Владимир Успенский – Апология математики (сборник статей) (страница 44)

До сих пор мы говорили лишь о гомеоморфии трёхмерных фигур. Впрочем, нет, это неверно. Ведь наш лоскут – это, по определению, поверхность, гомеоморфная кругу. Двумерные фигуры под углом зрения гомеоморфии следует представлять себе сделанными из резиновой плёнки, которую можно как угодно мять, растягивать, сжимать; нельзя только эту плёнку ни рвать, ни склеивать; таким образом, допускаются только топологические преобразования. Вырежем из такой плёнки круг. Никаким топологическим преобразованием из него нельзя изготовить продырявленный круг, да и вообще никакой неодносвязный кусок плёнки. Зато его легко превратить в квадрат или в любой другой односвязный кусок. Но ни в поверхность шара, ни в боковую поверхность цилиндра наш круг за счёт гомеоморфизма превратить невозможно, а обе эти поверхности не превращаются ни друг в друга, ни в поверхность тора, ни в поверхность кренделя. Никакие две из рассмотренных только что поверхностей (а это были круг, круг с дыркой, сфера, боковая поверхность цилиндра, поверхность тора и поверхность кренделя) не являются гомеоморфными. Если считать, что на рис. 15 изображены не трёхмерные тела, а их поверхности, то все эти поверхности гомеоморфны друг другу.

Вспомним о спортивных гирях с любым числом ручек. Включим в этот комплект и гирю с нолём ручек (хотя на общечеловеческом языке это будет, скорее, ядро). Если гиря имеет n ручек, то её поверхность (являющаяся, как мы знаем, двумерным компактным многообразием без края) называется в топологии сферой с n ручками. Одна из замечательных теорем топологии гласит, что всякое двумерное компактное многообразие без края, являющееся частью трёхмерного пространства, гомеоморфно сфере с каким-то количеством ручек. (Слова «являющееся частью трёхмерного пространства» существенны, без них теорема неверна. Пример двумерного компактного многообразия без края, в трёхмерном пространстве не помещающегося, будет приведён в главе 12.)

Вернёмся ненадолго к проблеме Пуанкаре. И двумерная, и трёхмерная сфера односвязны, компактны и не имеют края. Вопрос в том, достаточно ли этих двух свойств для однозначного их определения. Однозначность понимается здесь в топологическом смысле, т. е. с точностью до гомеоморфии, ведь в топологии гомеоморфные геометрические фигуры не различаются, они считаются одной и той же фигурой (наподобие того, как одной и той же фигурой считаются конгруэнтные фигуры в школьной геометрии). Для двумерной сферы вопрос (который можно было бы назвать «двумерной проблемой Пуанкаре») ставится, следовательно, так: всякое ли двумерное односвязное компактное многообразие без края гомеоморфно двумерной сфере? Положительный ответ на этот вопрос был известен давно (и уж заведомо известен Пуанкаре). Если же заменить в нём слова «двумерное» и «двумерной» на «трёхмерное» и «трёхмерной», вопрос превращается в знаменитую проблему Пуанкаре, которая 100 лет не поддавалась решению; эту проблему можно назвать «трёхмерной проблемой Пуанкаре».

замечание. У гипотезы Пуанкаре имеются и n-мерные версии, где n > 3. Эти версии формулируются менее элементарно, чем трёхмерная. Они тоже очень трудны, но все же найти их доказательства оказалось проще, чем получить доказательство трёхмерной гипотезы. Эта парадоксальная ситуация чем-то напоминает ту, что сложилась с установлением хроматических чисел поверхностей (см. конец главы 10). Там тоже самым трудным оказалось решить вопрос для сферы; найти хроматическое число для более сложных поверхностей и доказать, что оно является таковым, было делом более простым. В 1960-е гг. была доказана n-мерная гипотеза для всякого n ≥ 5, а для особенно трудного случая n = 4 в начале 1980-х гг. гипотезу доказал Майкл Хартли Фридман (Michael H. Freedman, р. 1951).

Можно говорить и о гомеоморфии одномерных образований – линий. С точки зрения топологии их удобно воспринимать как тонкие резиновые нити, которые допустимо изгибать, растягивать и сжимать, но нельзя рвать и склеивать. Мы вправе теперь сказать, что обрывок – это линия, гомеоморфная отрезку. Дуга окружности – обрывок, она гомеоморфна отрезку. Окружность гомеоморфна периметру квадрата и любой из линий на рис. 14, но не гомеоморфна ни линии, которая состоит из двух окружностей, пересекающихся в двух точках, ни восьмёрке, которую можно понимать как линию, состоящую из двух окружностей, соприкасающихся в одной точке; линия из окружностей, пересекающихся в двух точках, не гомеоморфна восьмёрке. Восьмёрка не гомеоморфна греческой букве θ, а буква В при одном начертании гомеоморфна букве θ, при другом – восьмёрке.

