Владимир Успенский – Апология математики (сборник статей) (страница 28)

Назвав Кантора выше немцем, мы всего лишь последовали укоренившейся традиции. Не вполне ясно, как его надо называть. Отец Кантора родился в Дании, мать – в России. Сам он также появился на свет на русской земле, а именно 3 марта в Санкт-Петербурге (где на календаре в тот день было 19 февраля); в этом городе он провел первые 11 лет своей жизни, о которых вспоминал с ностальгией. Вот, скажем, Пьера Ферма, о котором говорилось выше, в главе 2, можно, не испытывая сомнений, назвать французом: он всегда жил во Франции, ей служил и говорил по-французски; трудно представить, чтобы Ферма ощущал себя кем-то иным, нежели французом. Кем ощущал себя Кантор, загадка. Его биографы указывают, что, хотя свою взрослую жизнь он и прожил в Германии, уютно ему там не было.

Выдающийся российский математик Павел Сергеевич Александров (1896–1982) писал: «Думаю, что во второй половине XIX в. не существовало математика, оказавшего большее влияние на развитие математической науки, чем создатель абстрактной теории множеств Георг Кантор».

Учение о бесконечном далось его автору настолько трудно, что привело его к тяжёлой нервной болезни. В 1884 г. у Кантора начались приступы депрессии, а с 1897 г. он уже не публиковал научных работ. С 1899 г. Кантор становится пациентом неврологических санаториев, а потом и клиник, проводя в них всё больше и больше времени. В одной из таких клиник он и скончался 6 января 1918 г. Любезному читателю это не грозит, поскольку мы ограничимся началами.

Построения Кантора основаны на чрезвычайно простой мысли (которая, как и всякая гениальная мысль, после её осознания кажется очевидной): понятие количества является вторичным по отношению к понятию равенства количеств. Не нужно смущаться тем, что в выражении «равенство количеств» слово «количество» уже присутствует: нас должна интересовать не лингвистическая этимология терминов, а логическая генеалогия понятий. Совершенно так же образованию понятия 'цвет' предшествует формирование представления об одноцветности, хотя слово «одноцветный» происходит от слова «цвет». Можно сказать, что цвет – это то общее, что есть у всех одноцветных предметов, а количество – это то общее, что есть у всех равноколичественных множеств.

Для установления равноколичественности двух множеств вовсе не нужно пересчитывать их элементы, можно вообще не уметь считать. Для примера представим себе двух первобытных людей, один из которых владеет стадом коз, а другой – стадом овец. Они хотят обменяться стадами, но при условии, что те равноколичественны. Счёта они не знают. Но это им и не нужно. Нужно просто связать попарно овец и коз, так чтобы каждая коза была связана ровно с одной овцой, а каждая овца – ровно с одной козой. Успех процедуры и означает равенство количеств. Аналогично нет нужды пересчитывать людей и стулья, чтобы убедиться в одинаковости их количеств. Надо просто посадить людей на стулья, причём так, чтобы на каждом стуле сидел один человек и чтобы никто не занимал двух или более стульев.

Пример из первобытной жизни и пример со стульями приводят нас к важнейшему понятию эквивалентности множеств. Говорят, что два множества эквивалентны, если можно так сопоставить друг с другом их элементы, что каждый элемент первого множества окажется сопоставленным ровно с одним элементом второго множества и каждый элемент второго множества окажется сопоставленным ровно с одним элементом первого множества. Такое сопоставление выявляет взаимно однозначное соответствие между рассматриваемыми множествами. Наши скотоводы как раз и осуществили подобное сопоставление, установив тем самым взаимно однозначное соответствие между своими стадами. А синьор Сальвиати установил взаимно однозначное соответствие между множеством всех квадратов и множеством всех чисел. Это соответствие можно наглядно показать посредством следующей бесконечной таблицы:

Чтобы продемонстрировать эффект Кортасара на простом примере, добавим к множеству квадратов какие-нибудь три числа, квадратами не являющиеся: скажем, 7, 23 и 111. Следующая бесконечная таблица демонстрирует взаимно однозначное соответствие между множеством квадратов и расширенным множеством, состоящим из всех квадратов и трёх указанных неквадратов:

Читатель да благоволит изобразить на листе бумаги любые два отрезка и в качестве несложного упражнения убедиться, что множество точек, расположенных на первом отрезке, и множество точек, расположенных на втором отрезке, являются эквивалентными. Решение будет приведено в конце главы.

