Владимир Успенский – Апология математики (сборник статей) (страница 48)

А теперь картину, только что изложенную нами для двумерного мира, надо по аналогии перенести на мир трёхмерный. Мы, как и флатландцы, убеждены, что пребываем в «прямом» евклидовом пространстве школьной геометрии. Однако не исключено, что на самом деле – в (не на, а в) сфере, только трёхмерной. И эту трёхмерную сферу можно представлять себе расположенной в евклидовом четырёхмерном пространстве – наподобие того, как двумерная сфера расположена в пространстве трёхмерном. Четырёхмерное пространство мы, разумеется, не воспринимаем своими органами чувств, но ведь и флатландцы не воспринимают пространства трёхмерного. Как и флатландцы, мы можем убедиться в кривизне мира, увидев какой-нибудь весьма отдалённый предмет с двух противоположных сторон или отправившись в космическое путешествие и, никуда не сворачивая, вернувшись на космодром отправления. Можно также сравнивать длины окружностей с теми, которые выражаются через их радиусы по стандартной, известной из школы формуле. Вместо эксперимента с канцелярской резинкой надлежит произвести тот эксперимент с растягивающейся плёнкой, о котором было сказано выше.

Нередко представления об устройстве Вселенной, уже включённые наукой в перечень подтверждённых, кажутся парадоксальными; не исключено, что некоторые её свойства могут оказаться ещё более невероятными. Пожалуй, сейчас уже всем известен так называемый парадокс близнецов. Если один из двух близнецов совершает космическое путешествие, а другой остаётся на Земле, то в момент возвращения из космоса космонавт непременно окажется моложе своего брата; если ускорения, которым подвергался космонавт во время путешествия, были достаточно велики или достаточно длительны, разница в возрасте будет заметна на глаз. Разумеется, если они будут слишком велики, космонавт погибнет, а если слишком длительны – вряд ли он (а тем более его оставшийся на Земле близнец) окажется в живых к моменту возвращения, так что, говоря о «заметной на глаз разнице», мы допустили художественное преувеличение. Но незаметная глазу разница действительно имеет место.

Сейчас мы опишем другое явление – парадокс зеркального отражения. Встретится ли он когда-либо в действительности, неизвестно. В отличие от парадокса близнецов, описывающего реальные (точнее сказать, общепризнанные) свойства мироздания, парадокс зеркального отражения – чисто теоретическое построение, возможность его воплощения в реальности всего лишь не опровергнута.

Итак, парадокс зеркального отражения. Вспомним случай с Готфридом Платтнером, придуманный Уэллсом и дважды пересказанный нами. Платтнер на время исчезает, а по возвращении оказывается зеркально перевёрнутым. Уэллс не видит иного способа объяснить происшествие, кроме как приписать его выходу в другой мир, в четвёртое измерение: «Единственный способ, посредством которого правая и левая сторона какого-нибудь твёрдого тела могут перемениться, – это если изъять тело из пространства (в том виде, в каком мы понимаем пространство)».

Здесь существенна заключённая в скобки оговорка «в том виде, в каком мы понимаем пространство». Имеется в виду стандартное, школьное понимание пространства. Математики, однако, обнаружили теоретическую возможность существования такой формы трёхмерного пространства, что поменять местами правую и левую части тела можно и без выхода за его пределы. При стандартном, школьном понимании формы окружающего нас трёхмерного пространства действительно никаким перемещением в этом пространстве невозможно превратить кисть правой руки в кисть левой руки. Но это невозможно именно при стандартном, школьном понимании. Существуют, однако, иные формы пространства, допускающие такое перемещение. Попытаемся разъяснить, как такое может быть.

Как справедливо замечает Уэллс, вырезанный из бумаги силуэт правой ладони невозможно превратить в силуэт левой ладони, ограничиваясь перемещением по плоской поверхности стола; чтобы это сделать, надо поднять силуэт над столом, т. е. выйти в третье измерение, перевернуть силуэт и снова положить на стол.

Существуют, однако, такие поверхности, при перемещении по которым правое может превратиться в левое, а левое – в правое. Самой простой и самой известной из таких поверхностей является лист Мёбиуса (Möbius strip) или – как эту поверхность называли в добрые старые времена – лента Мёбиуса (Möbius band). Лента Мёбиуса показана на рис. 19. Знаменитый голландский художник Эшер (Мaurits Cornelis Escher, 1898–1972) увековечил ленту Мёбиуса в своём параде муравьёв, ползущих по ней друг за другом (рис. 20). Изображение ленты Мёбиуса можно встретить на обложках математических изданий и значках математических сообществ (в частности, на значке мехмата МГУ).

