Владимир Успенский – Апология математики (сборник статей) (страница 97)
Таким образом, мы видим, что постулируемое при аксиоматическом изложении той или иной математической теории «существование» соответствующих предметов не находит достаточной опоры в тех конструкциях, которые нам известны. Наиболее естественным выходом из положения является, отбросив аксиоматический путь, изучить своеобразную природу тех объектов, которые мы можем конструировать, и вывести отсюда, какие свойства можно им приписывать и по каким законам рассуждать о них. Это и делает Броуэр.
В основу своих построений Броуэр кладёт последовательность, закономерность определённых предметов, например натуральных чисел. Они заданы законом образования каждого следующего из предыдущего. Каждое из них обозначается определённой комбинацией известных символов в конечном числе, например по обычной десятичной системе. После этого Броуэр считает натуральные числа вполне хорошо определёнными.
Но известно в силу известной теоремы Кантора, что для действительных чисел нельзя дать регулярного метода обозначения каждого из них при помощи конечных комбинаций заранее определённого запаса символов. Это вызывается тем, что континуум действительных чисел неперечислим [18], т. е. не может быть занумерован натуральными числами так, чтобы каждому его элементу соответствовал свой собственный номер. Броуэр и делает основным предметом своего изучения способы задания элементов континуума. При этом он рассматривает континуум в форме совокупности последовательностей натуральных чисел; другие представления континуума могут быть сведены к этому, и их рассмотрение привело бы к тем же результатам.
Итак, элементом континуума является бесконечная последовательность натуральных чисел
Такая последовательность не может быть написана вся полностью. Если мы хотим дать какую-либо одну определённую последовательность, то мы можем определить её только посредством некоторого закона её образования, например такого:
который позволил бы последовательно находить её элементы. Но закон образования не есть сама последовательность; двум различным законам может соответствовать одна и та же последовательность. Например, определённая выше последовательность может быть получена ещё по формуле
Сама же последовательность, независимо от того или иного способа её задания, по Броуэру, может мыслиться только как незаконченная, становящаяся. Но тогда это не есть последовательность, определённая до конца, так как ещё неизвестно, каковы будут её элементы, следующие за уже определёнными. Такую последовательность Броуэр называет «свободной последовательностью», характер которой может быть ограничен только указанием конечного числа её первых элементов. Но раз последовательность мыслима только как становящаяся, то исчезает сам континуум в качестве совокупности множества элементов. Континуум остаётся, как говорит Броуэр, только той средой, в которой развёртывается становящаяся последовательность. Задание конечного числа элементов последовательности лишь выделяет из континуума известную часть, в которой после этого она обязана оставаться. Геометрически становящаяся последовательность соответствует точке, положение которой на прямой определяется со всё бóльшим приближением, но никогда не даётся вполне точно.
Правда, при помощи того или иного закона развёртывания последовательности можно в этом текучем и подлинно непрерывном континууме выделить одну или несколько вполне определённых точек, но, по Броуэру, это уже вторичное явление. К тому же в силу неперечислимости [18] континуума мы никогда не исчерпаем его полностью.
Таким образом, Броуэр считает, что никакой совокупности предметов, удовлетворяющей обычным аксиомам, определяющим действительное число, нет. Естественно, что вместе с этим отпадает и возможность излагать геометрию в духе Гильбертовых «Оснований» как теорию «системы вещей», удовлетворяющих геометрическим аксиомам. Понятие множества как собрания предметов вообще почти исчезает в концепции Броуэра. Вместо этого даётся определение множества как закона построения его элементов. С этого определения начинается положительная работа интуиционистов над построением математики на новых основаниях. При этом, особенно Вейлем, подчёркивается, что вместо теоретического описания объективно данного на первый план выдвигается известная деятельность – конструктивное творчество.
