Если же перемещать изображение ладони по плоскости или по сфере, то, как его ни двигай, оно никогда не превратится в своё зеркальное отражение: и плоскость, и сфера суть поверхности ориентируемые.
Ориентируемость и неориентируемость геометрических образований – настолько важные понятия, что мы сейчас приведём ещё одну наглядную их иллюстрацию. Поставим спичку вертикально головкой вверх на горизонтальную плоскость и будем по ней передвигать; ясно, что спичка будет всё время торчать головкой вверх. Возьмём вместо плоскости сферу; если первоначально спичка была направлена головкой наружу, то так оно и останется при любых передвижениях; то же с заменой слова «наружу» на слово «внутрь». Это тот же мысленный эксперимент, который ранее мы изложили в муравьиных терминах. Теперь обведем основание спички окружностью, расположенной в нашей плоскости – не на плоскости, а в её «нолевой толще». Зададим на окружности так называемую ориентацию: нарисуем на ней дугообразную стрелку, указывающую направление обхода окружности. Этот обход, если смотреть на окружность с головки спички, может совершаться в одном из двух направлений – по ходу или против хода стрелки часов; каждое из этих двух направлений и называется ориентацией окружности. Ясно, что при описанном выше движении спички по плоскости ориентация привязанной к спичке окружности (которая будет передвигаться в плоскости) останется одной и той же. Это и есть ориентируемость плоскости. То же самое можно проделать, заменив плоскость сферой: ориентация передвигающейся окружности вместе со спичкой окружности меняться не будет. Это и есть ориентируемость сферы. Если же передвигать спичку, не отрывая её основания от ленты Мёбиуса, то можно добиться того, чтобы она пришла в положение, при котором ориентация окружности, описанной в ленте у основания спички, сменится на противоположную. Этот мысленный эксперимент демонстрирует неориентируемость ленты Мёбиуса.
Лента Мёбиуса имеет край, и её можно сшить из конечного числа лоскутов. Поэтому она является компактным двумерным многообразием с краем. Отодрать от неё край в реальном, физическом смысле, конечно, нельзя. Да ведь и сама лента Мёбиуса не является, строго говоря, реальным, физическим объектом: она есть не имеющая толщины поверхность и, как и всякая идеальная поверхность, пребывает лишь в нашем воображении (поразительным образом одинаковом в подобных случаях у разных людей). Но мысленно удалить край можно. Оставшееся будет двумерным многообразием без края, но уже не компактным: из конечного числа лоскутов это многообразие сшить нельзя, но можно сшить из бесконечного числа лоскутов, уменьшающихся в размерах по мере приближения к отсутствующему краю.
А возможна ли такая поверхность, которая, как и лента Мёбиуса, неориентируема, но является компактным многообразием без края? Такие поверхности существуют, но только в нашем обычном трёхмерном пространстве они не умещаются. Одной из них является знаменитая бутылка Клейна, названная по имени немецкого математика Феликса Клейна, запустившего её в математический оборот в 1874 г.
Постараемся в меру наших сил объяснить, как она получается. С этой целью вернёмся к той процедуре получения из обычной ленты цилиндрической поверхности и ленты Мёбиуса, которая была показана на рис. 21, а и б. Исходную ленту будем изображать в виде прямоугольника. Не станем помечать буквами его углы, а вместо этого воспользуемся стрелками. Они будут указывать способ склеивания. Требуется, чтобы при склейке направления, указанные стрелками, совпали. Схема получения боковой поверхности цилиндра показана на рис. 22, а. Видно, что у получающейся поверхности два края, один из коих соответствует острым концам стрелок, а другой – тупым. Что же касается ленты Мёбиуса, то схема её получения изображена на рис. 22, б. Наглядно видно, что у ленты Мёбиуса только один край, поскольку правый верхний угол теперь склеивается с левым нижним углом.
До сих пор мы склеивали только боковые стороны исходной ленты. А что, если попытаться склеить между собой также и другие две стороны? При склейке, показанной на рис. 23, а, получится тор. Если же склеить, как показано на рис. 23, б, как раз и получится бутылка Клейна. Легко увидеть, что и тор, и бутылку Клейна можно сшить из конечного числа лоскутов. А значит, обе поверхности суть двумерные компактные многообразия. Поскольку все стороны многоугольника участвуют в склеивании, краю в результирующих поверхностях неоткуда взяться. Поэтому и тор, и бутылка Клейна являются многообразиями без края.
Но всё дело в том, что склеить стороны так, как предписывает рис. 23, б, оставаясь в пределах нашего привычного трёхмерного пространства, невозможно. Это возможно лишь в том случае, если мы научимся действовать в пространстве четырёхмерном (кто знает, может быть, когда-нибудь и научимся). В четырёхмерном пространстве бутылка Клейна (в проекции на трёхмерное пространство) выглядит так, как показано на рис. 24.
