Владимир Успенский – Апология математики (сборник статей) (страница 96)

Рациональные числа строятся без труда посредством пар целых чисел, изображающих их в виде дроби. Существенно новый принцип пришлось ввести Дедекинду для определения произвольного действительного числа. Дедекинд определяет действительное число как сечение в ряду рациональных чисел, т. е. использует для определения одного действительного числа разбиение рациональных чисел на два бесконечных множества. Это приводит нас к одному из основных конструктивных принципов теории множеств – переходу от данного множества к множеству его частей.

Теперь часто предпочитают построение действительного числа, отправляясь непосредственно от целых чисел. Так, можно объявить действительным числом просто всякую последовательность натуральных чисел, рассматриваемую как последовательность неполных частных непрерывной дроби. Последовательность натуральных чисел, в которой каждому номеру места в последовательности соответствует определённое число, есть не что иное, как целочисленная функция от целочисленного аргумента. Аналогично, имея два множества, строят множество всех функций, ставящих в соответствие каждому элементу первого множества некоторый элемент второго множества.

Если к этим принципам присоединить ещё сложение множеств, то мы получаем возможность, исходя от натурального ряда целых чисел, построить запас элементов достаточной мощности, чтобы составить из них системы, удовлетворяющие самым разнообразным требованиям.

Предыдущие краткие указания были направлены главным образом к тому, чтобы сделать ясным, насколько теоретико-множественная точка зрения глубоко проникла во всю современную математику. Общая теория множеств с её специальными проблемами, правда, остаётся несколько изолированной, но её методы получают всё большее преобладание в изложении классических отраслей математики и постепенно проникают в элементарные учебники.

Мы могли различить в этой концепции математики две стороны: с одной стороны, имеются теории, постулирующие существование бесконечных систем объектов, удовлетворяющих известным аксиомам, и формально извлекающие из этих аксиом свойства изучаемой системы; с другой стороны, признаётся необходимой ещё конструкция соответствующих объектов исходя из натурального ряда или ещё какого-либо запаса элементарных объектов. Последние годы показали, что устойчивого равновесия между этими двумя сторонами достигнуто не было. С известным приближением можно формулировать выдвинутые в новейшее время точки зрения так: Гильберт предлагает сохранить только первую, формальную, часть математики, освободив нас от необходимости конструкции посредством своей теории непротиворечивости; Броуэр, напротив, ценит по преимуществу конструктивную часть, но думает, что конструкция не в состоянии дать нам то законченное существование бесконечных совокупностей, которое требуется для свободного применения ставших обычными в математике способов рассуждений, и поэтому требует коренного пересмотра приёмов математического доказательства.

Появление этих крайних точек зрения объясняется тем, что соединение обеих сторон теоретико-множественной математики привело к большим затруднениям и даже противоречиям. Общим источником этих затруднений является следующее. Математики привыкли обращаться с числами, функциями, множествами так, как будто бы это были вещи реального мира, во всём подобные материальным.

Уже самоё предпочтение термина «вещь» (Ding) термину «предмет» (Gegenstand) [10] достаточно характерно в этом отношении; а именно о системе «вещей» говорит Гильберт в «Основаниях геометрии», так же как и большинство математиков. Между тем такой взгляд в общей теории множеств приводит к противоречиям.

Чтобы убедиться в этом, рассмотрим известный парадокс Ресселя. Предположим при этом, что все логические классы существуют наподобие столбов, к которым протянуты проволоки от всех входящих в них вещей… Если сам класс является элементом самого себя, то наш должен выступать в двойной роли: элемента класса и столба, этот класс отображающего. Исходящая от него как от элемента проволока должна возвращаться к нему же как к столбу, отображающему весь класс элементов. Выделим теперь все те столбы, к которым каждая проволока прикреплена только одним концом, это те классы, которые не содержат сами себя в качестве элемента. Среди них, например, не будет класса всех классов. Выделенные столбы образуют вполне определённый класс вещей. Следовательно, должен уже существовать столб, к которому сходятся проволоки от всех выделенных столбов. Когда мы спросим себя, принадлежит ли последний столб к числу выделенных, мы и получим без труда противоречие. Если он принадлежит к их числу, то от него должна исходить проволока, возвращающаяся к нему же, что невозможно, ибо слова «принадлежит к их числу» означают, что он сам есть один из таких столбов, к которым каждая проволока прикреплена только одним концом; если же он не принадлежит к их числу, то такой проволоки не должно быть, что опять приводит к противоречию, ибо в таком случае, не имея проволоки, прикреплённой к нему двумя концами, он сам должен принадлежать к числу выделенных нами столбов.

