Владимир Успенский – Апология математики (сборник статей) (страница 95)

Правда, исчисление бесконечно малых в первый период своего развития вызывало также много споров и несогласий. Но там дело шло только об отсутствии достаточно точных определений; недостаток этот сознавался и самими сторонниками новых методов и в течение XIX в. был устранён. В настоящее время исчисление бесконечно малых обосновано столь прочно, как и более старые отрасли математики, и поводу смысла его основных понятий не возникает никаких недоразумений. Для этого было достаточно проделать чисто математическую работу: дать хорошие определения и формулировать исчерпывающую систему допущений, на которые опираются последующие логические построения. Разрешения же современных разногласий приходится искать вне математики. Когда часть математиков формулирует достаточно простой принцип теории множеств, кажущийся им очевидным, другая же часть находит этот принцип лишённым какой бы то ни было убедительности, неизбежным становится теоретико-познавательный анализ смысла основных терминов, ими употребляемых. Дело идёт собственно о понятиях множества, его элемента и особенно о понятии существования. Довольно ясно, что формальное математическое определение этих понятий было бы пустой тавтологией.

Эта и многие другие трудности, возникшие на окраинах современной математики по поводу недавно возникших крайне абстрактных теорий, не мешают, конечно, продолжать текущую работу в классических областях математики. При этом имеется довольно обоснованная уверенность, что наиболее ценные конкретные достижения современной математики устоят против ведущейся разрушительной критики. Однако с чисто логической точки зрения дело обстоит так, что при исследовании весьма конкретных вопросов классического анализа применяются те же самые методы, которые в более общих теориях приводят к затруднениям и даже противоречиям [4]. На этом обстоятельстве особенно настаивает Вейль. Например, он убедительно показывает, что доказательство существования верхнего предела числовой последовательности обосновывается рассуждениями совершенно такого же рода, как те, которые в общей теории множеств приводят к противоречиям (антиномиям), открытым Ресселем [5] и др.

Естественен поэтому повышенный интерес, который проявляют сейчас математики к углублённому исследованию оснований своей науки. При этом им неизбежно приходится выходить за пределы собственно математических рассуждений и опираться на ту или иную теорию математического познания. К сожалению, часто теория познания математиков, занимающихся исследованием оснований, имеет несколько кустарный, доморощенный характер.

Две теории в настоящее время обещают разрешить все затруднения, волнующие математиков, обе, правда, довольно дорогой ценой.

Возглавляемый Гильбертом формализм предполагает сделать это посредством превращения математики в чистую игру символами, в которой всё позволено под единственным условием уметь доказать отсутствие в этой игре противоречий. Интуиционизм Броуэра [6], напротив, предлагает изгнать из математики всё, что не имеет твёрдого основания в общей всем интуиции. Большинство математиков, внимательно присматриваясь к обоим течениям, занимает выжидательную позицию.

Основной трудностью при изложении содержания этих двух теорий для неспециалистов является то обстоятельство, что обе они возникли в виде реакции против теоретико-множественной концепции математики, которая сама имеет не столь древнее происхождение и ещё недостаточно хорошо известна нематематикам. Поэтому нам придётся сначала напомнить её развитие, в основном закончившееся к началу нашего столетия, затем рассмотреть те затруднения, к которым она привела, и лишь после этого наметить попытки их преодоления, предлагаемые Гильбертом и Броуэром.

Наибольшей известностью пользуется изложение нового взгляда на структуру математической теории, данное на границе нашего и прошлого века в «Основаниях геометрии» Гильберта [7]. Здесь объявляется, что геометрия имеет дело с системой вещей, условно называемых «точками», «прямыми», «плоскостями», связанных отношениями тоже совершенно неизвестной природы, отношениями, условно описываемыми терминами «прямая проходит через точку» и т. д. Отнюдь не природа этих вещей и отношений определяет содержание геометрии. Для развития геометрии важно только то, что эти отношения удовлетворяют известным аксиомам, например такой: «Существует одна и только одна прямая, проходящая через две данные точки». Гильбертом дана система из двадцати двух аксиом геометрии; всякая система вещей и отношений, которая удовлетворяет этим двадцати двум аксиомам, по мнению Гильберта, с одинаковым правом может быть названа «пространством». В ряде приложений к «Основаниям геометрии» показывается, что и другие математические теории могут быть изложены подобным образом. Рессель формулировал этот взгляд на истинный смысл математической теории в виде широко известного парадокса: «Математика – это наука, которая не знает, о чём она говорит и что она говорит».