Точнее сказать, так выглядит одна из гомеоморфных друг другу (и даже изотопных в четырёхмерном пространстве) фигур, каждую из которых можно назвать бутылкой Клейна (ведь и листу Мёбиуса можно придать различные формы, но все они будут гомеоморфны друг другу). Лучше сказать, что на рис. 24 предъявлена некоторая «бутылочная репрезентация» бутылки Клейна.
Не исключено, что более наглядным окажется другое объяснение того, как построить бутылку Клейна. Начнём с ленты Мёбиуса. Приглашаем читателя взглянуть на рис. 25, а и б. На них изображены два недостроенных плоских кольца; назовём их недокольцами. Чтобы достроить каждое недокольцо до полного кольца, нужно закрыть имеющуюся щель. Представим себе эти недокольца сделанными из абсолютно растяжимой резиновой плёнки. Тогда можно, не выходя из плоскости, стянуть эти недокольца так, чтобы в каждом из них края щели сомкнулись. Торцевые отрезки, образующие края щели, при этом склеиваются. Теперь потребуем дополнительно, чтобы при стягивании слились и одинаковые цифры, стоящие по концам склеиваемых торцевых отрезков. Для фигуры на рис. 25, а это возможно, а для фигуры на рис. 25, б – нет; напомним, что мы говорим о стягивании в пределах плоскости. Однако и для фигуры на рис. 25, б есть способ склеить торцевые отрезки так, чтобы совпали одинаковые цифры. Только для этого надо осуществить операцию не на плоскости, а в трёхмерном пространстве. При этом получится не плоское кольцо, а лента Мёбиуса.
Теперь взглянем на рис. 26, а и б. На них изображены баранки, в каждой из которых выгрызена щель. Говоря научным языком, на них изображены торы со щелями. Края щелей представляют собою круги. На окружностях этих кругов поставлены стрелки, указывающие направления обхода. Исходим из того, что фигуры с рис. 26, а и б сделаны из неограниченно растягиваемой резины, так что в каждой из фигур края щели можно затянуть. Упомянутые окружности при этом склеятся, а фигура превратится в тор. Усложним задачу, потребовав, чтобы при склеивании окружностей совпали направления их обхода. Мы видим, что это осуществимо для фигуры с рис. 26, а и неосуществимо для фигуры с рис. 26, б. Здесь имеется в виду осуществимость посредством деформации в пределах трёхмерного пространства. Однако и для фигуры с рис. 26, б есть способ стянуть края щели так, чтобы направления обхода склеиваемых окружностей совпали. Только для этого надо осуществить операцию не в трёхмерном пространстве, а в четырёхмерном. При этом получится не тор, а бутылка Клейна. Любезный читатель не преминет заметить аналогию между только что изложенным сопоставительным построением тора и бутылки Клейна и построением, также сопоставительным, плоского кольца и ленты Мёбиуса, изложенным в предыдущем абзаце.
Столь длительное обсуждение неориентируемых поверхностей, т. е. фигур двумерных, играло в нашем изложении роль разбега перед прыжком, длительность которого по сравнению с разбегом мала. Аналогом же прыжка у нас будет следующий за сим абзац, посвящённый неориентируемым трёхмерным фигурам.
Трёхмерную геометрическую фигуру, которая была бы неориентируемой, т. е. такую, внутри которой может существовать траектория, приводящая к зеркальному отражению, – подобную фигуру представить себе очень трудно. Тем не менее таковые допускают математическое построение. В нашем обычном трёхмерном пространстве они не умещаются. Те из них, которые компактны и не имеют края, не умещаются даже в «обычном» (евклидовом) четырёхмерном пространстве, подобно тому как неориентируемые компактные поверхности без края не умещаются в трёхмерном пространстве (вспомним, что умещающаяся в трёхмерном пространстве лента Мёбиуса имеет край). Однако уже не вызывает протеста предположение о существовании таких фигур в высших измерениях, ведь и двумерная лента Мёбиуса, не умещаясь на плоскости, требует для своего размещения трёхмерного пространства. И действительно, все неориентируемые трёхмерные тела «хорошо себя чувствуют» в пятимерном евклидовом пространстве.
Вспомним путешествие Готфрида Платтнера, в результате которого он превратился в своё зеркальное отражение. И евклидово пространство из курса средней школы, и трёхмерная сфера ориентируемы. В них отсутствуют траектории, приводящие к зеркальному отражению. Но теоретические представления о возможной геометрической структуре Вселенной не исключают того, что она неориентируема. А тогда путешествие, приводящее к зеркальному отражению путешественника, может быть осуществлено и без выхода из нашего трёхмерного мира. Возможно, таким образом, не вполне прав был поэт, сказавший:
