Владимир Успенский – Апология математики (сборник статей) (страница 46)

Суммируя сказанное, можно предложить следующее определение гомеоморфизма: гомеоморфизм есть взаимно однозначное преобразование, сохраняющее отношение прикосновения между точками и частями геометрических фигур.

По сравнению с прежним, неформальным, определением понятия гомеоморфизма в терминах деформации предложенная дефиниция не только является более строгой, но и расширяет объём этого понятия. Нетрудно убедиться, например, что интервал гомеоморфен прямой, открытый круг – плоскости, а открытый шар – всему трёхмерному пространству. Чтобы охватить подобные случаи определением через деформации, пришлось бы допускать в качестве таковых бесконечные растяжения.

Осталось выполнить данное ранее обещание и определить понятие 'в любой близости'. Каждая геометрическая фигура расположена в евклидовом пространстве какой-то размерности, а там установлено евклидово расстояние (см. главу 10). Слова «нечто найдётся в любой близости от данной точки» означают, что это «нечто» найдётся на расстоянии (от данной точки), меньшем любого наперёд заданного положительного действительного числа. Более подробно: какое положительное действительное число ни задай, интересующее нас «нечто» найдётся на таком расстоянии от рассматриваемой точки, которое меньше заданного числа. Быть может, любезному читателю покажется более простым вот какое многоступенчатое разъяснение слов «в любой близости». Сперва вводится понятие открытого шара произвольной размерности, частично знакомое нам по главе 10: открытый шар размерности n и радиуса r с центром в точке А состоит из всех точек n-мерного евклидова пространства, находящегося от А на расстоянии меньшем, нежели r. Затем для всякой точки геометрической фигуры вводится понятие окрестности этой точки: окрестностью точки называется пересечение множества всех точек фигуры с произвольным открытым шаром, центр которого находится в этой точке.

Иными словами, окрестность точки есть множество всех таких точек рассматриваемой фигуры, которые одновременно принадлежат какому-либо открытому шару. Подразумевается, что в качестве размерности всех этих открытых шаров выступает размерность того евклидова пространства, в рамках которого рассматривается наша фигура. Таким образом, каждая точка фигуры имеет бесчисленное количество окрестностей – столько же, сколько существует открытых шаров с центром в данной точке. Наконец, сообщается, что «в любой близости от данной точки» означает 'в любой окрестности данной точки'.

Если все точки прикосновения какой-либо части геометрической фигуры принадлежат самóй рассматриваемой части, эта часть называется замкнутой. Круг, например, является замкнутой частью плоскости. Его, как мы знаем, иногда называют замкнутым, чтобы отличить от открытого круга. Последний же замкнутой частью плоскости не является, поскольку среди его точек прикосновения имеются точки не принадлежащей ему окружности. Запрещению разрывов при гомеоморфизме можно теперь дать более сжатую формулировку: гомеоморфизм сохраняет свойство замкнутости. Это означает, что всякая замкнутая (незамкнутая) часть исходной фигуры обязана перейти в замкнутую же (незамкнутую) часть результирующей фигуры.

Окончательно для понятия гомеоморфизма можно предложить следующее определение: гомеоморфизм есть взаимно однозначное преобразование, сохраняющее замкнутость.

Ещё о многообразиях

Понятие гомеоморфии позволяет предложить следующее определение n-мерного многообразия: это такая геометрическая фигура, каждая точка которой имеет окрестность, гомеоморфную n-мерному шару. Данное определение имеет тот недостаток, что наши «геометрические фигуры» расположены в евклидовых пространствах, а многие важные многообразия возникают не как подмножества евклидовых пространств, а «сами по себе». Чтобы дать определение многообразия, свободное от этого недостатка, пришлось бы вводить общее понятие абстрактного топологического пространства. Мы не будем давать точного определения этого понятия, ограничившись следующим неформальным описанием: топологическое пространство есть некое обобщение понятия геометрической фигуры, для которого имеют смысл обсуждавшиеся выше понятия прикосновения, окрестности точки, замкнутого множества и гомеоморфизма. (Указанный недостаток не слишком страшен, поскольку каждое многообразие может быть «представлено» в виде геометрической фигуры. Это значит, что для каждого многообразия существует гомеоморфная ему геометрическая фигура. Так, любое трёхмерное многообразие гомеоморфно некоторой геометрической фигуре, расположенной в пятимерном евклидовом пространстве.)

Приведем некоторые примеры многообразий, возникающих «абстрактно» в механике и геометрии.

