Владимир Успенский – Апология математики (сборник статей) (страница 47)

8. Построим теперь другой пример компактного трёхмерного многообразия, имеющий непосредственное отношение к проблеме Пуанкаре, – так называемую сферу Пуанкаре. Это пространство всех додекаэдров, вписанных в данную двумерную сферу. Его можно также получить следующим образом: сперва произвольно выберем какой-нибудь из таких вписанных додекаэдров, а затем рассмотрим все вращения сферы и отождествим те из них, при которых этот додекаэдр переходит в одно и то же положение. Каждому додекаэдру при этом соответствует 60 вращений, поскольку существует 60 вращений сферы, переводящих заданный додекаэдр сам в себя. Сфера Пуанкаре оказывается неодносвязной. Этот пример неодносвязного компактного трёхмерного многообразия принадлежит Пуанкаре. Он обнародовал его в 1904 г. в опровержение собственной неверной теоремы, опубликованной в 1900 г. Теорема утверждала, что компактное трёхмерное многообразие, в известном смысле похожее на трёхмерную сферу, и есть трёхмерная сфера (гомеоморфные многообразия считаются одним и тем же многообразием!). Обнаружив контрпример к своей теореме, Пуанкаре сформулировал её правильную (как мы теперь знаем) версию в виде знаменитой гипотезы, заметив, что её обсуждение «увело бы нас слишком далеко». Пуанкаре был прав: на доказательство его гипотезы ушло 100 лет.

Глава 12

Какой может оказаться наша Вселенная?

…С каких пор начали исследовать глубину познаний?

Для математики значение гипотезы Пуанкаре, превратившейся теперь из гипотезы в теорему Пуанкаре – Перельмана, огромно (не зря ведь за решение проблемы был предложен миллион долларов), равно как огромно и значение найденного Перельманом способа её доказательства, но объяснить это значение здесь – вне нашего умения. Что же касается космологической стороны дела, то, возможно, значимость этого аспекта была несколько преувеличена журналистами. Впрочем, некоторые авторитетные специалисты заявляют, что осуществлённый Перельманом научный прорыв может помочь в исследовании процессов формирования чёрных дыр.

Чёрные дыры, кстати, служат прямым опровержением положения о познаваемости мира – одного из центральных положений того самого передового, единственно верного и всесильного учения, которое 70 лет насильственно вдалбливалось в наши бедные головы. Ведь, как учит физика, никакие сигналы из этих дыр не могут к нам поступать в принципе, а потому узнать, чтó там происходит, невозможно. О том, как устроена наша Вселенная в целом, мы вообще знаем очень мало, и сомнительно, что когда-нибудь узнаем больше. Да и сам смысл вопроса об её устройстве не вполне ясен. Не исключено, что этот вопрос относится к числу тех, на которые, согласно учению Будды, не существует ответа. Физика предлагает лишь модели устройства, более или менее согласующиеся с известными фактами. При этом физика, как правило, пользуется уже разработанными заготовками, предоставляемыми ей математикой.

Математика не претендует, разумеется, на то, чтобы установить какие бы то ни было геометрические свойства Вселенной. Но она позволяет осмыслить те свойства, которые открыты другими науками. Более того, она позволяет сделать более понятными некоторые такие свойства, какие трудно себе представить, она объясняет, как такое может быть. К числу подобных возможных (подчеркнём: всего лишь возможных!) свойств относятся конечность Вселенной и её неориентируемость. (Вспомним формулировку проблемы Пуанкаре и из педантизма отметим, что конечность многообразия следует из его компактности, неориентируемость же, напротив, несовместима с односвязностью.)

Долгое время единственной мыслимой моделью геометрического строения Вселенной служило трёхмерное евклидово пространство, т. е. такое, которое известно всем и каждому со средней школы. Это пространство бесконечно; казалось, что никакие другие представления и невозможны; помыслить о конечности Вселенной казалось безумием (не меньшим, чем несколько тысяч лет назад мысль об обращении Земли вокруг Солнца). Однако ныне представление о конечности Вселенной не менее законно, чем представление о её бесконечности. В частности, конечна трёхмерная сфера. От общения с физиками у меня осталось впечатление, что одни отвечают: «Скорее всего, Вселенная бесконечна», другие же: «Скорее всего, Вселенная конечна», и только единицы не имеют определённой точки зрения.

Ниже мы попытаемся объяснить теоретическую возможность конечности Вселенной. Пока что заметим лишь, что конечность Вселенной не означает существования у неё края, «стены». Ведь само по себе отсутствие у геометрической фигуры конца и края ещё не означает её бесконечности. Поверхность нашей планеты, например, конечна, но края у неё нет. Но это мы твёрдо знаем всего несколько сот лет. В детстве я, как и другие, наслаждался старинной картинкой, на которой был изображён монах, дошедший до Края Земли и просунувший голову сквозь небесный свод. Ещё более, чем упомянутая картинка, моё детское воображение увлекала модная гипотеза (потом она как-то заглохла), что некие две далёкие туманности, наблюдаемые с Земли в противоположных концах небосвода, являются на самом деле не различными астрономическими объектами, а одним и тем же объектом, видимым с разных сторон. Подтвердись такое, это было бы доказательством конечности Вселенной.