(Читатель не должен видеть противоречия в том, что выпечку в форме цифры 8, или буквы θ, или буквы В мы выше объявили гомеоморфными: ведь выпечка суть не линии, а трёхмерные тела, и указанные её виды можно непрерывно деформировать один в другой.)

Инварианты, общие для всех гомеоморфных друг другу фигур, называются топологическими инвариантами. Один такой инвариант мы уже знаем – это свойство односвязности. Предоставляем читателю осознать, что свойство односвязности действительно есть топологический инвариант, т. е. что фигура, гомеоморфная односвязной фигуре, и сама непременно односвязна. Все факты, относящиеся к геометрии положения вообще и в частности к тем задачам, которые были рассмотрены в конце главы 10, где речь шла о геометрии положения, являются топологическими инвариантами. Например, топологическим инвариантом является хроматическое число поверхности. Топология как раз и изучает топологические инварианты и в этом смысле включает в себя геометрию положения, но далеко не исчерпывается ею, поскольку среди инвариантов, изучаемых в «высокой» топологии, встречаются очень сложные и совершенно не наглядные.

Передо мной лежит небольшая (имеющая тем не менее суперобложку) книга, изданная Гостехтеориздатом в 1932 г., – Иоганн Бенедикт Листинг «Предварительные исследования по топологии». Перевод с немецкого под редакцией и с предисловием Э. Кольмана. На контртитуле указаны название и имя автора на языке оригинала: Vorstudien zur Topologie von Johann Benedict Listing, – а также место и год издания: Göttingen, 1848. Эта книга примечательна тем, что в ней в 1848 г. впервые в печати был употреблён термин «топология» в его немецком варианте – Topologie (в английском языке слово «topology» впервые появилось лишь в 1920 г.). Сам же Листинг использовал этот термин ещё раньше, в 1836 г., в письме своему школьному учителю Мюллеру, которому во многом был обязан интересом к математике и естественным наукам (и благодарен за это). Введение в научный оборот названного термина – бесспорная заслуга Листинга[92]. (Как топологическое сочинение книжка Листинга не слишком содержательна даже по тем временам, и её одарённый автор сам это осознавал, назвав свой труд «предварительными исследованиями»; это скорее расширенный очерк, нежели книга.)

Листингу не нравились ни выражение «Analysis situs», ни «Geometria situs», и термин «топология» призван был заменить их собою. Противопоставляя метрическим соотношениям модальные, Листинг так определял значение нового термина:

Под топологией, таким образом, следует понимать учение о модальных отношениях пространственных образований, или о законах соединения, взаимного расположения и следования точек, линий, поверхностей, тел и их частей или их агрегатов в пространстве, без учёта соотношений меры и величины[93].

Таким образом, топологии в понимании Листинга ещё очень далеко до того, что начали называть этим словом впоследствии, т. е. до общего учения о пространственных формах, рассматриваемых под углом зрения их гомеоморфии[94]. Тем не менее его «Предварительные исследования» сыграли, как нам кажется, немаловажную роль в том, чтобы геометрия положения оформилась в область математики, постепенно развившуюся в топологию в её современном понимании. В знак признания его заслуг узел, изображённый на рис. 17, получил название узел Листинга.

Узлами Листинг заинтересовался под влиянием великого Гаусса, который едва ли не первым увидел в них математическое содержание. Гаусс обратил внимание на весьма способного и усердного студента Гёттингенского университета (Листинг поступил туда в 1830 г.). Листингу посчастливилось войти в круг ближайших учеников Гаусса, по рекомендации которого в 1839 г. он был назначен профессором физики Гёттингенского университета. Вышедшая в 1845 г. монография Листинга вошла в число классических сочинений по физиологической оптике. Биографы его утверждают, что из-за своего характера, а ещё более из-за поведения жены[95], он не был в чести у коллег, а потому его научные заслуги не получили должного признания. Осталось прибавить, что Листинг родился 25 июля 1808 г. и скончался 24 декабря 1882 г.

В заключение этого раздела коснёмся философского аспекта понятия гомеоморфизма. Представим себе мыслящее существо, которое живёт внутри какой-либо геометрической фигуры и лишено возможности посмотреть на эту фигуру извне, со стороны. Для него фигура, в которой оно живёт, образует вселенную. Представим себе также, что когда объемлющая фигура подвергается гомеоморфизму, то вместе с нею деформируется и всё, что находится внутри фигуры, включая все измерительные приборы и само указанное существо. Тогда для этого существа его вселенная не меняется; в частности, изометричные фигуры остаются изометричными (хотя они и перестанут быть таковыми для внешнего наблюдателя). Если, скажем, подвергнутая гомеоморфизму фигура была шаром, то существо никаким способом не может различить, пребывает ли оно по-прежнему в шаре или в том, во что этот шар превратился: например, в эллипсоиде, кубе или пирамиде. Однако для него остаётся теоретическая возможность убедиться, что его новая вселенная не имеет формы тора или кренделя.