Владимир Малянкин – Математика VS Удача: искусство жить в мире случайностей (страница 4)
Второй парадокс звучит так:
Сколько человек должно быть в комнате, чтобы вероятность совпадения дней рождения (число и месяц) у каких-либо двух человек была больше 50%?
Интуиция подсказывает: дней в году 365. Чтобы вероятность была 50%, нужно примерно половина от этого числа, то есть человек 180.
Интуиция снова ошибается.
Правильный ответ: 23 человека.
Да, вы не ослышались. В группе из 23 случайных людей вероятность того, что у двоих совпадет день рождения, превышает 50%. А при 60 человеках эта вероятность приближается к 99%.
Как такое возможно? Это же математически невозможно! – кричит внутренний голос.
Давайте посчитаем.
Проще всего считать вероятность обратного события – того, что у всех дни рождения разные.
Первый человек может родиться в любой день – его день рождения уникален (пока что).
Второй человек уже не должен родиться в день первого. Вероятность этого – 364/365.
Третий не должен родиться ни в день первого, ни в день второго – 363/365.
И так далее.
Для 23 человек вероятность, что у всех дни рождения разные, равна произведению:
(365/365) × (364/365) × (363/365) × … × (343/365)
Если это посчитать (а мы посчитали), получится примерно 0.493. То есть вероятность, что все дни разные – 49.3%.
Значит, вероятность, что есть хотя бы одно совпадение = 100% – 49.3% = 50.7%.
Почему интуиция ошибается? Потому что мы думаем о конкретном совпадении («кто-то родился в мой день»), а задача говорит о любом совпадении между любыми людьми. Количество возможных пар растет квадратично. Для 23 человек число пар – 253. А это уже приличная цифра.
Мораль: Совпадения случаются гораздо чаще, чем мы думаем. Когда вы встречаете кого-то с тем же днем рождения, это не мистика. Это математика.
Парадокс мальчика или девочки
Еще одна задача, которая делит людей на два лагеря.
Вариант первый:
У женщины двое детей. Один из них – мальчик. Какова вероятность, что второй ребенок тоже мальчик?
Интуиция: «Пол ребенка не зависит от другого, значит, 50%».
Ответ: 1/3 (33.3%).
Вариант второй:
У женщины двое детей. Старший ребенок – мальчик. Какова вероятность, что младший – тоже мальчик?
Интуиция здесь согласна с математикой: 50%.
Как так? Условия почти одинаковые, а ответы разные? Давайте разбираться.
В первом случае мы знаем только, что есть хотя бы один мальчик. Возможные комбинации двух детей (по порядку рождения):
Мальчик – Мальчик (ММ)
Мальчик – Девочка (МД)
Девочка – Мальчик (ДМ)
Девочка – Девочка (ДД)
Последний вариант (ДД) отпадает, потому что у нас точно есть мальчик. Остаются три равновероятных варианта: ММ, МД, ДМ. Из них только в одном (ММ) второй ребенок – мальчик. Вероятность 1/3.
Во втором случае мы знаем больше: старший – точно мальчик. Возможные варианты:
Мальчик – Мальчик (ММ)
Мальчик – Девочка (МД)
Варианты ДМ и ДД отпадают, потому что старший не мальчик. Остаются два равновероятных варианта. Вероятность 1/2.
Разница в том, сколько информации мы имеем. Чем точнее информация, тем точнее вероятность.
Почему это важно?
Эти парадоксы – не просто интеллектуальные развлечения. Они показывают фундаментальную вещь:
Ваша интуиция относительно случайности почти всегда ошибается.
Мозг эволюционно заточен на быстрые решения в саванне: «там тигр – беги», «там ягоды – ешь». Он не заточен на статистику, на условную вероятность, на подсчет сложных комбинаций.
Поэтому, когда вы слышите в новостях «шанс заболеть редкой болезнью вырос на 50%» – это может быть паника, хотя реальный риск вырос с 0.001% до 0.0015%. Когда вы видите, что после десяти орлов подряд выпала решка – это не «закон равновесия», это просто случайность. Когда вы боитесь летать на самолете – ваш мозг рисует картинки катастроф, игнорируя цифры.
Парадоксы лечат нашу самонадеянность. Они говорят: «Сядь и посчитай, прежде чем верить своему чутью».
Резюме главы
Монти Холл: всегда меняйте дверь. Вероятность выигрыша удваивается.
Дни рождения: совпадения случаются гораздо чаще, чем кажется. 23 человека – и вероятность уже выше 50%.
Мальчик или девочка: ответ зависит от того, что именно вы знаете. Дополнительная информация меняет вероятности.
Упражнение
Представьте, что вы в шоу Монти Холла. Дверей не три, а четыре. За одной машина, за тремя козы. Вы выбираете дверь. Ведущий открывает одну дверь с козой (из оставшихся). Потом предлагает поменять выбор на одну из оставшихся двух.
Выгодно ли менять? И если да, то какова вероятность выигрыша при смене?
Ответ в конце книги.
Глава 1.4
Закон больших чисел
Почему казино всегда выигрывает, а страховые компании не разоряются
В предыдущих главах мы научились считать вероятности для одного события. Бросили монетку – получили 50%. Кинули кубик – 16.6%. Всё просто.
Но жизнь – это не одно событие. Жизнь – это миллионы событий. И здесь вступает в силу самый важный закон теории вероятностей.
Закон больших чисел.
Звучит скучно? Сейчас вы поймете, почему это самое взрывное знание, которое можно вынести из этой книги.
История из казино
Представьте себе Лас-Вегас. Сияющий город, где, как кажется, сбываются мечты. Тысячи людей каждый день приезжают сюда, чтобы выиграть. Иногда им везет. Иногда крупно везет – срывают джекпот, уходят с чемоданом денег.