Владимир Успенский – Апология математики (сборник статей) (страница 30)
На языке лингвистики то, чем мы занимались в этой главе, есть семантика количественных числительных. При этом выяснилось, что привычный бесконечный ряд «конечных» числительных: один, два, три, …, сорок восемь, …, две тысячи семь, … – может быть дополнен «бесконечным» числительным алеф-ноль –
Но ведь бывают и числительные порядковые: первый, второй, третий и т. д. Вкратце поговорим и о них. Как количественное числительное есть словесное выражение (имя) количественного числа (оно же кардинальное число, оно же мощность), так порядковое числительное есть словесное выражение (имя) порядкового числа. Чтобы отличать порядковые числа от количественных, будем обозначать их – в конечном случае (а про бесконечный мы пока ничего не знаем) – римскими цифрами. Порядковое число – это особая сущность, для которой сейчас будет предложено не определение (что перегрузило бы текст), а ассоциативная иллюстрация. С этой целью обращусь к своим детским ощущениям – ещё более ранним, чем кошмар, упомянутый в самом начале данной главы. В студенческие годы я с изумлением узнал, что эти ощущения знакомы не только мне.
Итак, раннее детство. Я размышляю о том, какой я плохой. Но тут же приходит в голову мысль: раз я это понял, значит, я хороший. Но если я считаю себя хорошим, значит, я плохой. Но тогда я хороший и т. д. Какая замечательная бесконечная лестница мною выстроена, хвалю я себя. Какой я плохой, что себя хвалю. И так далее. Здесь иллюстрация понятия порядкового числа. В самом деле, естественно называть ступени возникшей лестницы словами «первая», «вторая», «третья» и т. д. А можно сказать и так: со ступенями соотносятся порядковые числа I («Я плохой»), II («Я хороший, потому что осознал, что плохой»), III («Я плохой, потому что себя похвалил») и т. д. С лестницей же в целом («Я хороший, потому что смог увидеть всю лестницу») соотносится некоторое новое, бесконечное порядковое число ω (омега). Далее следуют ω + I («Я плохой, потому что себя похвалил»), ω + II, ω + III и т. д. А потом за ними всеми ω + ω. Здесь мы остановимся, однако читатель волен продолжить этот ряд и далее. Начиная с ω идут бесконечные порядковые числа. Их именами служат «омега», «омега плюс один», «омега плюс два», «омега плюс три» и т. д. По смыслу они представляют собою порядковые числительные и потому должны были бы быть на них похожи по форме. Следовало бы говорить поэтому «омеговый», «омега-плюс-первый» и т. д.; но так почему-то не говорят.
Читатель, желающий проверить, понял ли он, что такое бесконечные порядковые числа (удалось ли автору это внятно изложить), благоволит выполнить следующее упражнение. Возьмите множество, состоящее из числа 8, числа 3, всех чисел 0, 1/2, 2/3, 3/4, 4/5 и т. д. и всех чисел 2, 2 1/2, 2 2/3, 2 3/4, 2 4/5 и т. д. Пронумеруйте элементы этого множества в порядке их возрастания порядковыми числами. Какие номера они получат? Ответ: первым, наименьшим, элементом является здесь 0, и он получит номер I, элемент 1/2 получит номер II, элемент 2/3 – номер III и т. д.; далее элемент 2 получит номер ω, элемент 2 1/2 – номер ω + I, элемент 2 2/3 – номер ω + II и т. д.; наконец, элемент 3 получит номер ω + ω и элемент 8 – номер ω + ω + I.
Обозначаем концы отрезков буквами
Глава 8
Параллельные прямые в мифологии, реальности и математике
Общественное сознание отчасти мифологично, и это давно не новость. Все знают, что во время Второй мировой войны, в период германской оккупации Дании, датский король надел жёлтую звезду. На самом деле этого не было. Всем известны слова Ленина, что искусство должно быть понятно массам, и сетования Пушкина на то, что он родился в России с умом и талантом. На самом деле Ленин (в беседе с Кларой Цеткин) говорил не «понятно массам», а «понято массами», а Пушкин (в письме к жене) писал не «с умом», а «с душою». Замена понятности на необходимость понимания и ума на душу в корне меняет смысл привычных формулировок. Если искажение слов Ленина можно списать на неправильный перевод с немецкого (а подлинник текста Цеткин был доступен в России единицам), то случай с Пушкиным требует более глубокого анализа. Объяснение состоит здесь, по-видимому, в том, что наше сознание готово допустить неуместность в России ума (которым, как известно, Россию не понять), но никак не души (это в России-то, заповеднике духовности и душевности!). Сила предубеждённости в этом вопросе поистине замечательна, ведь тираж изданий писем Пушкина исчисляется сотнями тысяч! Тем не менее ошибку в цитате делают даже филологи весьма известные. Вот ещё распространённый миф – формула «Клянусь говорить правду, только правду и ничего, кроме правды», якобы применяемая в американском судопроизводстве (и довольно странная, поскольку обороты «только правду» и «ничего, кроме правды» имеют один и тот же смысл). На самом деле в Америке говорят по-другому: «Клянусь говорить правду, всю правду и ничего, кроме правды, и да поможет мне Бог» («I swear to tell the truth, the whole truth, and nothing but the truth, so help me God»).
