Владимир Успенский – Апология математики (сборник статей) (страница 94)

В 1-м разделе статьи «Zur Deutung…» («К толкованию…») Колмогоров наполняет формулы интуиционистской пропозициональной логики новым содержанием, свободным от философских предпосылок интуиционизма. Именно он предлагает рассматривать каждую такую формулу не как утверждение, а как проблему (т. е. как требование указать или построить объект, подчинённый тем или иным заранее заданным условиям). Понятие проблемы, или задачи, есть одно из фундаментальных понятий логики; Колмогоров был первым, кто включил это понятие в логико-математический дискурс (здесь идеи Колмогорова предвосхитили так называемую семантику реализуемости Клини – Нельсона). Предложенная Колмогоровым интерпретация интуиционистской логики близка к концепции Гейтинга, однако у последнего отсутствует четкое различение между суждением и проблемой. Существенным этапом в становлении логического мышления явилось предложенное Колмогоровым уточнение представления о сводимости одной проблемы к другой. Сам Колмогоров впоследствии так определял цель статьи: «Работа писалась в надежде на то, что логика решения задач сделается со временем постоянным разделом курса логики. Предполагалось создание единого логического аппарата, имеющего дело с объектами двух типов – высказываниями и задачами». Во 2-м разделе статьи выдвигается и обосновывается следующий взгляд: с интуиционистской точки зрения нельзя, вообще говоря, рассматривать отрицание общего суждения в качестве содержательного суждения. «Но тогда, – указывает Колмогоров, – исчезает предмет интуиционистской логики, поскольку теперь принцип исключённого третьего оказывается справедливым для всех суждений, для которых отрицание вообще имеет смысл. Возникает, однако, новый вопрос: какие логические законы справедливы для суждений, отрицание которых не имеет смысла?»

Сочинения Колмогорова, имеющие философскую составляющую

Основные понятия теории вероятностей. – М.: Наука 1974. – 119 с.

Введение в математическую логику. – М: Изд-во МГУ, 1982. – 120 с. (Соавтор А. Г. Драгалин.)

Математическая логика: Дополнительные главы. – М.: Изд-во МГУ, 1984. – 119 с. (Соавтор А. Г. Драгалин.)

Избранные труды: В 6 т. Т. 4: Математика и математики: В 2 кн. / Отв. ред. и сост. А. Н. Ширяев; подготовка текста Т. В. Толозова, Н. Г. Xимченко. – М.: Наука, 2007.

Математика – наука и профессия: Сб. статей / Сост. Г. А. Гальперин. – М.: Физматлит, 1988. – 288 с.

Математика в её историческом развитии: Сб. статей / Сост. Г. А. Гальперин; Под ред. В. А. Успенского. – М.: Физматлит, 1991. – 223 с.

Новгородское землевладение XV века. – М.: Физматлит, 1994. – 128 с.

Современные споры о природе математики // Научное слово. 1929. № 6. С. 41–54.

Современная математика: Сб. статей по философии математики / Под ред. С. А. Яновской. – М.: ОНТИ, 1936. – С. 7–13.

Теория и практика в математике // Фронт науки и техники. 1936. № 5. С. 32–42.

Предисловие // А. Гейтинг. Обзор исследований по основаниям математики. – М.: ОНТИ, 1936. – С. 3–4.

Аксиома // Большая Советская Энциклопедия. – 2-е изд. – Т. 1. – М.: Сов. энциклопедия, 1949. – С. 613–616.

Предисловие редактора перевода // Р. Петер. Рекурсивные функции. – М.: Иностр. лит., 1954. – С. 3–10.

Тезисы о кибернетике [от 20 января 1957 г.] // Очерки истории информатики в России / Ред. – сост. Д. А. Поспелов, Я. И. Фет. – Новосибирск: Научно-издат. центр ОИГГМ СО РАН, 1998. – С. 142–145.

Информация // Большая Советская Энциклопедия. – 2-е изд. – Т. 51. – М.: Сов. энциклопедия, 1958. – С. 129–130.

Кибернетика // Большая Советская Энциклопедия. – 2-е изд. – Т. 51. – М.: Сов. энциклопедия, 1958. – С. 149–151.

Предисловие // У. Р. Эшби Введение в кибернетику. – М.: Иностр. лит., 1958. – С. 5–8.

Автоматы и жизнь: Тез. докл. // Машинный перевод и прикладная лингвистика. Вып. 6. – М.: 1961. – С. 3–8. [Перепечатано в сб.: Очерки истории информатики в России. / Ред. – сост. Д. А. Поспелов, Я. И. Фет. – Новосибирск: Научно-издат. центр ОИГГМ СО РАН, 1998. – С. 147–150.]

Жизнь и мышление как особые формы существования материи // О сущности жизни / Отв. ред. Г. М. Франк, А. М. Кузин. – М.: Наука, 1964. – С. 48–57.

Бесконечность в математике // Большая Советская Энциклопедия. – 3-е изд. – Т. 3. – М.: Сов. энциклопедия, 1970. – С. 264–265.

Вероятность // Большая Советская Энциклопедия. – 3-е изд. – Т. 4. – М.: Сов. энциклопедия, 1971. – С. 544.

Элементы логики в современной школе // Математика в школе. 1971. № 3. С. 91–92.

О воспитании на уроках математики и физики диалектико-материалистического мировоззрения // Математика в школе. 1978. № 3. С. 6–9.

Диалектико-материалистическое мировоззрение в школьном курсе математики и физики // Квант. 1980. № 4. С. 15–18.

Письма А. Н. Колмогорова к А. Гейтингу // Успехи математич. наук. 1988. Т. 43. Вып. 6. С. 75–77.