Первой теорией, которая получила строгое абстрактное изложение, т. е. изложение, ничего не предлагающее относительно природы элементов, образующих изучаемую систему, была теория групп.

Именно Кэли в 1854 г. было предложено называть «группой» всякую систему элементов, для каждых двух из которых определён третий элемент, называемый их «произведением», если только это произведение удовлетворяет известным перечисленным им условиям, например условию (АВ)С = А(ВС). Приведём два примера групп. Группой будет совокупность тех вращений куба вокруг его центра, которые совмещают его с самим собой[180]. Число различных таких вращений равно 24. Группой же будет совокупность всевозможных перестановок четырёх символов. Число таких перестановок тоже равно 24. Больше того, внутренняя структура этих двух групп, на первый взгляд не имеющих между собой ничего общего, совершенно тождественна. С точки зрения абстрактной теории это одна и та же группа. Именно в возможности абстрактную теорию применять в самых различных случаях, придавая основным её терминам то или иное конкретное значение, и заключается одно из основных преимуществ новой точки зрения.

Отчётливое понимание абстрактной природы геометрии мы встречаем впервые в 1871 г. у Клейна, который показал, что каждая из трёх разработанных к тому времени систем геометрии допускает много различных применений. Так, например, сферы и окружности, ортогональные к одной данной сфере в евклидовом пространстве, обладают всеми свойствами плоскостей и прямых геометрии Лобачевского. Поэтому из каждой теоремы геометрии Лобачевского мы можем одним изменением терминов получать теорему о сферах и окружностях евклидова пространства.

Абстрактное изложение теории чисел было дано Пеано, для чего ему понадобились только три аксиомы. Но целые числа сохраняют и в современной математике особое положение. В самом деле, математика изучает системы предметов, отвлекаясь от природы каждого из них. Но сама система, если она конечна, состоит из определённого числа предметов. Так, абстрактные группы классифицируются по их «порядку», числу элементов. Здесь число фигурирует не как нечто удовлетворяющее аксиомам Пеано, а как понятие с вполне определённым содержанием.

Отстаивая такое особое положение в математике целого числа, Пуанкаре, безусловно, высказывал мнение большинства математиков.

Зато теорию действительных чисел (дробных и иррациональных) современная математика склонна рассматривать как абстрактную теорию, так как конкретное их осуществление достаточно разнообразно[181]. Система аксиом, определяющая действительное число, дана в одном из приложений к «Основаниям» Гильберта.

Для того чтобы абстрактная теория имела смысл, необходимо существование хотя бы одной системы предметов и отношений, удовлетворяющей выставленным аксиомам [8]. Когда дело идёт о системах из конечного числа элементов, вопрос решается крайне просто, так как такая система может быть непосредственно материально осуществлена. Так и поступают в теории конечных групп: группу задают таблицей её элементов и их произведений.

Много сложнее вопрос об абстрактных системах геометрии. Первоначальной моделью математического пространства было физическое пространство нашего внешнего опыта. Но, во-первых, геометрия идеализирует данные непосредственного опыта, что разрушает однозначность связи между элементами математического пространства и наблюдаемыми элементами пространства физического. Во-вторых, теперь мы имеем уже не одно математическое пространство, а бесчисленное их множество, причём неизвестно, которое из них является наиболее точной моделью пространства физической действительности. Поэтому приходится конструировать образцы различных пространств аналитическим путём. Так, для доказательства реальности данной им системы аксиом евклидова пространства Гильберт рассматривает пространство, в котором точки являются просто тройками действительных чисел – их координат. Точно так же и другие виды пространств легко строятся при помощи чисел. Но и сами действительные числа нуждаются в конструкции.

Обычно при конструктивном определении числа предполагают уже данными целые числа, как определённые их реальным значением. Правда, логисты (Пеано, Рессель) пытались обойтись без этого, но мы увидим дальше, что действительные тенденции логистики [9] оказались очень далёкими от рассматриваемой сейчас концепции.