Владимир Успенский – Апология математики (сборник статей) (страница 31)

Но сюжет с параллельными прямыми на этом не заканчивается. Респондента, осознавшего абсурдность его ответа, можно спросить, в чём же всё-таки состоит аксиома о параллельных. На этом этапе вы, скорее всего, получите такой ответ: «Через точку, не лежащую на заданной прямой, можно провести прямую, параллельную этой заданной прямой». Это уже значительно лучше, потому что такой ответ всего лишь неверен, но уже не абсурден. Неверен же ответ потому, что представляет собою не аксиому, а теорему. (Теорема эта доказывается чрезвычайно просто: надо сперва из точки опустить перпендикуляр на заданную прямую, а затем из той же точки восставить перпендикуляр к опущенному перпендикуляру; тогда заданная прямая и восставленный перпендикуляр будут перпендикулярны к одной и той же прямой, а именно к опущенному перпендикуляру, и потому параллельны.) Подлинный же смысл аксиомы о параллельных не разрешительный, а запретительный: она утверждает не то, что нечто сделать можно, а то, что чего-то сделать нельзя, что чего-то не существует. Вот её правильная формулировка: через точку, не лежащую на заданной прямой, нельзя провести более одной прямой, параллельной этой заданной прямой. (Проницательный читатель усмотрит здесь аналогию с восемью из первых десяти поправок к американской конституции, известных в своей совокупности под названием «Билль о правах». В этих восьми поправках свободы формулируются в терминах запретов: «конгресс не должен…» – в первой поправке, «ни один солдат не должен…» – в третьей поправке и т. п.) Причина искаженного восприятия аксиомы о параллельных, на наш взгляд, заключается в следующем. В средней школе для простоты обычно вдалбливают формулировку «можно провести одну и только одну прямую», не заостряя внимания на том, что оборот «можно провести» выражает здесь теорему, а «можно провести одну и только одну» – аксиому. В результате в сознании остаётся более простая идея о возможности, а более сложная (и более глубокая) идея о единственности теряется.

Учение о параллельных – основа геометрии Лобачевского. Чем эта геометрия отличается от обычной, евклидовой, будет сказано несколькими абзацами ниже. А пока констатируем, что Лобачевский, возможно, единственный российский математик, присутствующий в общественном сознании (а если брать всех математиков, а не только российских, то, скорее всего, один из двух; другой – Пифагор). Его место закреплено в поэзии: «Пусть Лобачевского кривые / Украсят города / Дугою…», «И пусть пространство Лобачевского / Летит с знамён ночного Невского», – призывает Хлебников в поэме «Ладомир». Бродский в стихотворении «Конец прекрасной эпохи» не призывает, но констатирует:

Жить в эпоху свершений, имея возвышенный нрав, к сожалению, трудно. Красавице платье задрав, видишь то, что искал, а не новые дивные дивы. И не то чтобы здесь Лобачевского твёрдо блюдут, но раздвинутый мир должен где-то сужаться, и тут – тут конец перспективы.

Если спросить «человека с улицы», в чём состоит вклад Лобачевского в науку, в подавляющем большинстве случаев ответ будет таким: «Лобачевский доказал, что параллельные прямые пересекаются» (в более редком и изысканном варианте: «Лобачевский открыл, что параллельные прямые могут и пересечься»). Тогда надо немедленно задать второй вопрос: «А что такое параллельные прямые?» – и получить ответ «Параллельные – это такие прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются». После чего можно пытаться (с успехом или без оного) убедить собеседника в несовместимости двух его ответов. Намёк на схождение параллельных в точку содержится уже в приведённой цитате из Бродского о сужении мира до финального «конца перспективы». Более раннее свидетельство встречаем в романе В. А. Каверина «Скандалист, или Вечера на Васильевском острове»[55]. Открываем изданный в 1963 г. первый том шеститомного собрания сочинений на с. 447–448. Герой романа Нагин[56] просматривает читанную ранее «книгу по логике», и вот «он внезапно наткнулся на вопросительный знак, который был поставлен на полях книги его рукою. Одна страница осталась непонятой при первом чтении курса. Вопросительный знак стоял над теорией Лобачевского о скрещении параллельных линий в пространстве». Нагин собирается писать рассказ на эту тему: «Он кусал себе ногти. "Параллели, параллели", – написал он здесь и там на листе…" Нужно заставить их встретиться", – начертал он крупно…» Наконец, прямое указание находим в фольклоре (а ведь буквальное значение слова folklore – народная мудрость):

Однажды Лобачевский думал, кутаясь в пальто: Как мир прямолинеен, видно, что-то здесь не то! И он вгляделся пристальней в безоблачную высь, И там все параллельные его пересеклись[57].

