Владимир Хаустов – Основы геометрической волновой инженерии: теория псевдоэллипсоидов 2-го порядка. Монография (страница 5)

3.6. Горизонтальный псевдоэллипсоид, псевдосфера, вертикальный псевдоэллипсоид

Классификация семейства по K является фундаментальной. Она отделяет три канонических режима, каждый из которых имеет собственный геометрический смысл и далее будет иметь собственный лучевой и волновой почерк.

K < 1 → горизонтальный псевдоэллипсоид.

K = 1 → псевдосфера.

K > 1 → вертикальный псевдоэллипсоид.

При K<1 исходный эллипс имеет большую полуось вдоль оси x, то есть его фокальная ось является горизонтальной. При K>1 большая полуось ориентирована вдоль оси y, и фокальная структура плоской образующей становится вертикальной. При K=1 эллиптическая образующая вырождается в окружность, и анизотропия эллипса исчезает.

Именно в этом смысле параметр K разделяет семейство на три канонических режима. Здесь важно подчеркнуть, что такая классификация относится прежде всего к типу плоской образующей, а не к уже доказанному характеру трёхмерной лучевой динамики. Поэтому горизонтальный режим не следует заранее объявлять режимом обязательной центральной экваториальной доминанты, а вертикальный - режимом обязательной торцевой доминанты. Эти свойства должны устанавливаться отдельно на стадии лучевого и волнового анализа.

Термин «псевдосфера» в настоящей монографии используется как внутреннее обозначение переходного случая K=1. В строгом геометрическом смысле его не следует смешивать с классической псевдосферой Бельтрами дифференциальной геометрии. Внутри данной книги он означает только то, что исходная плоская образующая становится окружностью и тем самым занимает промежуточное положение между горизонтальным и вертикальным эллиптическими режимами.

3.7. Трёхфокусное подсемейство

Особое место в теории занимает трёхфокусное подсемейство. Оно возможно только для горизонтального режима при K < 1 и возникает тогда, когда один внутренний фокус левой эллиптической дуги совпадает с одним внутренним фокусом правой эллиптической дуги. В этот момент составная плоская образующая имеет не четыре различимых фокуса, а три. Такая конструкция прямо вытекает из канонической геометрии.

Условие трёхфокусности имеет вид:

h_1^(3f) = 2·√(1 − K^2) − 2, K < 1

Это условие задаёт не случайную единичную конфигурацию, а специальное подсемейство в пространстве параметров (K, h_1, h). Его значение состоит в том, что при такой сборке центральная часть составной образующей перестаёт быть просто областью стыковки двух дуг и приобретает характер выраженной геометрической шейки.

Координата центральной точки этой шейки равна:

x_f = h_1 / 2 = √(1 − K^2) – 1

Высота образующей в этой точке равна:

y_min = K^2.

После задания смещённой оси вращения

R = K + h

локальный радиус внутренней полости в шейке определяется формулой:

r_throat = R − y_min = K + h − K^2

Именно эта величина задаёт геометрический радиус внутренней шейки в трёхфокусном подсемействе. Если r_throat > 0, шейка существует как реальный участок внутренней полости. Если r_throat = 0, она вырождается в предельное касание. Если r_throat < 0, соответствующая шейковая конфигурация в физически содержательном виде не реализуется.

Здесь необходимо специально подчеркнуть границы интерпретации. Трёхфокусность в данном разделе относится к плоской составной образующей, а не к уже готовому оптическому свойству трёхмерной полости. То есть совпадение внутренних фокусов двух эллиптических дуг является строгим геометрическим признаком специальной сборки, но само по себе ещё не доказывает существование трёхмерного «трёхфокусного резонатора» в физическом смысле. Физическое значение этого подсемейства состоит в другом: оно выделяет конфигурации, в которых центральная часть полости приобретает шейковый характер и потому должна отдельно анализироваться в лучевой и волновой постановках.

Рис. 3.7.1. Горизонтальная эллиптическая образующая специального трёхфокусного псевдоэллипсоида

Рис. 3.7.1 показывает построение образующей зелёным цветом из двух симметричных эллипсов с касанием по линии фокусов, размещённых горизонтально. Сверху красным пунктиром показана ось вращения. Особенность построения - крайние фокусы двух эллипсов соединены между собой в одной точке, т.е. F2=F3.

Рис 3.7.2. Сечение 2D специального трёхфокусного псевдоэллипсоида.

Рис 3.7.2 показывает построение сечения 2D зелёным цветом из двух зеркальных образующих вдоль центральной оси вращения, показанной красным пунктиром. Особенность построения - крайние фокусы двух эллипсов соединены между собой в одной точке.