Семиотические послания // Новое литературное обозрение. 1997. № 24. С. 216–245.

Колмогоров. Юбилейное издание: В 3 кн. Кн. 1: Истина – благо. Библиография / Ред. – сост. А. Н. Ширяев; подготовка текста Н. Г. Xимченко. – М.: Физматлит, 2003. – 384 с.

Колмогоров в воспоминаниях / Ред. – сост. А. Н. Ширяев. – М.: Физматлит, 1993. – 734 с.

Колмогоров в воспоминаниях учеников / Ред. – сост. А. Н. Ширяев; текст подготовлен Н. Г. Xимченко. – М.: МЦНМО, 2006. – 472 с.

Явление чрезвычайное: Книга о Колмогорове / Сост. Н. X. Розов; под общ. ред. В. М. Тихомирова. – М.: ФАЗИС, МИРОС, 1999. 256 с.

Успенский В. А. Андрей Николаевич Колмогоров – великий учёный России // Очерки истории информатики в России / Ред. – сост. Д. А. Поспелов, Я. И. Фет. – Новосибирск: Научно-издат. центр ОИГГМ СО РАН, 1998. – С. 484–505.

Тихомиров В. М. Андрей Николаевич Колмогоров, 1903–1987: жизнь, преисполненная счастья / Отв. ред. С. С. Демидов. – М.: Наука, 2006. – 199 с.

Колмогоров и кибернетика / Под ред. Д. А. Поспелова, Я. И. Фета. – Новосибирск: Изд-во ИВМиМГ СО РАН, 2001. – 159 с.

Uspensky V. A. Kolmogorov and mathematical logic // The Journal of Symbol Logic. 1992. Vol. 57. № 2. Pp. 385–412.

Youshckevitch A. P. A. N. Kolmogorov: Historian and Philosopher of Mathematics // Historia mathematica. 1983. Vol. 10. № 4. Pp. 383–395.

Приложение I

А. Н. Колмогоров. Современные споры о природе математики

Андрей Николаевич Колмогоров [12 (25).04.1903–20.10.1987] – великий учёный России. Он, конечно, был и великим математиком, но великий учёный – это нечто большее, чем великий математик, великий физиолог или великий филолог. Великих учёных, по мнению автора этих строк, в России было три: Ломоносов, Менделеев, Колмогоров. К 1960-м гг. сформировалось представление о Колмогорове как о первом математике мира, что, в частности, было подтверждено присуждением ему в 1963 г. высшей на тот момент мировой награды в области математики – премии фонда Бальцана (Fondazione Internazionale Balzan). Британская энциклопедия (Encyclopaedia Britannica) бесстрастно определяет Колмогорова как «российского математика, чьи труды оказали влияние на ряд ветвей современной математики».

Помещаемая ниже статья А. Н. Колмогорова «Современные споры о природе математики» была впервые опубликована в 1929 г. в журнале «Научное слово» (№ 6, с. 41–54). Через 77 лет она, с моими комментариями, была перепечатана в журнале «Проблемы передачи информации» за 2006 г. (т. 42, вып. 6, с. 129–141). Публикуя эту труднодоступную в наши дни статью[178], редакция журнала преследовала цель не только познакомить читателя с малоизвестным сочинением классика науки, но и сделать его заинтересованным наблюдателем научного прогресса. Дело в том, что в конце XIX – начале XX в. в математике возникли и укоренились абстракции столь высокого уровня, что актуальной стала проблема их соотношения с реальностью. Эта проблема волновала ряд крупнейших математиков того времени, и статья Колмогорова была весьма актуальной. Уже через год после первой публикации статьи появились первые ошеломляющие результаты Гёделя, давшие ответ на ряд затронутых в статье вопросов и одновременно внёсшие математическую строгость в самоё постановку этих вопросов.

Со статьёй Колмогорова перекликаются отдельные места некоторых других статей данного сборника, прежде всего «Апологии математики» и «Семи размышлений».

Затекстовые комментарии нацелены в основном на то, чтобы дать представление о современном положении дел. Непосредственно в тексте они отмечены заключёнными в квадратные скобки цифрами от [1] до [21]. В остальном колмогоровский текст печатается в том виде, в каком он был опубликован в «Научном слове», без каких-либо изменений, за исключением немногочисленных орфографических и пунктуационных поправок. Сопровождавшие статью комментарии редакции «Научного слово» – а именно предварявшая статью преамбула и подстрочные примечания – опущены[179].

Никогда ещё претензия математики на незыблемость и общезначимость её выводов не подвергалась столь суровым испытаниям, как в настоящее время. Недаром французский математик Гадамар [1] по поводу некоторых математических споров выставил недавно гипотезу, что причина несогласий кроется в разности осмотического давления в клеточках мозга или ещё каком-либо различии, столь же мало поддающемся устранению посредством логических доказательств. Если эта гипотеза и носит несколько шуточный характер, то самая безнадёжность прийти к соглашению по некоторым вопросам очень остро ощущается многими. Так, ещё в 1905 г. в «пяти письмах о теории множеств» [2] несколько французских математиков, в том числе Гадамар и Борель, высказали прямо противоположные мнения по поводу незадолго до этого предложенного Цермело так называемого принципа произвольного выбора. То, что казалось Гадамару совершенно очевидным и не требующим никаких доказательств, Борелю представлялось отнюдь не очевидным и даже лишённым всякого смысла. Лебег и Бер [3] в своих письмах высказали ещё новые оттенки взглядов на тот же вопрос. Все эти различные мнения остаются непримирёнными до настоящего времени.