Владимир Успенский – Апология математики (сборник статей) (страница 52)

В письме Эйлера дано доказательство того, что подтверждение его гипотезы о возможности разложения чётных чисел на два простых слагаемых немедленно приводит к подтверждению общей (а значит, и частной) гипотезы Гольдбаха. Доказательство дано Эйлером для варианта, при котором 1 считается простым числом. Если исключить 1 из корпуса простых чисел, надо предложенный Эйлером переход от n к n – 1 поменять на переход от n к n – 3.

И наконец, последний комментарий к этому обмену письмами. Эйлер обосновывает достаточность своей гипотезы для подтверждения общей гипотезы Гольдбаха. Однако даже частной гипотезы Гольдбаха оказывается достаточно для подтверждения гипотезы Эйлера о том, что каждое чётное число n разлагается на два простых слагаемых.

Достаточно разложить на три простых слагаемых число n + 2 и заметить, что ввиду его чётности невозможно, чтобы все три слагаемых были нечётны. Значит, какое-то из этих слагаемых непременно чётно и, следовательно, равно 2. Оставшиеся два простых слагаемых в сумме дают число n. Поэтому все три рассмотренные гипотезы – гипотеза Эйлера, частная и общая гипотезы Гольдбаха – оказываются эквивалентными. А следовательно, эквивалентны и соответствующие проблемы. В наши дни все они объединяются терминами гипотеза Гольдбаха и проблема Гольдбаха.

Ещё в начале ХХ в. считалось допустимым включать 1 в объём понятия 'простое число'. Вот, например, что написано в знаменитой «Энциклопедии элементарной математики» Вебера и Вельштайна [4]: «Это, конечно, только вопрос целесообразного соглашения; часто относят единицу к простым числам, как оно и кажется естественнее на первый взгляд. Мы предпочитаем, однако, отделять единицу от простых чисел, так как это даёт возможность короче выражать некоторые предложения». С тех пор понятие простого числа сделалось общепринятым и устойчивым, и оно не включает в свой объём 1. А потому гипотеза и проблема Гольдбаха всеми понимаются однозначно – в современном варианте, исключающем из числа допустимых слагаемых 1.

Пора, однако, переходить к современности. Но прежде – несколько замечаний, преимущественно терминологических.

Проблему Гольдбаха можно ставить отдельно для разложения чётных и нечётных чисел. Поскольку, как мы видели, чётное число n может быть разложено на три простых слагаемых тогда и только тогда, когда на два простых слагаемых может быть разложено число n – 2, то проблема Гольдбаха для чётных чисел равносильна проблеме Эйлера, состоящей в требовании доказать гипотезу Эйлера, а стало быть, и проблеме Гольдбаха в её полном объёме. Поэтому в попытках решить тернарную проблему часто ограничиваются разложением нечётных чисел. Такая ограниченная проблема Гольдбаха называется слабой и состоит в проверке слабой гипотезы Гольдбаха (Goldbach's weak conjecture)[104]: всякое нечётное число, начиная с 7, может быть разложено на три простых слагаемых. Нередко термин «слабая гипотеза Гольдбаха» понимают в усиленном варианте, требующем, чтобы все три слагаемых были нечётными, и тем самым исключающем разложения вида 2 + 2 + p, где p – простое число (нижний порог поднимается в этом случае с 7 до 9). Эта терминологическая путаница порождает свои проблемы: подчас без внимательного анализа доказательств непонятно, что, собственно, сделано (показательный пример будет приведён ниже, в последнем абзаце)[105].

А теперь – последняя проблема этой статьи. Она состоит в выяснении того, решена проблема Гольдбаха или нет. В авторитетном словаре [1, с. 677], вышедшем в 1988 г., находим утверждение, что проблема Гольдбаха решена. Приведём соответствующую фразу полностью: «Другим следствием метода (1935–1937)[106] было решение ряда аддитивных проблем с простыми числами и, в частности, решение проблемы Гольдбаха». Эта фраза содержится в статье «ВИНОГРАДОВ Иван Матвеевич». Итак, благодаря использованию некоего метода проблема Гольдбаха была решена. Осталось узнать, какой из возможных ответов был дан на вопрос, составляющий проблему Гольдбаха и сформулированный в цитате из того же словаря [1, с. 188]. Вот тут и возникают трудности: ответ получить не удаётся.

В первой декаде XXI в. автор этих строк опросил нескольких специалистов по теории чисел, решена ли проблема Гольдбаха. Они отвечали уклончиво. Но на прямой вопрос, верно ли, что каждое число, начиная с 6, может быть разложено на три простых слагаемых, единодушно отвечали, что это неизвестно.

Посмотрим, что сказано в статье «ГОЛЬДБАХА ПРОБЛЕМА» в том же словаре. Находим фрагмент:

В 1937 г. И. М. Виноградов доказал[107], что всякое достаточно большое нечётное число представляется суммой трёх простых чисел, т. е., по существу, решил Г. п. для нечётных чисел. Это одно из крупнейших достижений современной математики.