Математики могут чувствовать себя польщёнными тем, что среди деталей, в которых мифологическая картина мира отличается от картины реальной, есть и такие, которые относятся к их дисциплине. Например, большинство людей убеждено, что в математике все понятия определяются и все утверждения доказываются. Но ведь каждое понятие определяют через другие понятия, а каждое утверждение доказывают, опираясь на другие утверждения. Вспоминается риторический вопрос г-жи Простаковой: «Портной учился у другого, другой у третьего, да первоет[54] портной у кого же учился?» Автору этих строк приходилось слышать и такое определение площади поверхности шара: «Площадь поверхности шара есть предел площадей поверхностей правильных многогранников, вписанных в этот шар, при неограниченном возрастании числа граней этих многогранников». Подобное представление о площади поверхности явно возникло по аналогии с тем фактом, что длина окружности действительно есть предел периметров правильных многоугольников, вписанных в эту окружность, при неограниченном возрастании числа сторон этих многоугольников. Но всё дело в том, что в правильном многоугольнике может быть сколько угодно сторон, в правильном же многограннике количество граней может выражаться лишь одним из следующих пяти чисел: 4 (у тетраэдра), 6 (у куба, он же гексаэдр), 8 (у октаэдра), 12 (у додекаэдра) или 20 (у икосаэдра), так что ни о каком неограниченном возрастании числа граней не может быть речи.
Самое же замечательное – это то, как преломляется в мифологическом сознании учение о параллельных прямых.
Что такое параллельные прямые, знают практически все. Практически все слышали про аксиому о параллельных прямых, ведь её проходят в школе. Никто из так называемых людей с улицы, которых я спрашивал, в чём состоит аксиома о параллельных, не отговорился незнанием. Абсолютное большинство опрошенных отвечали так: аксиома о параллельных состоит в том, что параллельные прямые не пересекаются. Рекомендуем читателю самому произвести опрос и убедиться, что именно такая формулировка аксиомы о параллельных бытует в массовом сознании.
Получив указанный выше ответ, следует немедленно задать следующий вопрос: а что такое параллельные прямые? Скорее всего, вам ответят, что параллельными называются такие прямые, которые не пересекаются. (Если даже клаузула «и лежат в одной плоскости» не будет произнесена, этому не следует придавать значения: её необходимость понимают все.) Многие сразу же осознают: тут что-то не так, ибо не может же аксиома заключаться в том, что непересекающиеся прямые не пересекаются. Многих из тех, кто не поймёт этого сразу сам, удастся в этом убедить. Останется незначительное меньшинство, считающее, что аксиома о непересекаемости непересекающихся прямых имеет право на существование. С представителями этого меньшинства договориться трудно: разговор происходит на разных языках. (Ведь параллельные прямые и в самом деле не пересекаются. «А как насчёт такой аксиомы: всякий зелёный предмет является зелёным?» – спрашивал я. «Аксиома как аксиома, – отвечали мне представители меньшинства. – Вот если б вы сказали, что всякий зелёный предмет является красным, тогда другое дело».)
Замечательно, что ложная формулировка аксиомы о параллельных (параллельные прямые не пересекаются) получила интернациональное распространение. В этом несколько неожиданном обстоятельстве автор убедился следующим образом. В марте 2006 г. на симпозиуме в Пекине, посвящённом проблемам математического образования, я рассказал о своих наблюдениях относительно аксиомы о параллельных – наблюдениях, сделанных на русскоязычном материале. Среди присутствовавших был американский профессор математики Веллеман (Daniel J. Velleman) из довольно известного Амхерст-колледжа (Amherst College), что в штате Массачусетс. В тот же день он спросил свою жену Шелли (Shelley L. Velleman), бакалавра и магистра нескольких гуманитарных наук, приехавшую вместе с ним в Пекин, в чём состоит аксиома о параллельных прямых. И получил ответ: «В том, что параллельные прямые не пересекаются». Тогда он спросил, а что такое параллельные прямые. Ответом ему был хохот: супруга профессора сразу же поняла бессмысленность своего ответа. Итак, хотя бы в этой детали русская и американская мифологические картины мира оказались одинаковы.