Особенно много споров и недоразумений вызывает то, что Броуэр с этой перестройкой математики связывает и реформу логики, именно отрицание неограниченной применимости принципа исключённого третьего. Вопрос этот заслуживал бы более подробного освещения, но это заняло бы слишком много места. Здесь мы заметим только, что необходимость отказаться от принципа исключённого третьего тесно связывается интуиционистами с утратой математикой чисто теоретического характера. Принцип исключённого третьего по Броуэру неприменим лишь к суждениям особого рода, в которых теоретическое высказывание неразрывно связано с построением объекта высказывания. Поэтому можно предполагать, что идеи Броуэра вовсе не находятся на самом деле в противоречии с традиционной логикой, которая собственно никогда не имела дела с подобными суждениями.
Гильберт, давший в «Основаниях геометрии» известнейшее изложение теоретико-множественного взгляда на математику, выступает теперь в ряде статей с совершенно противоположными взглядами. Правда, их зародыши можно проследить и в некоторых местах «Оснований», и первое время вся глубина различия двух точек зрения не была замечена. Новый взгляд Гильберта заключается в том, что для оправдания построения геометрии или иной математической дисциплины нет никакой надобности доказывать существование соответствующей системы предметов конструктивным путем, достаточно доказать непротиворечивость аксиом.
Изгоняя из математики то, что считалось предметом её исследования, Гильберт приходит к выводу, что математическая теория является просто системой формул. Эти формулы не выражают никаких суждений, так как самые предметы, о которых они могли бы что-либо высказывать, упраздняются. Соответственно с этим математическое доказательство не есть больше доказательство в обычном смысле слова, это просто ряд операций над формулами, производимых по определённым вычислительным правилам, приводящих в конце к «доказываемой» формуле. «Непротиворечивость» математической теории, по Гильберту, тоже нельзя понимать в обычном смысле слова, это просто свойство принятых аксиом и вычислительных правил никогда не приводить к формулам специального вида, заранее объявленным ложными: например, 0=1.
Непротиворечивости в указанном смысле, как это ни странно, достаточно, чтобы оправдать законность практических применений математики. Именно, оказывается, что если в результате не имеющих никакого смысла формальных выкладок мы приходим к формуле, допускающей реальное истолкование, например к числовому равенству, то это реальное истолкование тем самым будет действительно доказано. Непротиворечивость же Гильберт обещает доказать для весьма широкого круга аксиом, включая в их число и разбиравшуюся выше аксиому Цермело [19].
Наиболее уязвимым пунктом Гильбертовой теории является то, что для доказательства непротиворечивости математических аксиом ему приходится построить новую дисциплину «метаматематику» [20], и есть опасения, что в «метаматематике» возродятся все трудности, изгнанные из математики.
Именно этот ряд идей Гильберта является естественным завершением логистики Пеано и Ресселя, которые, на словах оставаясь приверженцами теоретико-множественной точки зрения, в действительности работали над полной формализацией математики. Но для успеха этой формализации до последнего времени не хватало именно методов доказательства непротиворечивости, которые только и позволяют отказаться от всякого реального толкования формул.
Работы Гильберта по формализации математики и доказательству непротиворечивости ещё не закончены, что, естественно, затрудняет оценку действительной силы его методов [21].
С теоретико-познавательской стороны точка зрения Гильберта сводится к строгому ограничению конечным; все математические предложения, в которые так или иначе входит бесконечность, объявляются лишёнными всякого смысла. Правда, с блестящим искусством Гильберт восстанавливает забракованные математические теории в виде формальной непротиворечивой игры символами. Всё же этот выход, не дающий никакого объяснения, чем же держалась математика до настоящего времени, почему, высказывая о бесконечности суждения, не имеющие никакого смысла, математики понимали друг друга, продиктован только неумением найти выход более удовлетворительный.
Это заставляет отнестись с особым вниманием к Броуэру, который, не пугаясь проблемы, обещает выяснить природу бесконечного.
Но позволительно сомневаться, что интуиция и конструкция новых образов, исходя из натурального ряда, окажутся при этом надёжными руководителями. В частности, Броуэр изучает континуум в форме бесконечных последовательностей натуральных чисел, так как только в такой форме его естественно получать чисто логическими средствами. Исторически же идея континуума создалась посредством идеализации действительно наблюдаемых непрерывных сред; пока трудно представить себе, как отсюда извлечь опору для развития математической теории, но только это было бы прямым путём к пониманию природы математического континуума.