Владимир Малянкин – Математика VS Удача: искусство жить в мире случайностей (страница 3)
Всего: 52
Вероятность = 13/52 = 1/4 = 25%
Видите? Это просто арифметика. Никакой мистики, никакой удачи. Просто счет.
Подводные камни: когда простая формула не работает
Но есть нюанс. Наша формула работает только в одном, очень важном случае: когда все исходы равновозможны.
Что это значит? Это значит, что у нас нет причин считать один исход более вероятным, чем другой.
С монеткой и кубиком всё честно. Если монета не гнутая, а кубик не шулерский, то шансы выпадения любой грани одинаковы.
А теперь представьте, что вы пытаетесь применить ту же логику к погоде. Можно ли сказать: «Завтра либо пойдет дождь, либо не пойдет. Исходов два, значит, вероятность дождя 50%»?
Конечно, нет. Исходы «дождь» и «нет дождя» не равновозможны. В пустыне вероятность дождя ближе к 0%, а в тропическом лесу – ближе к 100%.
Или взять спорт. Перед матчем «Барселона» против команды детского сада нельзя сказать: «Исходов два – победа «Барселоны» или победа детсада, значит, шансы 50/50». Потому что эти исходы не равновероятны.
Наша формула работает только для симметричных, идеальных ситуаций. Для всего остального нужны более сложные методы, к которым мы придем позже.
Жизненный урок
Пока вы читаете эту главу, где-то в мире происходит миллион случайных событий. Где-то выпадает орел, где-то – решка. Где-то лопается шарик рулетки, где-то срывается джекпот. Где-то врач ставит диагноз, а где-то пилот сажает самолет в тумане.
И все эти события, от самых ничтожных до судьбоносных, подчиняются одной и той же логике. У каждого из них есть пространство исходов. У каждого есть набор благоприятных комбинаций. И у каждого есть вероятность, которую можно посчитать.
Конечно, в реальной жизни мы редко имеем точные цифры. Мы не знаем всех исходов. Но сам навык – раскладывать неопределенность на составляющие – это то, что отличает рационального человека от суеверного.
Суеверный человек говорит: «Чувствую, сегодня мой день!»
Рациональный человек говорит: «Давай посмотрим на факты и прикинем шансы».
Резюме главы
Пространство исходов – это список всего, что может случиться.
Событие – это то, что нас интересует (набор исходов).
Классическая вероятность = благоприятные исходы / все исходы (но только если исходы равновозможны).
Не путайте количество исходов с вероятностью. Два исхода – это еще не 50 на 50.
Упражнение для закрепления
Не закрывайте книгу. Сделайте это прямо сейчас.
Возьмите колоду карт (или просто представьте ее). Вытяните одну карту наугад.
Вопрос: Какова вероятность того, что эта карта окажется:
а) Королем?
б) Бубновой масти?
в) Фигурой (валет, дама, король)?
г) Тузом или семеркой?
Ответы в конце книги. Но не подглядывайте, посчитайте сами.
Глава 1.3
Великие парадоксы
Когда математика издевается над здравым смыслом
Есть в теории вероятностей задачи, которые выглядят как розыгрыши. Вы смотрите на условие, даете ответ, основанный на здравом смысле, – и оказываетесь в луже. Математика показывает язык, а интуиция молчит в ужасе.
В этой главе мы разберем три таких парадокса. Они не просто занимательные головоломки. Они обнажают главную проблему человеческого мышления: наш мозг не приспособлен для жизни в мире вероятностей.
Парадокс Монти Холла
Представьте, что вы участник телешоу. Перед вами три двери. За одной из них – автомобиль. За двумя другими – козы (приз утешительный, но в нашем случае просто ничего).
Вы выбираете дверь, скажем, номер 1.
Ведущий, который знает, где машина, открывает одну из оставшихся дверей, за которой точно коза. Допустим, он открывает дверь 3. Там коза.
И тут ведущий говорит: «Хотите изменить свое решение и выбрать дверь 2?»
Вопрос: Выгодно ли вам менять выбор?
Интуиция говорит: «Какая разница? Осталось две двери. За одной машина, за другой коза. Шансы 50 на 50. Менять бессмысленно».
Эта интуиция ошибается.
Правильный ответ: менять выбор выгодно. Вероятность выигрыша при смене – 2/3, при отказе от смены – 1/3.
Давайте разберемся, почему математика издевается над здравым смыслом.
Первый способ: перебор вариантов.
Когда вы выбирали дверь в первый раз, вероятность угадать машину была 1/3. А вероятность того, что машина за одной из двух других дверей – 2/3.
Теперь ведущий открывает одну из этих двух дверей, но он открывает только ту, где коза. Он не может открыть дверь с машиной.
Что происходит с вероятностью 2/3? Она не исчезает. Она просто перемещается на оставшуюся неоткрытую дверь.
Смотрите:
Если машина была за дверью 1 (вероятность 1/3), то после открытия двери 3 вам выгоднее остаться при своем.
Если машина была за дверью 2 (вероятность 1/3), то ведущий откроет дверь 3, и вам выгоднее переключиться.
Если машина была за дверью 3 (вероятность 1/3), то ведущий откроет дверь 2, и вам выгоднее переключиться.
В двух случаях из трех (когда вы изначально ошиблись) смена двери ведет к выигрышу. Только в одном случае (когда вы сразу угадали) смена вредит.
Второй способ: представьте, что дверей не три, а тысяча.
Этот мысленный эксперимент убивает интуицию наповал.
Представьте, что перед вами 1000 дверей. За одной – машина, за 999 – козы. Вы выбираете дверь номер 1. Вероятность угадать – 1/1000, мизер.
Ведущий, который знает всё, открывает 998 дверей с козами. Остаются закрытыми ваша дверь номер 1 и еще одна, скажем, дверь номер 537.
И он спрашивает: «Хотите поменять?»
Интуиция теперь кричит: «ДА!» Потому что понятно: либо вы с первого раза угадали ту самую дверь из тысячи (что почти невероятно), либо машина за той единственной дверью, которую ведущий оставил закрытой.
С тремя дверьми работает та же логика, просто цифры меньше и мозг обманывается.
Историческая справка: Когда в 1990 году колумнистка Мэрилин вос Савант (человек с самым высоким IQ в мире по версии Книги рекордов Гиннесса) опубликовала решение этой задачи в своем журнале, она получила тысячи писем с возмущениями. Десять тысяч человек, включая профессоров математики, требовали извинений. Они писали: «Вы ошибаетесь! Шансы 50/50!» Мэрилин была права. Профессора – нет.
Парадокс дней рождений