1. Рассмотрим механическую систему, которая состоит из двух частиц, свободно передвигающихся вдоль прямой. Мы считаем, что частицы могут беспрепятственно проходить сквозь друг друга и сохраняют свою индивидуальность: они были пронумерованы, и в каждый момент нам известно, какая из частиц имеет номер один, а какая – номер два. Каково пространство состояний нашей системы? Ясно, что каждое состояние соответствует паре чисел (мы считаем, что наша прямая отождествлена с числовой прямой – для такого отождествления надо выбрать начало отсчёта, единицу длины и направление). Следовательно, пространство состояний – так называемое конфигурационное пространство – может быть отождествлено с плоскостью.

Этот простой пример можно развить в нескольких направлениях.

2. Если частиц не две, а три, мы придём к трёхмерному пространству. А если четыре – к четырёхмерному, так что мы получили простую механическую модель для четырёхмерного пространства. Правда, модель эта не даёт ответа на существенный вопрос: как же математики представляют себе это пространство? Если точка четырёхмерного пространства – это положение четырёх частиц, то что же такое, скажем, трёхмерная сфера, лежащая в этом пространстве? Формальный ответ дать несложно: это совокупность тех положений частиц, для которых фиксирована сумма квадратов расстояний от частиц до начальной точки отсчёта. Но ведь подобный ответ можно дать и в случае трёх частиц и двумерной сферы. И станет видно, как далёк такой ответ от привычного геометрического образа, связанного со словом «сфера». Так что же видят математики, думая о четырёхмерном (а то и бесконечномерном!) пространстве? Говорить об этом математики, похоже, не хотят, а возможно, и не умеют.

3. Предположим, что частиц наших по-прежнему две, но теперь они неразличимы. Положения, которые для различимых частиц мы описывали парами (x, y) и (y, x), теперь считаются одинаковыми. Будем использовать поэтому лишь такие пары (x, y), для которых x ≤ y. Тем самым мы не исключаем положений вида (x, x), когда частицы сливаются. Что теперь служит конфигурационным пространством? Ответ: многообразие, гомеоморфное полуплоскости. Действительно, те точки (x, y) плоскости, для которых x ≤ y, образуют полуплоскость.

4. Пусть теперь наши частицы скользят не по прямой, а вдоль окружности. Пусть их две и они различимы. Что будет конфигурационным пространством в этом случае? Ответ: тор (имеется в виду двумерная поверхность, а не полноторие). Действительно, при введении естественной системы координат на торе (широта и долгота) каждая точка тора соответствует паре своих «торических координат» – точек на окружности. Аналогично получаются многомерные торы (если частиц больше двух).

5. Две неразличимые частицы скользят вдоль окружности. Не будем лишать читателя удовольствия самому разобраться с тем, каким будет конфигурационное пространство в этом случае, и укажем лишь ответ: лист Мёбиуса (он будет описан в главе 12). Его краем служат те положения, при которых частицы сливаются.

6. Частиц три, они скользят вдоль окружности и неразличимы. Здесь следует уточнить, чтó понимается под положением системы. Тонкость заключается в следующем: если две из трёх частиц слились, так что мы видим только две частицы, видим ли мы при этом, где именно находится «двойная», или «тяжёлая», частица? Будем считать, что нет, не видим. Таким образом, положение или состояние системы – это (неупорядоченное) подмножество окружности, состоящее либо из трёх точек, либо из двух, либо из одной.

Для этого случая вопрос о «форме» конфигурационного пространства оказывается намного труднее, чем для предыдущих. Известный польский математик Кароль Бóрсук (Karol Borsuk, 1905–1982), внёсший значительный вклад в развитие топологии, допустил ошибку при решении этого вопроса и опубликовал неверную работу. Правильный ответ нашёл другой знаменитый тополог Рауль Ботт (Raoul Bott, 1923–2005)[96]: конфигурационное пространство в рассматриваемом случае гомеоморфно трёхмерной сфере. Положения, когда все три точки слились в одну, образуют в этой сфере нетривиальный (т. е. не перетягиваемый в окружность) узел – трилистник.

7. Ещё один пример компактного многообразия, естественным образом возникающий в механике, – пространство положений твёрдого тела с закреплённой точкой. Пусть наше тело – шар, который может как угодно вращаться в трёхмерном пространстве, однако центр его должен занимать фиксированное положение. Чтобы описать возможные положения шара, отметим на его граничной сфере точку и приложим к этой точке стрелку, указывающую определённое направление на сфере. Строго говоря, мы рассматриваем вектор, касающийся сферы в данной точке. Проследим, куда этот вектор переходит при вращении. Ясно, что, вращая шар, мы можем получить любой другой касательный вектор той же длины (примем её за единицу) и что знание этого вектора однозначно определяет положение шара. Таким образом, конфигурационное пространство в этом случае гомеоморфно пространству единичных касательных векторов к сфере. Можно доказать, что это неодносвязное компактное трёхмерное многообразие, которое может быть получено из трёхмерной сферы отождествлением всех пар антиподов (т. е. диаметрально противоположных точек). Это многообразие называется трёхмерным проективным пространством.