Вот три мысленных эксперимента, способных засвидетельствовать конечность Вселенной, если она действительно имеет место. Первый: экспериментатор отправляется в космическое путешествие и, двигаясь всё время в одну сторону, возвращается в исходную точку. Второй: длина окружности оказывается меньше той, которую сообщают нам в школе, т. е. меньше 2π, помноженных на длину радиуса, причём отличие от «школьной» длины тем больше, чем длиннее радиус. Третий (предложен Эйнштейном): экспериментатор окружает себя сферой из прочной и неограниченно растягивающейся плёнки и начинает эту сферу раздувать; площадь поверхности сферы сперва будет возрастать, но начиная с некоторого момента начнет уменьшаться, а в итоге вся сфера стянется в точку. Этот третий эксперимент можно изложить и несколько иначе – в терминах намазывания краски на шар для игры в кегли, крокет или бильярд; можно взять и мяч. Предполагается, что краска имеется в неограниченном количестве. Экспериментатор покрывает шар всё новыми и новыми слоями краски, так что радиус шара неуклонно возрастает, поверхность же его уплощается, становясь всё менее и менее выпуклой. В какой-то момент экспериментатор замечает, что поверхность перестаёт быть выпуклой, она начинает прогибаться в другую сторону (так и хочется сказать «становится впуклой»). А ещё через некоторое время экспериментатор обнаруживает себя не вне той сферы, каковой является поверхность окрашиваемого шара, а внутри неё, т. е. внутри сферической полости. Он продолжает накладывать краску на «стены» полости до тех пор, пока эти сжимающиеся «стены» его не стискивают совершенно.

Чтобы понять, как такое возможно, надо напрячь воображение, а затем рассуждать по аналогии. С этой целью мы слегка изменим наше представление о Флатландии. В главе 10 Флатландия была плоской, теперь будет сферической. Желающие могут представить себе очень тонкий слой между двумя концентрическими двумерными сферами – столь тонкий, что его толщиной мы пренебрегаем, считая, что её нет вовсе. Таким образом, новая Флатландия двумерна, как и прежде; она населена двумерными существами, флатландцами. Мы с вами живём на сфере (на поверхности Земли), флатландцы же пребывают в теле сферы, в её «толще»; эта «толща», конечно, не имеет толщины, но ведь и флатландцы её не имеют. Органы чувств не позволяют флатландцам ощутить что-нибудь вне пределов этой сферы, которая для них составляет вселенную. Двумерная сфера, образующая Флатландию, большая, а двумерные жители обитают на малом её участке и – внимание! – полагают, что их вселенная представляет собою двумерное евклидово пространство, т. е. плоскость. (Полезно вспомнить, что люди тысячелетиями были убеждены: поверхность Земли – плоская. И, надо сказать, имели к тому разумные основания.)

Посмотрим, что может поколебать флатландцев в убеждении, что их вселенная, Флатландия, плоская. Если считать, что флатландцы умеют видеть чрезвычайно далеко, то удалённый от них объект они видят с двух сторон, ведь в их вселенной луч света идёт по сфере, огибая её. Флатландец, совершающий космическое путешествие и двигающийся всё время в одну сторону, возвращается, обогнув сферу, в исходную точку. Радиус окружности двумерные существа проводят по сфере, и потому длина «флатландского радиуса» оказывается больше евклидова радиуса той же окружности, проведённого в недоступном флатландцам «внешнем» пространстве. Следовательно, длина окружности окажется меньшей, нежели та, которая получится, если по известной школьной формуле умножить «флатландский радиус» на 2π. Если окружность невелика, то указанную разницу невозможно уловить измерительными приборами, имеющимися во флатландских исследовательских центрах; если же окружность достаточно велика, эта разность становится очень заметной. Посмотрим теперь, чтó произойдёт, если двумерный экспериментатор окружит себя канцелярской резинкой, способной неограниченно растягиваться, придаст ей форму окружности и станет увеличивать радиус этой окружности. Сперва длина окружности будет возрастать, но после прохождения через «экватор» Флатландии она начнёт уменьшаться и в итоге уменьшится до ноля. В качестве шаров для игр у флатландцев выступают круги. Если начать красить такой круг (что во Флатландии означает наносить краску на окружность круга, причём наносить её снаружи), то сперва круг будет расширяться, оставаясь для красильщика выпуклым, но только пока радиус круга не сравняется с «флатландским радиусом» всей Флатландии. После этого момента красильщик будет ощущать себя внутри сужающегося круга.