Владимир Хаустов – Основы геометрической волновой инженерии: теория псевдоэллипсоидов 2-го порядка. Монография (страница 4)

2.8. Критерий C8: робастность и запас устойчивости. Назначение критерия C8.

Если C1-C7 отвечают на вопрос о существовании геометрического механизма локализации, вывода, направленности, масштабной инвариантности и межфизической программы проверки, то C8 ставит последний и самый жёсткий вопрос: остаётся ли вся эта схема рабочей при малых геометрических, апертурных и настроечных ошибках. В нашем тексте это сформулировано прямо: если C1-C7 отвечали за существование механизма, то C8 отвечает за другой вопрос - сохраняется ли этот механизм при малых ошибках геометрии и настройки. Там же сказано, что универсальный аттрактор в инженерном смысле должен определяться не только наличием эффектов C2-C6, но и существованием положительного запаса устойчивости ε*. Именно поэтому C8 нельзя понимать, как повторение C6. C6 доказывает, что механизм является масштабно инвариантным в безразмерной форме. C8 требует большего: он должен показать, что эта безразмерная схема не разрушается мгновенно при малых ошибках формы, щели, положения апертуры и настройки. В нашем тексте это уже зафиксировано как строгая инженерно-математическая постановка, хотя её полное 3D-подтверждение для всех физик ещё требует отдельных расчётов чувствительности. Без C8 вся программа C1-C7 остаётся потенциально хрупкой. Можно было бы допустить, что центральная ловушка, спектральные окна, управляемый вывод и направленность существуют, но только в идеально подогнанной конфигурации. Наш текст прямо предупреждает: если механизм работает только в одной идеально подогнанной точке, это не универсальный инструмент, а хрупкий резонансный трюк. Именно поэтому C8 и завершает всю систему критериев: он переводит теорию из режима “существует красивый эффект” в режим “существует рабочий запас допуска”. После C8 система критериев C1-C8 считается завершённой, а строгий результат должен формулироваться через сохранение локализации, вывода, направленности и спектральных окон при малых возмущениях.

Часть II. Каноническая геометрия псевдоэллипсоидов 2-го порядка (C1)

Глава 3. Каноническая геометрия безразмерного семейства псевдоэллипсоидов

3.1. Составная эллиптическая образующая и базовые понятия

Построение псевдоэллипсоида начинается с составной эллиптической образующей в плоскости (x, y). В безразмерной нормировке принимается a = 1, b = K. Это означает, что вся геометрическая вариативность семейства концентрируется в параметре K, тогда как абсолютный размер исключается из постановки и возвращается только на стадии масштабирования.

a = 1, b = K, R = K + h.

Правая дуга записывается выражением:

y_R(x) = K·√(1 − (x − 1 − h_1)^2), x ∈ [h_1, 1 + h_1]

Левая:

y_L(x) = K·√(1 − (x + 1)^2), x ∈ [−1, 0]

Центр находится в точке (1 + h_1, 0), тогда как центр левой дуги находится в точке (−1, 0). Следовательно, расстояние между центрами двух исходных эллиптических дуг равно:

2 + h_1.

Параметр h_1 управляет взаимным положением дуг и тем самым задаёт один из трёх базовых режимов сборки.

Если h_1 < 0, дуги перекрываются по оси x. В этом случае рабочий профиль задаётся на объединении доменов обеих дуг, а на участке их перекрытия выбирается верхняя огибающая. Вне перекрытия сохраняется соответствующая одиночная дуга. На участке перекрытия берётся:

max(y_L, y_R).

Следовательно, при отрицательных h_1 составная образующая не схлопывается к одной ветви, а остаётся объединением двух дуг с верхней огибающей на общей части. Поэтому активная область по x естественно задаётся как:

x_min = min(−1, h_1),

x_max = max(0, 1 + h_1).

Если h_1 = 0, дуги касаются в одной точке.

Если h_1 > 0, между дугами возникает разрыв:

x ∈ (0, h_1),

который в принятой рабочей постановке монографии трактуется как отсутствие отражающей границы. После вращения вокруг оси этот разрыв соответствует экваториальному кольцевому окну.

Рис. 3.1.1. Образующая псевдоэллипсоида горизонтального типа.

Рис. 3.1.1 показывает построение образующей синим цветом из двух симметричных эллипсов с касанием по линии фокусов, размещённых горизонтально. Сверху красным пунктиром показана ось вращения.

Случай, когда К=1 заслуживает отдельного рассмотрения. В этом случае два фокуса эллипса вырождаются я в один фокус окружности.

