обычно в узле регулярной решетки, напоминающей клетки большой шахматной доски. Каждый электрон в этой модели может существовать в одном из двух состояний: +1 (спин «вверх») и –1 (спин «вниз»). В каждый момент решетка покрыта узором из плюс и минус единиц. Если продолжить аналогию с шахматной доской, то каждый квадратик окрашен либо в черный цвет (спин «вверх»), либо в белый (спин «вниз»). Может возникнуть любой узор из белых и черных квадратиков, по крайней мере в принципе, потому что квантовые состояния в определенной мере случайны, но некоторые паттерны более вероятны, чем другие.

Расчеты или эксперименты, которые руководитель не хочет проводить сам, обычно поручают аспирантам, что и сделал Ленц, который дал задание Изингу рассмотреть эту модель. Надо отметить, что в данном случае под словом «рассмотреть» подразумевалась довольно тонкая вещь. Речь не шла о динамике переворачивания спинов или конкретных паттернов. Речь шла о расчете распределения вероятностей возможных паттернов и выяснении, как это распределение зависит от температуры и внешних магнитных полей. Распределение вероятностей – это математический инструмент, часто формула, которая в данном случае показывает, насколько вероятен любой заданный паттерн.

Научный руководитель дал задание, и вы, если хотите получить в конечном итоге степень доктора философии, делаете что вам сказано. Или, по крайней мере, стараетесь изо всех сил, потому что руководители иногда ставят перед аспирантами слишком сложные задачи. В конце концов, причина, по которой руководитель предлагает аспиранту решить задачу, состоит в том, что сам он не знает ответа и часто не имеет понятия, насколько сложно его найти.

Так что Изинг засучил рукава и принялся разбираться в модели Ленца.

Существуют общепринятые приемы, о которых знают научные руководители и которые они могут подсказать аспирантам. По-настоящему умные аспиранты открывают их для себя сами, наряду с идеями, которые руководителям даже не приходили в голову. Один из таких приемов звучит забавно, но, как правило, помогает: если вы собираетесь работать с очень большим числом, все заметно упростится, если сделать это число бесконечным. Например, если вы хотите разобраться в модели Изинга для большой, но конечной шахматной доски, представляющей кусок ферромагнитного материала реалистичного размера, математически удобнее работать с бесконечной шахматной доской. Причина в том, что у конечной доски есть края, которые, как правило, осложняют расчет, поскольку клетки на краю отличаются от клеток в середине. Это разрушает симметрию строя электронов, а симметрия упрощает расчеты. У бесконечной шахматной доски краев нет.

Картина шахматной доски соответствует тому, что математики и физики называют двумерной решеткой. Слово «решетка» означает, что базовые единицы, то есть клетки доски, выстроены регулярным образом – в данном случае идеально ровными строками и столбцами. Математические решетки могут иметь любую размерность, тогда как физические обычно имеют размерность один, два или три. Самыми показательными для физики являются трехмерные решетки: бесконечный ряд идентичных кубиков, составленных в штабеля, как одинаковые ящики на складе. В данном случае электроны заполняют область пространства примерно как атомы в кристалле с кубической симметрией, скажем в кристалле соли.

Математики и специалисты по математической физике предпочитают начинать с более простой, но менее реалистичной модели: одномерной решетки, где точки нахождения электронов располагаются вдоль прямой линии на равных расстояниях, как целые числа на числовой прямой. Картина не слишком физическая, но удобная для рассмотрения идей на простейшей подходящей модели. С увеличением размерности решетки возрастают и математические сложности. Так, кристаллическая решетка на прямой существует всего одна, на плоскости их уже 17, а в трехмерном пространстве – целых 230. Так что Ленц поставил перед своим аспирантом задачу выяснить, как ведут себя подобные модели, и ему хватило здравого смысла рекомендовать юноше сосредоточиться на одномерной решетке. Успехи аспиранта оказались достаточными, чтобы такие модели сегодня назывались моделями Изинга.