Владимир Успенский – Апология математики (сборник статей) (страница 45)

Изотопия

Наше определение гомеоморфии – не определение в математическом смысле слова, а скорее, описание – нуждается в серьёзном уточнении. И вот почему. Снова взглянем на рис. 5. Будут ли гомеоморфны две изображённые на нём заузленные верёвки? Попытка преобразовать одну в другую без разрывов и склеиваний проваливается. Тем не менее в топологии эти две трёхмерные геометрические фигуры признаются гомеоморфными. Как же так?

Тут мы должны покаяться перед читателем. Дело в том, что мы его слегка обманули, изложив под видом гомеоморфии близкое, но всё же другое понятие – изотопию.

Обманули из лучших побуждений, чтобы не осложнять изложение и побыстрее ввести читателя в суть понятий. Надеемся, что, ознакомившись с дальнейшим текстом, читатель нас поймёт и простит. В качестве дополнительного оправдания приведём то обстоятельство, что в неформальном описании гомеоморфии мы всего лишь следовали устоявшейся традиции. Например, в уже упоминавшейся (в подстрочном примечании) статье «Топология» Павел Сергеевич Александров, у которого учился топологии автор этих строк, так описывает топологическое преобразование, т. е. гомеоморфизм:

Наглядно топологическое преобразование какой-либо геометрической фигуры (линии, поверхности и т. п.) можно себе представить следующим образом. Предположим, что наша фигура изготовлена из какого-нибудь гибкого и растяжимого материала, например из резины. Тогда можно подвергать её всевозможным непрерывным деформациям, при которых она в одних своих частях будет растягиваться, в других – сжиматься и вообще будет всячески изменять свои размеры и свою форму.

Описывая гомеоморфию двух тел в терминах деформаций, мы молчаливо предполагали, что деформация происходит в трёхмерном пространстве, где и располагаются наши тела. А где же она ещё может происходить? Чтобы ответить на этот вопрос, вспомним рассуждения о конгруэнтности и изометрии из главы 10. На нескольких примерах мы показали, что изометричные фигуры, расположенные в плоскости, могут и не быть конгруэнтны относительно этой плоскости, т. е. могут не совмещаться при перемещении в её пределах. Но любые такие фигуры непременно могут быть совмещены перемещением в трёхмерном пространстве, т. е. они конгруэнтны относительно этого пространства. Теперь взглянем на рис. 4–5. Каждый из них демонстрирует фигуры, которые нельзя совместить перемещением в трёхмерном пространстве, но можно совместить перемещением в четырёхмерном пространстве (всюду – речь об евклидовых пространствах). Следовательно, не будучи конгруэнтными относительно трёхмерного пространства, они являются конгруэнтными относительно пространства четырёхмерного. (Точно так же обстояло дело с прежним Платтнером и его вернувшимся в наш мир зеркальным отражением.) Мы видим, что конгруэнтность есть понятие относительное. Бессмысленно спрашивать, конгруэнтны или нет две фигуры, не уточняя, относительно какого объемлющего пространства ставится вопрос. В отличие от конгруэнтности, изометрия есть понятие абсолютное: для утверждения, что две фигуры являются или не являются изометричными, достаточно предъявить сами эти фигуры, не спрашивая, где они расположены.

Аналогично изотопия (которую мы описали в предыдущем разделе, незаконно окрестив её гомеоморфией) – понятие относительное. Говоря об изотопии, необходимо уточнить, в каком пространстве осуществляется деформация. Заузленные верёвки на рис. 5 не деформируются друг в друга в пределах трёхмерного пространства (чтобы «перетянуть» одну в другую, её необходимо сперва разрезать, а потом склеить). Однако они деформируются («перетягиваются» без разрезов и склеиваний) в пределах пространства четырёхмерного. Иными словами, они изотопны относительно четырёхмерного пространства, но не изотопны относительно трёхмерного пространства.

Чтобы лучше усвоить понятие изотопии, зададимся вопросом: всякие ли две линии, расположенные на плоскости и преобразуемые одна в другую с выходом в трёхмерное пространство, можно преобразовать, оставаясь в пределах плоскости? Плоскость бедна многообразиями, и для них ответ положителен. А вот для произвольных линий ответ отрицательный: достаточно взять замкнутый контур «с хвостом внутрь» и замкнутый контур «с хвостом наружу» (рис. 18). Аналогична ситуация с линиями в трёхмерном пространстве; может случиться, что, будучи преобразуемыми одна в другую в четырёхмерном пространстве, две такие линии не допускают преобразования в рамках трёхмерного пространства: для примера достаточно трёхмерные вёревки с рис. 5 сжать каждую до одномерной нити. (Возникающий здесь пример с нитями показывает, что ответ для линий в трёхмерном пространстве может быть отрицателен и в том случае, если линии являются компактными многообразиями.)

