Владимир Успенский – Апология математики (сборник статей) (страница 29)

Надеемся, читатель уже пришёл к выводу, что все счётные множества обладают одним и тем же количеством элементов. В частности, количество всех квадратов равно количеству всех натуральных чисел. Количество элементов какого-либо счётного множества (а у всех счётных множеств количество элементов одно и то же!) называется счётной мощностью и обозначается буквой áлеф с нижним индексом ноль (произносится áлеф-ноль) –  Вот и соответствующая цитата из одноимённого рассказа Борхеса (кстати, с довольно отчётливой формулировкой эффекта Кортасара): «В Mengenlehre Алеф – символ трансфинитных множеств, где целое не больше, чем какая-либо из частей».

До сих пор мы применяли к множествам термин эквивалентные, опасаясь испугать читателя обилием новых непривычных слов. В наши дни этот термин – в указанном применении – следует признать устаревшим. И тому есть причины. Термин этот имеет слишком уж большую сферу использования – от логики, где говорят об эквивалентных суждениях, до наркологии, где определяют, какое количество пива эквивалентно такому-то количеству водки. Современная терминология такова: два множества, между которыми можно установить взаимно однозначное соответствие, называются равномощными (иногда всё же уточняют «равномощными, или эквивалентными»). Так мы и будем теперь выражаться, считая того, кто дочитал до сюда, достаточно закалённым. Этот закалённый читатель уже, наверное, понял, что равномощные множества имеют одну и ту же мощность. Мощность (в теории множеств) – это то общее, что имеют между собой все равномощные множества. Мы видим, что слово «мощность» в данном его употреблении является синонимом словосочетания «количество элементов» (но не слова «количество», потому что можно, например, говорить о количестве воды в стакане). Мощность множества называют также его кардинальным числом. Все континуальные множества имеют одну и ту же мощность, называемую континуальной; она обозначается посредством строчной буквы из печатного готического алфавита.

Описанный выше способ, посредством которого существование иррациональных и трансцендентных чисел можно вывести из общих соображений, без предъявления конкретных примеров, мы вправе назвать количественным, ибо он основан на несовпадении количеств – счётного количества, присущего как множеству рациональных, так и множеству алгебраических чисел, и континуального количества, присущего множеству всех действительных чисел.

Теперь о сравнении количеств. Два количества могут быть равны или не равны. Давайте осознаем, чтó это означает. Каждое количество представлено классом всех мыслимых эквивалентных друг другу множеств. Равенство количеств означает совпадение соответствующих классов, а неравенство – их несовпадение. Семь потому не равно восьми, что класс всех множеств, эквивалентных множеству смертных грехов, не совпадает с классом всех множеств, эквивалентных множеству планет. Количество квадратов потому равно количеству натуральных чисел, что класс всех множеств, эквивалентных множеству квадратов, совпадает с классом всех множеств, эквивалентных натуральному ряду. Но хотелось бы иметь право говорить не только о равенстве или неравенстве двух количеств, но и о том, какое из них больше, а какое меньше. (Не запутайтесь: слова «больше» и «меньше» относятся к количествам, а не к представляющим их классам множеств!)

Спросим уже знакомых нам, не умеющих считать первобытных скотоводов, могут ли они определить, в каком из их стад больше элементов (в предположении, что стада различны по численности). Их ответ будет положительным. Если в стаде коз удастся выделить такую часть, не совпадающую со всем стадом, которая окажется эквивалентной множеству овец, то коз больше. Если же в стаде овец удастся выделить такую часть, не совпадающую со всем стадом, которая окажется эквивалентной множеству коз, то больше овец. (В математике каждое множество считается частью самого себя, поэтому оговорка о несовпадении существенна.) Однако, как мы видели, такой способ не годится в случае бесконечных множеств. Действительно, в натуральном ряду можно выделить часть, с ним не совпадающую (а именно: множество квадратов), которая эквивалентна множеству квадратов; тем не менее натуральный ряд и множество квадратов, как мы видели, эквивалентны. Что же делать? Надо придумать такой критерий, который применим к любым множествам. Гениальное решение, найденное Кантором, состоит в следующем: к предложенной нашими скотоводами формулировке надо всего лишь добавить некую клаузулу, излишнюю (хотя и ничему не мешающую) в конечном случае, но необходимую в случае бесконечном. Клаузула состоит в требовании неэквивалентности сравниваемых множеств. Полная формулировка того, что количество элементов первого множества больше количества элементов второго множества, такова: множества неэквивалентны, но в первом множестве имеется часть, эквивалентная второму множеству.