При желании читатель может сам изготовить ленту Мёбиуса. Сделать это просто. Если взять бумажную или матерчатую ленту и склеить её торцы, то полученная поверхность будет боковой поверхностью цилиндра. Если же при этом ленту перекрутить, т. е., удерживая неподвижным один конец ленты, другой конец повернуть перед склеиванием на 180°, как раз и получится лента Мёбиуса. Сказанное иллюстрирует рис. 21. Если взять ленту с двумя длинными сторонами AC и BD и двумя короткими, торцевыми, сторонами AB и CD (рис. 21, а) и склеить торцы AB и CD без перекручивания, точка A склеится с точкой C, а точка B – с точкой D, и получится боковая поверхность цилиндра. Если же A склеить с D, а B – с C, получим ленту Мёбиуса (рис. 21, б). Случается, что, подпоясавшись и застегнув ремень, вы обнаруживаете, что ремень перекрутился; такой перекрученный и застёгнутый ремень может служить примером ленты Мёбиуса[97]. Боковая поверхность цилиндра имеет два края, лента же Мёбиуса – только один (подобно тому, как один край имеет круг).

Самое же замечательное, что лента Мёбиуса имеет всего лишь одну сторону. Муравей, ползущий по одной стороне вырезанного из плоскости круга, не может перейти на другую его сторону, не переползя через край. Тот же муравей, ползающий по внешней стороне сферы, не может попасть внутрь сферы, не прогрызя её насквозь; а если он ползёт по внутренней стороне сферы, то точно так же должен её прогрызть, чтобы вырваться наружу. И поверхность в виде круга, и поверхность в виде сферы имеют каждая по две стороны. Иное дело лента Мёбиуса. Пусть теперь наш муравей ползает по ней. Проделаем такой мысленный эксперимент. Сделаем клон муравья и пустим его ползти, оставив исходного, клонированного, муравья на месте. Мы обнаружим, что, следуя определённым маршрутом, клон достигнет того же места ленты, что и клонированный муравей, но только оба насекомых окажутся в положении антиподов по отношению друг к другу: каждый относительно другого будет обращен спиной вниз. Лист бумаги можно закрасить с одной стороны в чёрный цвет, оставив другую его сторону незакрашенной. Точно так же и боковую поверхность цилиндра, и сферу можно выкрасить с одной стороны, оставив другую незакрашенной. Поступить так с лентой Мёбиуса не удастся. И плоскость, и её кусок, и поверхность цилиндра, и сфера суть поверхности двусторонние. Лента же Мёбиуса является односторонней поверхностью.

Феномен ленты Мёбиуса был обнаружен в 1858 г. Первооткрывателем его стал уже известный нам по предыдущей главе Листинг; ему же принадлежит и первое сообщение в печати. Однако описание свойств этой поверхности первым дал другой немецкий математик – Август Фердинанд Мёбиус (August Ferdinand Möbius, 1790–1868). Среди его предков со стороны матери был Лютер, а среди учителей – Гаусс. Память Мёбиуса увековечена не только в названии знаменитой поверхности, но также в названии кратера на обратной стороне Луны и астероида 28516. Дело в том, что, хотя основные его научные труды – труды замечательные, высоко оценённые Гауссом – относились к области математики, по должности он был астроном – профессор астрономии Лейпцигского университета (и в качестве такового внёс заметный вклад в эту науку двумя монографиями по теоретической астрономии). Преподавал же он в основном механику. Начинал Мёбиус младшим сотрудником астрономической обсерватории, причём утверждают, что он согласился на такую скромную работу из-за низкой самооценки. Его скромность, впрочем, была вознаграждена, потому что директором астрономической обсерватории в Гёттингене оказался не кто иной, как Гаусс.

В предыдущей главе была приведена предложенная Мёбиусом в 1840 г. задача, аттестующая его как одного из пионеров геометрии положения. За десять лет до кончины Мёбиус представил рукопись об односторонних поверхностях (в частности, о той, которая была впоследствии названа его именем) в Парижскую академию наук (как неофициально именовалась Французская академия естественных наук). Академия эта, увы, была печально известна тем, что присланные рукописи подчас пылились на полках и никто их не читал. А иногда они и пропадали[98]. Слава богу, рукопись Мёбиуса не пропала и после его смерти была обнаружена.

Другое свойство ленты Мёбиуса особенно важно для нашего изложения. Оно состоит в так называемой неориентируемости. Лента Мёбиуса, как и всякая поверхность, не имеет толщины. Если на какой-то поверхности изображён силуэт ладони, то невозможно сказать, правая она или левая: это зависит от того, с какой стороны посмотреть. Сказанное верно и для ленты Мёбиуса. (Читатель да не смутится употреблением здесь слова «сторона». Лента Мёбиуса в целом является односторонней, но тот малый её участок, на котором изображена ладонь, – двусторонний, и как ни гуляй по нему, своим антиподом не станешь.) Если рядом изображены две ладони, то можно сказать, одинаковы ли они, или же одна есть зеркальное отражение другой. Так вот, можно так переместить силуэт ладони по ленте Мёбиуса, что он вернётся на прежнее место зеркально отражённым, а возможность подобного передвижения и означает неориентируемость. Каждый может удостовериться, что это вполне реально. Для наглядности полезно представлять себе ленту Мёбиуса изготовленной из промокательной бумаги, так что любой рисунок, нанесённый чернилами, проступает насквозь. Не менее полезно воображать, что лента Мёбиуса сделана из бумаги, которая благодаря своей ничтожной толщине совершенно прозрачна, так что рисунок, нанесённый на одну сторону, ясно виден и с другой.