Разумеется, чтобы осознать сказанное, необходимо развить воображение, ведь надлежит представлять себе деформацию геометрических фигур в четырёхмерном пространстве! Но если мы готовы согласиться с перемещениями в этом пространстве, то отчего бы не согласиться и на деформации?

Так что же такое гомеоморфия?

А теперь изложим понятие гомеоморфии более четко. Для этого достаточно уточнить, какое преобразование одной геометрической фигуры в другую мы назовём гомеоморфизмом, поскольку гомеоморфия двух фигур есть не что иное, как возможность преобразовать одну фигуру в другую посредством гомеоморфизма. Итак, приступим.

Перечислим главные свойства гомеоморфизма. Очевидно, во-первых, что каждая точка исходной фигуры переходит в какую-то точку результирующей фигуры (а не уходит в никуда), и притом только в одну точку (а не несколько точек). Во-вторых, никакие две точки исходной фигуры не переходят в одну и ту же точку, иначе произошло бы склеивание, что запрещено. Поэтому возникающее при гомеоморфизме соответствие между точками двух фигур является взаимно однозначным: каждой точке первой фигуры соответствует ровно одна точка второй фигуры, и каждая точка второй фигуры соответствует ровно одной точке первой фигуры.

С понятием взаимно однозначного соответствия мы уже встречались в главе 7. Поскольку при взаимно однозначном соответствии точки не могут склеиваться, запрет на склеивание выполняется автоматически.

Обсудим теперь запрет на разрывы. Здесь потребуется ввести важное геометрическое понятие точки прикосновения. Вот что писал о понятии прикосновения вообще Лобачевский в своём сочинении «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных» (упомянутом в главе 8):

Прикосновение составляет отличительную принадлежность тел и даёт им название геометрических, когда в них удерживаем это свойство, не принимая в рассуждение все другие, существенные ли то будут или случайные.

Возьмём какую-нибудь геометрическую фигуру, а в ней – какую-нибудь её часть. Точка нашей фигуры называется точкой прикосновения для рассматриваемой части, если в любой близости от этой точки найдётся хотя бы одна точка указанной части. (Ясно, что каждая точка выделенной части является её точкой прикосновения, ведь в любой близости от неё найдётся она сама.) Понятие 'в любой близости' будет уточнено позже. Теперь же мы можем так сформулировать запрет на разрывы: гомеоморфизм сохраняет отношение прикосновения; это означает, что если в исходной фигуре какая-то точка была точкой прикосновения для какой-то части, то то же будет и с теми точкой и частью результирующей фигуры, в которые перейдут исходные точки и часть. (Рекомендуем читателю убедиться, что отношение прикосновения нарушается при попытке деформировать правую фигуру рис. 16 в среднюю.)

Какой смысл, вообще говоря, несет в себе утверждение, что некоторое свойство или отношение сохраняется при преобразовании? Это можно понимать в двух смыслах – слабом и сильном. Поясним на примерах. Рассмотрим преобразование натурального ряда {1, 2, 3, 4, 5, …} в множество чётных чисел {2, 4, 6, 8, 10, …}, при котором каждое число n переходит в число 2n. Рассмотрим свойство 'делиться на 4'. Ясно, что если n обладает этим свойством, то им обладает и 2n. Мы вправе сказать, что свойство 'делиться на 4' сохраняется при данном преобразовании. Однако 2n может делиться на 4 и тогда, когда n на 4 не делится (например, при n = 6). Здесь сохранение свойства понимается в слабом смысле. Сильный смысл означал бы, что 2n может делиться на 4 тогда и только тогда, когда на 4 делится n.

Именно так будет с тем же свойством 'делиться на 4' при преобразовании натурального ряда в множество {3, 6, 9, 12, 15, …}, при котором каждое число n переходит в число 3n. В дальнейшем сохранение свойств условимся понимать именно в сильном смысле. А именно: говоря про какое-то свойство, что оно сохраняется при данном преобразовании, будем иметь в виду соблюдение двух условий: во-первых, если исходный объект обладает рассматриваемым свойством, то и результирующий объект обладает этим свойством; во-вторых, если исходный объект не обладает этим свойством, то и результирующий объект им не обладает. Точно так же, в сильном смысле, будем понимать сохранение отношений. Слова «отношение сохраняется при данном преобразовании» будут означать следующее: если исходные объекты находятся в этом отношении, то и результирующие объекты находятся в том же отношении; если же исходные объекты не находятся в этом отношении, то и результирующие объекты в нём не находятся.