Существует много объяснений этого парадокса, но все они сводятся к тому, что запрещается рассматривать совокупность всех классов в виде законченной совокупности, иначе говоря, к отрицанию законности нашей аналогии с действительными вещами.

Вне общей теории множеств «совокупность всех классов» не нужна математикам. Если более осторожно ограничиваться множествами «вещей», действительно необходимых, то прямых противоречий не получается. Еще до сих пор наиболее популярным среди избегавших философии математиков выходом из создавшегося затруднительного положения и является ограничение области «существующего». Так, почти общим мнением является, что трансфинитные числа третьего класса «не существуют» [11]; относительно трансфинитных чисел второго класса, не изобразимых аналитически функций и некоторых других пограничных предметов мнения расходятся; наконец, целые и действительные числа, непрерывные и другие «приличные» функции большинством признаются за существующие. Само собой разумеется, что принимаются за существующие и конечные комбинации существующих предметов: например, комплексные числа, рассматриваемые как пары действительных.

Такая позиция, хотя и является наиболее спокойной, страдает беспринципностью, которая особенно наглядно выражается в том, что границы области «признаваемого» тем или иным математиком стоят в явной зависимости от его личных интересов: не заинтересованные в сохранении каких-нибудь трансфинитных чисел с лёгким сердцем выбрасывают их за борт; занимающиеся их исследованием противятся этому.

Так как не было выработано никакого разумного критерия для разграничения «математически существующего» и «несуществующего», то математики, ставшие на описанную точку зрения, оказались беззащитными против угроз лишить их на тех же основаниях, на которых они добровольно отказались от роскоши общей теории множеств, и многих предметов первой необходимости. Так, Вейлем было запрещено говорить о верхнем пределе числовой последовательности; были объявлены не имеющими смысла вопросы о существовании целого числа, обладающего тем или иным свойством; наконец, был совсем изгнан непрерывный континуум, вместо которого было предложено счётное множество точек, включающее все алгебраические и элементарно-трансцендентные точки и будто бы вполне достаточное для всех практических нужд математиков.

Но и по поводу вопросов, выдвинутых математической практикой, а не спекуляциями общей теории множеств, возникли если не противоречия, то затруднения, имеющие тот же источник – чрезмерно реалистическое отношение к тем «вещам», с которыми имеет дело математическая теория. Здесь следует указать прежде всего на вопрос о так называемой аксиоме Цермело, или «принципе произвольного выбора», который уже упоминался в начале статьи. Тщательный анализ выяснил, что этот принцип, не будучи точно формулирован, неоднократно применялся в элементарных учебниках [12]. Общая формулировка его такова: если имеется множество множеств, содержащих каждое хотя бы по одному элементу, то существует множество, имеющее по одному и только одному общему элементу с каждым данным множеством [13]. Было предложено следующее популярное изъяснение этого принципа: имеется большое количество пар сапог, требуется образовать множество, содержащее по одному элементу каждой пары; очевидно, достаточно для этого из каждой пары взять правый сапог.

Именно такого рода грубо реалистические аналогии заставляют многих считать аксиому Цермело совершенно очевидной. Но она пришла в безнадёжное столкновение с тем представлением, что математическое существование должно быть поддержано соответствующей конструкцией [14]. Обнаружилось, что действительное определение множества, существование которого постулируется в аксиоме Цермело, часто является делом совершенно безнадёжным. К тому же те объекты, существование которых доказывается при помощи этой аксиомы, оказались не только ненужными, но иногда и разрушающими простоту и стройность важных математических теорий [15]. Так, например, без аксиомы Цермело мы умеем строить только «измеримые» точечные множества, т. е. такие, которым можно приписать определённое число – их меру, – вполне аналогическое длине отрезка; есть все основания думать, что другого рода множества вообще нельзя построить [16]; между тем из аксиомы Цермело следует «существование» неизмеримых множеств [17].