3.8. Центральное экваториальное кольцо, торцевые окна и шейка трёхфокусной геометрии

Центральное экваториальное кольцо является естественным геометрическим объектом всего семейства, но наибольшую определённость оно приобретает в трёхфокусном подсемействе. Здесь оно имеет точный радиус r_throat и играет роль внутреннего горла полости. Именно в этой зоне далее имеет смысл искать максимум статистического накопления отражений, рост времени пребывания лучей и переход к локализованным модовым структурам.

Торцевые окна определяются не параметром h_1, а параметром h. В крайних точках активного профиля y = K, поэтому торцевой радиус получается непосредственно из функции d(x).

d_tip = R − K = h.

Следовательно, при h ≤ 0 торцы закрыты, а при h > 0 на обоих концах формируются круговые торцевые окна радиуса h. В то же время режим h_1 > 0 создаёт экваториальное окно в центральном поясе. Таким образом, геометрия семейства поддерживает два принципиально различных механизма открытости: торцевой и экваториальный.

В трёхфокусной конфигурации существование внутренней шейки требует положительности радиуса r_throat. Отсюда следует простое, но фундаментальное условие геометрической допустимости.

r_throat > 0 ⇔ h > −K·(1 − K).

Если это условие выполнено, шейка существует как реальная внутренняя зона связи между двумя частями полости. Если условие нарушается, центральная область теряет свой статус рабочего горла и соответствующая трёхфокусная геометрия перестаёт существовать в физически содержательном виде.

Глава 4. Геометрические режимы открытости и топология окон

Настоящая глава завершает геометрический слой критерия C1 для псевдоэллипсоидов второго порядка и фиксирует тот уровень открытости, который далее используется во всей монографии. Если в предыдущей главе были заданы составная эллиптическая образующая, смещённая ось вращения, полное двумерное сечение и трёхмерная поверхность вращения, то здесь необходимо жёстко разделить режимы закрытости, торцевой открытости, экваториальной открытости и комбинированной открытости. Такое разделение требуется не только ради геометрической аккуратности. Оно определяет весь дальнейший язык критериев C2-C5, поскольку различие между удержанием и выводом энергии в теории псевдоэллипсоидов задаётся уже на уровне топологии границы.

Здесь используется безразмерная каноническая запись семейства: a = 1, b = K, R = K + h, x_min = min (−1, h_1), x_max = max(0, 1 + h_1). Параметр h управляет торцевой открытостью через радиус торцевого окна, а параметр h_1 управляет режимом касания, разрыва или перекрытия двух эллиптических сегментов. В рабочей геометрической интерпретации настоящей книги раздвижение сегментов при h_1 > 0 трактуется как образование экваториального кольцевого окна после вращения, тогда как перекрытие при h_1 < 0 приводит к формированию внутренней шейки, а в специальном случае - к трёхфокусной геометрии.

4.1. Закрытый режим по торцам: h ≤ 0

Первым базовым режимом семейства является торцево-закрытая геометрия. Она задаётся условием

h ≤ 0,

то есть положением смещённой оси вращения на уровне

R = K + h ≤ K.

Однако в этом месте необходимо строго различать две величины:

Уменьшенный параметр торцевой открытости

R − K = h;

реальный физический радиус торцевого окна после введения активного профиля

y_act(x) = min(y(x), R).

Именно вторая величина определяет, открыт ли торец в реальной геометрии полости. Если h ≤ 0, то в торцевых областях высота исходной образующей не ниже уровня оси вращения, и потому после активной обрезки имеем

y_act = R,

а следовательно,

d_tip = R − y_act = 0.

Таким образом, при h < 0 торцевое окно не имеет отрицательного радиуса; оно просто отсутствует. При h = 0 реализуется предельный закрытый режим, в котором торцевое сечение вырождается в точку касания. Следовательно, физически корректная формулировка такова: при h ≤ 0 торцы геометрически закрыты, а реальный радиус торцевого окна равен нулю.

Подписанная величина h в этом режиме сохраняет смысл удобного параметра положения оси вращения, но не должна интерпретироваться как физический радиус апертуры. Поэтому в дальнейшем для реального торцевого окна следует использовать величину

d_tip = max(h, 0).

Именно эта геометрия лежит в основе закрытых типов #1, #5, #9 и #13, а также экваториально-открытых, но торцево-закрытых типов #3, #7 и #11. Исходный текст главы 4 действительно связывает режим h ≤ 0 с закрытостью по торцам, но формулу для радиуса здесь необходимо уточнить с учётом активной обрезки профиля.

Рис. 4.1. Типовые геометрические режимы образующей псевдоэллипсоида.

Рис. 4.1 показывает четыре базовых сценария: закрытый режим, торцево-открытый режим, режим экваториального окна и режим перекрытия ветвей с образованием шейки.