Что касается признания того, что сделал И. М. Виноградов, одним из крупнейших достижений современной математики, то оно бесспорно и не вызывает вопросов. Их вызывают две детали в приведённой цитате. Первая деталь – бросающееся в глаза отличие от того, что написано на с. 677. Если там говорится о решении проблемы Гольдбаха, то здесь – о решении её частного случая для нечётных чисел, т. е. о слабой проблеме Гольдбаха. Вторая деталь состоит в том, что даже для этого частного случая говорится не обо всех нечётных числах, а лишь о «достаточно больших». Уклончивые ответы, упомянутые выше, объяснялись, по-видимому, словами «по существу» из цитаты. В самом деле, нужно ведь только проверить все нечётные числа, предшествующие «достаточно большим», на предмет возможности их разложения, и слабая проблема действительно будет решена, а разница между «решена» и «будет решена» не так уж и существенна. Но для этого нужно знать, где начинаются «достаточно большие числа». В теоремах Виноградова таких оценок не приводится.

По счастью, оказалось, однако, что указанные оценки можно извлечь из доказательства указанных теорем. И хотя сам Виноградов не указал нижнего рубежа «достаточно больших чисел», это сделал его ученик Константин Григорьевич Бороздин. Он установил, что методом Виноградова слабая гипотеза Гольдбаха подтверждается для всех чисел, начиная с числа 3^14348907 (это есть 3 в степени 3¹⁵)[108]; десятичная запись этого числа занимает свыше 6,5 млн знаков. (Названное число приблизительно равно числу e, возведённому в степень e^16,573. В публикации 1956 г. [6] Бороздин слегка уточнил свою оценку, заменив показатель 16,573 на 16,038.) Чтобы слабая проблема Гольдбаха была решена, остается перебрать все нечётные числа, которые меньше порога, указанного Бороздиным, и для каждого из них выяснить, можно или нет разложить его на три простых слагаемых. Пока это человечеству не под силу. В 1989 г. китайские математики Ван и Чен [7] понизили этот порог до числа, требующего всего лишь примерно 43 тысячи десятичных знаков для своей записи, а именно до числа e, возведённого в степень e^11,503. Но и это число слишком велико для того, чтобы в наши дни – а возможно, и когда-либо в будущем – можно было перебрать и проверить все нечётные числа, меньшие указанного Ваном и Ченом рубежа.

Приходится признать, что сделанное в словаре [1, с. 677] заявление о решении проблемы Гольдбаха несколько преждевременно. В качестве одного из возможных объяснений того, почему оно вообще было сделано, можно предложить такое.

Статья об И. М. Виноградове в «Математическом энциклопедическом словаре» [1, с. 677] практически буквально повторяет одноимённую статью из 5-го тома 2-го издания Большой Советской Энциклопедии. Этот том вышел в 1971 г., при жизни Виноградова, скончавшегося в 1983 г. Директор Математического института им. В. А. Стеклова Академии наук СССР (с 1932 г. и до конца жизни[109]), дважды Герой Социалистического Труда (звание было присвоено ему в 1945 и 1971 гг.), академик И. М. Виноградов был всемогущ и мстителен. Вне сомнений, текст статьи в Большой Советской Энциклопедии с ним согласовывался, и утверждение о том, что им решена проблема Гольдбаха, соответствовало его желаниям. Вот что пишет о Виноградове Сергей Петрович Новиков [8, с. 57]:

У математиков большое моральное влияние приобрёл Иван Матвеевич Виноградов. Он встал на путь антиинтеллигентности и доносничества в интересах своей карьеры ещё в 1929–1932 гг., а после войны вдобавок пошёл работать идеологом-антисемитом.

Как это ни печально, но роль личности влияет и на формулировки о степени разрешённости математических проблем.

Чтобы убедиться, что изложенный казус не представляет собою случайного исключения, заглянем в § 1 обзора А. О. Гельфонда [9] в фундаментальной 1044-страничной монографии «Математика в СССР за тридцать лет». Читаем:

Этот же глубокий метод позволил И. М. Виноградову [5] доказать, что всякое нечётное число представляется в виде суммы трёх простых чисел, и решить тем самым знаменитую проблему Гольдбаха. Гольдбах в 1742 г. высказал предположение, что всякое достаточно большое нечётное простое число может быть представлено в виде суммы трёх нечётных простых слагаемых. Все попытки доказать это предположение до работ И. М. Виноградова были безуспешны.

Если, в угоду Виноградову формулировать высказанное Гольдбахом в 1742 г. предположение так, как оно сформулировано А. О. Гельфондом, тогда Виноградов действительно решил проблему Гольдбаха. Но, как мы знаем, Гольдбах высказывал другое предположение, в котором ни одно из указанных Гельфондом ограничений на число не фигурировало: не говорилось ни что оно должно быть нечётным, ни что оно должно быть достаточно большим. Подлинная формулировка Гольдбаха была мало доступна советскому читателю в 1948 г.