Вот теперь мы можем сказать, что континуальная мощность больше счётной. В самом деле, эти мощности различны, но в континуальном множестве действительных чисел можно выделить счётную часть, например натуральный ряд. Счётную часть можно выделить в любом бесконечном множестве, поэтому счётная мощность – наименьшая из всех бесконечных мощностей. Одна из замечательных теорем Кантора утверждает, что количество всевозможных частей какого-либо множества всегда больше, чем количество элементов в самом этом множестве. (Читатель легко проверит этот факт для конечных множеств; надо только не забыть учесть пустую часть и часть, совпадающую со всем множеством.) В частности, количество всех частей натурального ряда больше счётного количества натуральных чисел, оно несчётно. А количество всех частей прямой линии больше континуального количества точек на ней.

Противопоставление счётных и несчётных бесконечных множеств приводит к глубокому философскому последствию, лежащему на стыке семиотики и гносеологии. А именно: оказывается, что мыслимы сущности, которые нельзя назвать. Постараемся изложить ситуацию как можно более ясно. Когда мы что-то называем, мы снабжаем это что-то индивидуальным (присущим только ему, и ничему другому) именем. Всякое же имя есть конечная цепочка знаков из некоторого выбранного для данной системы имён конечного списка знаков. Любой конечный список знаков математики называют алфавитом, составляющие его знаки – буквами, а всякую конечную цепочку букв – словом в данном алфавите. [В отличие от слов естественных языков, в математическом языке слово может быть совершенно непроизносимым, как, например, имена альдебаранцев в рассказе Лема «Вторжение с Альдебарана» – Нгтркс и Пвгдрк. Возможно, скажем, и такое слово:))) =hgйъh=+ (.] Нетрудно убедиться, что, какой алфавит ни возьми, множество всех слов, основанных на этом алфавите, будет счётным. А значит, никак не больше счётной окажется любая система имён, созданная на основе этого алфавита; эта система может быть лишь конечной, или счётной. И если мы имеем дело с несчётным множеством объектов, то в этом множестве непременно встретятся объекты – и даже очень много таких объектов, – для которых в рассматриваемой системе имён не найдётся никакого имени. В частности, какую систему именований ни придумай, всегда окажется, что существуют не имеющие имени части натурального ряда, не имеющие имени точки прямой, не имеющие имени действительные числа.

Только что приведённые соображения можно использовать для доказательства счётности множества алгебраических чисел и, следовательно, для доказательства существования трансцендентных чисел. Известно, что для всякого алгебраического уравнения множество его действительных корней, т. е. таких действительных чисел, которые служат корнями этого уравнения, всегда конечно (оно может быть, в частности, и пустым). Расположим это множество в порядке возрастания, тогда каждый корень получит свой порядковый номер в этом расположении. Именем данного алгебраического числа объявим запись, состоящую из записи любого алгебраического уравнения, корнем которого данное число является (таких уравнений всегда много!), и записи порядкового номера этого корня среди всех корней этого уравнения. Общее количество всех введённых таким способом имён счётно. Отсюда легко выводятся два факта. Во-первых, оказывается счётным количество чисел, получивших имя, – а это как раз и есть алгебраические числа. Во-вторых, многие действительные числа не получат никакого имени – это и будут трансцендентные числа.

Возникает естественный вопрос, а бывают ли мощности, промежуточные между мощностями счётной и континуальной. Иначе говоря, вопрос состоит в том, какое из двух альтернативных утверждений справедливо:

(1) по количеству элементов континуум действительных чисел идёт сразу вслед за натуральным рядом

или же

(2) в указанном континууме можно выделить промежуточное множество, т. е. такую бесконечную часть, которая не равномощна ни всему континууму, ни натуральному ряду.

Гипотезу, предполагающую, что справедливо первое из этих утверждений, называют гипотезой континуума, или континуум-гипотезой, а требование доказать или опровергнуть эту гипотезу – проблемой континуума. В 1877 г. Кантор объявил, что континуум-гипотеза представляет собою математическую истину, и с 1879 г. начал отдельными частями публиковать трактат, имеющий целью эту истину доказать. Шестая часть была завершена 15 ноября 1883 г. Она содержала доказательство того факта, что промежуточное множество заведомо отсутствует в определённом классе множеств (а именно в классе замкнутых множеств), а также обещание в последующих статьях доказать, что такого множества вообще не существует, т. е. доказать гипотезу в её полном объёме. Однако обещанных статей не последовало. Кантор осознал, что не может доказать континуум-гипотезу, и в мае 1884 г. у него случился первый приступ нервной болезни. В середине XX в. было установлено, что ни доказать, ни опровергнуть континуум-гипотезу невозможно. Здесь мы остановимся из страха повторить судьбу Кантора.