Но не окажутся ли вообще все бесконечные множества эквивалентны друг другу? Великое открытие Кантора состояло в том, что он обнаружил неэквивалентные бесконечности. Так, одна из его замечательных теорем гласила, что множество всех точек прямой и множество всех натуральных чисел неэквивалентны. Оказалось, что наиболее знакомые нам бесконечные множества подразделяются на два основных рода, причём множества первого рода эквивалентны друг другу, как и множества второго рода, а множества разных родов друг другу неэквивалентны. Множества первого рода называются счётными, к ним относятся: натуральный ряд, любая бесконечная часть натурального ряда (например, множество всех квадратов), множество всех дробей, множество всех мыслимых комбинаций (как ведущих к выигрышу, так и проигрышных) пластинок из четырёхчленного набора, заявленного в игре из предыдущей главы. Множества второго рода именуются континуальными; таковы множество всех точек прямой, множество всех точек плоскости, множество всех окружностей, множество всех частей натурального ряда. Некоторые бесконечные множества не являются ни счётными, ни континуальными, но в «математическом быту» они почти не встречаются.

Позволим себе теперь рассматривать и другие числа помимо натуральных – те, о которых говорилось в главе 4. Хотя каждое рациональное число может быть записано посредством многих дробей, а более точно – бесконечного их количества, множество рациональных чисел оказывается эквивалентным множеству дробей, т. е. счётным. С другой стороны, как известно из курса средней школы, каждому действительному числу можно поставить в соответствие некоторую точку на прямой, и при этом каждая точка будет сопоставлена ровно с одним числом – своей координатой; таким образом, множество точек прямой и множество действительных чисел эквивалентны, и, следовательно, множество действительных чисел континуально. Как указывалось в предыдущем абзаце, континуальность и счётность не могут сочетаться в одном и том же множестве. Поэтому множество рациональных чисел не может совпасть с множеством всех действительных чисел, а отсюда следует, что существуют такие действительные числа, которые не являются рациональными; их называют иррациональными. Стало быть, сам факт существования иррациональных чисел, без указания какого-либо конкретного иррационального числа, может быть выведен из общих рассуждений.

И ещё об одном виде чисел – так называемых алгебраических числах. Действительное число называется алгебраическим, если оно является корнем какого-либо алгебраического уравнения. Всякое уравнение имеет две части, левую и правую, разделённые (или, если угодно, соединённые) знаком равенства. Алгебраическими называют уравнения особо простого вида: в правой части стоит число 0, а левая есть многочлен какой-то степени с одним неизвестным и целыми коэффициентами, которые могут быть как положительными, так и отрицательными. Частный вид алгебраических уравнений образуют те квадратные уравнения, у которых все коэффициенты (коэффициент при x², коэффициент при x, свободный член) суть целые числа. Всякое рациональное число есть число алгебраическое (вопрос к читателю: почему?), и алгебраические числа образуют как бы следующий за рациональными разряд чисел по шкале «от простого к сложному». Математиков долгое время интересовал вопрос, могут ли действительные числа не являться алгебраическими; такие числа называют трансцендентными. Существование трансцендентных чисел было установлено в 1844 г. путём приведения соответствующих достаточно сложных примеров; лишь в 1873 г. была доказана трансцендентность известного числа e и только в 1882-м – ещё более известного числа π. Однако, если не требовать указания конкретных примеров трансцендентных чисел, само существование таковых может быть установлено тем же методом, каким было установлено существование чисел иррациональных. А именно: в 1874 г. Кантор показал, что множество всех алгебраических уравнений счётно, из чего уже несложно вывести счётность множества алгебраических чисел. А мы знаем, что множество всех действительных чисел континуально, так что оно никак не может состоять из одних только алгебраических чисел.

Понятие эквивалентности служит основой для понятия количества элементов множества. Количество – это то общее, что имеется у всех эквивалентных друг другу множеств. Для каждого класса эквивалентных друг другу множеств это количество своё – одно и то же для всех множеств этого класса. Возьмём, например, множество чудес света, множество дней недели, множество нот гаммы, множество смертных грехов и множество цветов спектра (и радуги), зашифрованных во фразе «Каждый охотник желает знать, где сидит фазан». Все они эквивалентны. Просвещённый читатель добавит к ним множество городов, споривших за честь быть родиной Гомера, и множество земных душ «по», присутствующих, согласно верованиям китайцев, в каждом человеке. И множество столбов того дома мудрости, о котором говорится в Притчах Соломона. И множества печатей, рогов, очей и духов из пятой главы Апокалипсиса. А также множества ангелов и труб из его восьмой главы. И множество ворот древнегреческих Фив, и множество вождей похода аргивян на те же Фивы. И множество римских холмов. И множество тех нянек, у которых дитя без глаза. И множество невест ефрейтора Збруева[53]. И множество пядей во лбу. Если теперь рассмотреть наряду с перечисленными только что множествами и все мыслимые множества, эквивалентные перечисленным, мы обнаружим, что в них присутствует нечто общее. Это общее есть количество элементов в каждом из них. В данном конкретном случае количество называется, как всем известно, семь. А количество элементов, характерное для множества планет Солнечной системы и всех эквивалентных ему множеств, теперь (после разжалования Плутона) называется восемь.