Имеются и более современные свидетельства. Примером может служить диалог из книги Александра Гольдштейна «Спокойные поля», выпущенной издательским домом «НЛО» в 2006 г. Приводимая ниже цитата из этой книги взята из интернета с двух сайтов: сайта журнала «Зеркало» за 2005 г. (http://magazines.russ.ru/zerkalo/2005/25/go1-pr.html) и сайта журнала «Критическая масса» за тот же 2005 г. (http://magazines.russ.ru/km/2005/2/alg5-pr.html): «"Крайности сходятся", – буркнул я. "Сомневаюсь, – сказал Торговецкий, – это не лобачевские параллели"».

Некогда каждое утро по будням, между 9 и 11 часами, на «Эхе Москвы» шла интерактивная программа «Разворот». Пятнадцатого февраля 2006 г. в рамках этой программы слушателям предлагалось выразить своё отношение к идее провести в Москве парад геев. Ведущий Алексей Венедиктов, беседуя с очередным слушателем, призывал его к толерантности и к признанию права каждого иметь собственную точку зрения. Происходил такой диалог (я записал его тогда со слуха):

Венедиктов. Вот вы скажите, параллельные прямые пересекаются?

Слушатель. Нет.

Венедиктов. А вот у Лобачевского пересекаются, там другая система отсчёта.

В следующем, 2007 г., на «Эхе Москвы» та же точка зрения была высказана ещё раз, теперь уже в рамках программы «Особое мнение», с каковым мнением 18 октября выступил Леонид Радзиховский. Он сказал: «Вот когда Лобачевский придумал свою неевклидову геометрию, что две параллельные прямые могут пересечься, – это был действительно переворот в области геометрии и физики»[58].

Правда, как известно, у каждого своя, но истина одна. Истина состоит в том, что параллельные друг другу прямые не пересекаются даже у Лобачевского.

Природа мифологического представления об открытии Лобачевского понятна: все знают, что в его геометрии происходит что-то необычное с параллельными прямыми; а что может быть необычнее их пересечения?! Поражает всё же степень распространённости этого представления. Впрочем, апологет математики вправе испытать и чувство законного удовлетворения: хоть какие-то серьёзные математические представления, пусть даже ложные, в массовом сознании присутствуют!

Не в интересах правды, а в интересах истины сообщим, что же происходит в геометрии Лобачевского. Отличие геометрии Лобачевского от привычной, известной со школы евклидовой геометрии в следующем. В евклидовой геометрии через точку проходит только одна прямая, параллельная заранее указанной прямой, а в геометрии Лобачевского – много таких прямых. В аксиоме о параллельных, сформулированной выше, надо заменить слово «нельзя» на слово «можно», и аксиома о параллельных в версии Евклида превратится в аксиому о параллельных в версии Лобачевского: через точку, не лежащую на заданной прямой, можно провести более одной прямой, параллельной этой заданной прямой.

Особое положение аксиомы о параллельных вызвано тем, что она не столь очевидна, как другие аксиомы геометрии. Возьмём, например, аксиому о том, что через две любые различные точки проходит одна и только одна прямая. Её можно проверить экспериментально. Надо выбрать плоский участок, вбить два колышка и туго натянуть между ними нить – вот вам наглядное подтверждение существования прямой, проходящей через две точки. Если же мы возьмём другую натянутую нить, соединяющую те же колышки, то обе нити сольются в одну линию – на глаз, конечно, но вся наша проверка и производится «на глаз»; так подтверждается единственность прямой. А вот убедиться столь же просто, что проходящая через точку параллельная всегда только одна, невозможно. Представим себе, что мы провели параллельную и, кроме того, через ту же точку какую-то другую прямую под очень маленьким углом к этой параллельной. По евклидовой аксиоме эта другая прямая обязана пересечь ту исходную прямую, к которой и была проведена наша параллельная. Но где она, точка пересечения? Она ведь может оказаться не только вне выбранного участка, доступного нашему обозрению, но и астрономически далеко, вне нашей Галактики. И может не найтись иного способа убедиться в том, что такая точка существует, как просто поверить в евклидову аксиому о параллельных. Но такой, основанный на чистой вере, способ подтверждения того факта (а лучше сказать того предположения, той гипотезы), что аксиома о параллельных выполняется в реальном физическом пространстве, был не по душе математикам.

Поэтому в течение долгого времени предпринимались попытки доказать содержащееся в аксиоме о параллельных утверждение и тем самым как бы понизить её статус, переведя её из аксиом в теоремы. До нас дошли сведения о таких попытках, относящихся ко II в. н. э. Желание доказать аксиому о параллельных подогревалось, помимо всего прочего, громоздкостью её первоначальной формулировки, которая содержится в составленных в III в. до н. э. «Началах» Евклида. В «Началах» она значилась по одним манускриптам 11-й аксиомой, а по другим – 5-м постулатом. В качестве 5-го постулата она так изложена в последнем, наиболее авторитетном русском издании «Начал» 1948 г.: