Владимир Успенский – Апология математики (сборник статей) (страница 51)

После того как я это перечитал, я нахожу, что эту гипотезу [о возможности представления всякого числа в виде суммы произвольного количества простых чисел. – В. У.] можно доказать с полной строгостью для случая n + 1, если она выполняется для случая n и если n + 1 может быть разложено в сумму двух простых чисел. Доказательство очень легкое. Кажется по меньшей мере, что любое число, которое больше чем 1, есть соединение [сумма] трёх простых чисел.

Клаузулу «которое больше чем 1» мы прокомментируем позже. Пока же укажем, что наш русский перевод осуществлён по книге Фусса. Для полной объективности приведём оригинальный текст (немецкий, с латинскими вкраплениями):

Auf solche Weise will ich auch eine conjecture hazardiren: dass jede Zahl, welche aus zweien numeris primis zusammengesetzt ist, ein aggregatum so vieler numerorum primorum sey, als man will (die unitatem mit dazu gerechnet), bis auf die congeriem omnium unitatem*); zum Exempel

*) Nachdem ich dieses wieder durchgelesen, finde ich, dass sich die conjecture in summo rigore demonstriren lässet in casu n + 1, si succes serit in casu n, et n + 1 dividi possit in duos numeros primos. Die Demonstration ist sehr leicht. Es scheinet wenigstens, dass eine jede Zahl, die grösser ist als 1, ein aggregatum trium numerorum primorum sey.

Простое число в современном понимании – это такое целое число, которое, во-первых, больше единицы и, во-вторых, не имеет других делителей, кроме единицы и самого себя. При таком понимании сформулированная Гольдбахом в подстрочном примечании гипотеза немедленно опровергается: каждое из чисел 2, 3, 4, 5 больше единицы, но ни одно из них не разлагается в сумму трёх простых чисел. Поэтому в современной формулировке проблемы говорится о разложении на слагаемые чисел, начиная с 6.

Однако (хотя это чаще всего забывают) Гольдбах причислял к простым числам и 1, о чём он объявил с полной ясностью. А тогда числа 3, 4, 5 также разлагаются в сумму трёх простых чисел. Но число 2 не разлагается в сумму трёх простых слагаемых, даже если в качестве таковых может выступать 1. В книге [2, с. 170] дан следующий перевод цитаты из письма Гольдбаха: «Таким образом, я хочу решиться высказать предположение… каждое число, большее чем 2, есть сумма трёх простых чисел». Там указывается, что переписка Эйлера с Гольдбахом цитируется по новому изданию [3]. Надо полагать, следовательно, что в издании 1965 г. цифра 1 была заменена на цифру 2. Изучение факсимильного воспроизведения письма Гольдбаха в книге [2, с. 171] оправдывает эту замену. Видно, что оговорку «die grösser ist als 1» («которое больше чем 1») Гольдбах вставил в уже написанную строку примечания. Сначала он пытается записать её между строк, но не находит места и помещает её под последней строкой примечания, где места тоже не слишком много (вспомним, что само примечание написано на левом поле и поперёк). Конец этой новой записи оказывается смазанным, а последняя цифра, принятая в издании 1843 г. за цифру 1, сливается с той линией, которой вставляемая запись обведена, как это всегда делается при вставках. Более тщательное прочтение убеждает, что указанную цифру следует читать не как 1, а как 2. Изложенное в этом абзаце составляет проблему не столько историческую, сколько литературную, хотя, впрочем, книга Фусса занимает заметное место в истории математики.

Как уже говорилось, предположение, что всякое число, начиная с 3 (в первоначальном варианте) или 6 (в современном варианте), может быть представлено в виде суммы трёх простых чисел, принято называть гипотезой Гольдбаха (the Goldbach conjecture). Таким образом, проблема Гольдбаха состоит в проверке гипотезы Гольдбаха. Часто проблему Гольдбаха понимают и так: доказать гипотезу Гольдбаха. Эти два понимания по существу не отличаются друг от друга, потому что в математике требование доказать почти всегда означает требование доказать или опровергнуть. Как мы видели, и гипотеза, и проблема Гольдбаха существуют в двух вариантах, различающихся смыслом слов. В исходном, Гольдбаховом, варианте 1 считается простым числом, и потому нижний рубеж равен 3. В современном варианте 1 простым числом не считается, и потому нижний рубеж равен 6. Ясно, что из современного варианта гипотезы вытекает исходный её вариант, и потому может оказаться, что исходная проблема несколько легче современной.

Из текста письма следует, что гипотеза о возможности представления чисел в виде суммы трёх простых – в каком бы из двух вариантов её ни понимать – трактуется Гольдбахом как частный случай более общей гипотезы о возможности представления чисел в виде суммы произвольного количества простых. Наверное, было бы терминологически правильным называть первую гипотезу Гольдбаха частной, а вторую – общей и различать общую и частную проблемы, состоящие в проверке соответствующих гипотез. Формулируя свою общую гипотезу, Гольдбах подразумевал, что число слагаемых, на которое разбивается число, больше 1[102] и не превосходит того числа, которое представляется в виде суммы. Напомним, что Гольдбах относил к простым числам и 1. При современном понимании термина «простое число» ограничения на число слагаемых усложняются, а потому усложняется и смысл общей гипотезы.

И в основном тексте письма, и в подстрочном примечании к нему упоминается разложение числа на сумму двух простых слагаемых (каждое из которых может быть и 1). Возможность такого разложения любого числа не утверждается и даже не предполагается в качестве гипотезы. Эта возможность фигурирует всего лишь в качестве условия того, что для данного числа выдвигается общая гипотеза Гольдбаха. Скажем, числа 11 и 35 не допускают разложения на два простых слагаемых (даже если допускать в качестве таковых 1), поэтому для них, как и для многих других, общая гипотеза не предлагается. Частная же гипотеза предлагается для всех чисел, начиная с 3.

Однако если не предполагать существования какого-то неизвестного нам сообщения Гольдбаха Эйлеру, то именно эти слова о разложении чисел на два простых слагаемых и явились причиной того замечания Эйлера в его ответном письме, в котором он приписывает Гольдбаху гипотезу о возможности такого разложения для чётных чисел.

Как подчёркивалось в предыдущем абзаце, в письме Гольдбаха такой гипотезы нет. Тем не менее Эйлер называет эту свою гипотезу «наблюдением» (eine Observation) Гольдбаха. Заметим также, что в письме Гольдбаха о чётности чисел ничего не говорится.

Ответное письмо Эйлера датировано 30 июня 1742 г. Вот что пишет в нём Эйлер на интересующую нас тему:

То, что любое число, разложимое на два простых числа, в то же время могло бы быть разбито и на любое число простых, может быть проиллюстрировано и подтверждено исходя из наблюдения, сообщённого мне Вами ранее, а именно: что каждое чётное число есть сумма двух простых чисел. В самом деле, если данное число n чётно, то оно есть сумма двух простых чисел, и так как n – 2 также является суммой двух простых чисел, то n также является суммой трёх, а также четырёх [простых] и т. д. Если же n нечётно, то оно же, разумеется, есть сумма трёх простых, потому что n – 1 есть сумма двух [простых], и может, следовательно, быть разложено на сколь угодно много [простых слагаемых]. А что каждое чётное число есть сумма двух простых, я почитаю вполне верной теоремой, хотя и не могу её доказать.

Текст оригинала (со с. 135 книги Фусса):

Dass eine jegliche Zahl, welche in zwei numeros primos resolubi lis ist, zugleich in quot, quis volueruit, numeros primos zertheilt wer den könne, kann aus einer Observation, so Ew. vormals mit mir communicirt haben, dass nehmlich ein jeder numerus par eine sum ma duorum numerorum primorum sey, illustrirt und confirmirt werden. Denn, ist der numerus propositus n par, so ist er eine summa duorum numerorum primorum, und da n – 2 auch eine summa duo rum numerorum primorum ist, so ist n auch eine summa trium, und auch quator u. s. f. Ist aber n ein numerus impar, so ist derselbe ge wiss eine summa trium numerorum primorum, weil n – 1 eine sum ma duorum ist, und kann folglich auch in quotvis plures resolvirt werden. Dass aber ein jeder numerus par eine summa duorum primorum sey, halte ich für ein ganz gewisses theorema, ungeachtet ich dasselbe nicht demonstrieren kann.

Итак, в ответном письме Эйлера содержится гипотеза о возможности разложения каждого чётного числа на сумму двух простых чисел. При этом, как видим, вслед за Гольдбахом к простым числам Эйлер относит и 1, что забывают при обсуждении проблемы Гольдбаха едва ли не всегда. В своих публикациях (по крайней мере в тех, которые мне известны) Эйлер, однако, не считал 1 простым числом – достаточно взглянуть, например, на § 267 из первого тома его трактата «Введение в анализ бесконечно малых»[103], где явно перечисляются «все простые числа 2, 3, 5, 7, 11, 13 и т. д.». Таким образом, гипотеза Эйлера также существует в двух вариантах – первоначальном, сформулированном Эйлером, и современном. Разложение, скажем, числа 18 вида 18 = 17 + 1 годится для первоначального варианта и не годится для современного; здесь надо искать такие разложения, как 18 = 13 + 5 и 18 = 11 + 7. В современном варианте следует говорить о разложении каждого чётного числа, начиная с 4. Ясно, что 4 – единственное чётное число, разлагаемое на такие два простых слагаемых, из которых хотя бы одно чётно, так что все последующие чётные числа могут разлагаться только на два простых нечётных слагаемых. Ясно также, почему речь идёт о разложении только чётных чисел: ведь нечётное n можно разложить на два простых слагаемых тогда и только тогда, когда n − 2 является простым.