Рис. 3.1.2. Образующая вырожденного псевдоэллипсоида для построения псевдосферы.

Рис. 3.1.2 показывает построение образующей из двух симметричных кругов с касанием по линии фокусов, размещённых горизонтально. Сверху красным пунктиром показана ось вращения.

Рис. 3.1.3. Образующая псевдоэллипсоида вертикального типа.

Рис. 3.1.3 показывает построение образующей из двух симметричных эллипсов с касанием по краю. Линии фокусов размещены вертикально. Сверху красным пунктиром показана ось вращения.

Таким образом, в каноническом семействе псевдоэллипсоидов второго порядка параметр K играет роль главного безразмерного параметра формы и задаёт высоту эллиптической ветви. Тем самым определяет, относится ли конфигурация к горизонтальному, переходному сферическому или вертикальному типу. Параметр h_1 описывает горизонтальный сдвиг правой ветви относительно левой и отвечает за один из трёх базовых режимов взаимодействия - перекрытие, касание или образование экваториального окна. Параметр h задаёт смещение оси вращения относительно естественного уровня R = K и тем самым управляет открытием или закрытием торцевых окон. Наконец, величина R представляет собой радиус смещённой оси вращения и через соотношение d(x) = R − y_act(x) непосредственно определяет локальный радиус внутренней полости.

3.2. Смещённая ось вращения

Отличительный признак псевдоэллипсоида состоит в том, что вращение выполняется не вокруг оси симметрии самой образующей, а вокруг параллельной оси, смещённой на величину R. Именно из-за этого смещения классическая эллиптическая ветвь перестаёт порождать обычный эллипсоид и начинает формировать новую осесимметричную полость с центральной областью соединения, торцевыми зонами и переменным радиусом.

Геометрически существенной является не исходная функция y(x), а её активная часть y_act(x), поскольку участок профиля, лежащий выше оси вращения, не может участвовать в построении внутренней рабочей поверхности.

y_act(x) = min(y(x), R).

d(x) = R − y_act(x).

Функция d(x) имеет двойной смысл. Во-первых, она задаёт локальный радиус внутренней полости. Во-вторых, именно она является основной рабочей функцией для всех последующих лучевых и волновых моделей. Поэтому любое утверждение о геометрии псевдоэллипсоида в конечном счёте должно быть переведено в язык d(x).

3.3. Полное двумерное сечение

Полное двумерное сечение строится зеркальным отражением активной образующей относительно прямой y = R. В результате нижняя и верхняя границы сечения имеют симметричный вид, а локальная толщина сечения выражается через одну и ту же функцию d(x).

y_low(x) = y_act(x), y_up(x) = 2R − y_act(x).

Δ(x) = y_up(x) − y_low(x) = 2·d(x).

Такое представление особенно важно методологически. Оно показывает, что вся двумерная геометрия задаётся единственной скалярной функцией d(x). Следовательно, переход к трёхмерной поверхности вращения не требует новой геометрии, а лишь переводит уже построенное сечение в осесимметрическую форму.

Рис. 3.3. Канонические двумерные сечения трёх базовых топологий семейства: горизонтальной, сферической и вертикальной.

Рис. 3.3 показывает, как параметр K меняет относительную вытянутость и локальную толщину рабочего сечения при неизменной логике построения.

3.4. Полное трёхмерное построение

Трёхмерный псевдоэллипсоид получается вращением активного профиля вокруг оси X. При этом для каждой абсциссы x локальный радиус вращения равен d(x). В результате поверхность естественно записывается в параметрической форме через угол θ.

X = x, Y = d(x)·sinθ, Z = d(x)·cosθ, θ ∈ [0, 2π).

Эта запись универсальна для всего семейства. Изменение K, h_1 и h приводит не к смене формулы поверхности, а лишь к смене функции d(x). В этом состоит одна из сильнейших сторон критерия C1: вся трёхмерная вариативность семейства сведена к безразмерной одномерной геометрии.

Рис. 3.4. Полное трёхмерное построение псевдоэллипсоида как поверхности вращения активного профиля.

Рис. 3.4 показывает три характерные пространственные конфигурации, демонстрирующие, что изменение параметров семейства меняет форму полости, но не меняет самого правила построения.

3.5. Фокальная структура эллиптической образующей

Фокальная структура определяется типом эллиптической ветви и тем самым напрямую зависит от параметра K. При K < 1 эллипс имеет горизонтальную фокальную ось; при K > 1 - вертикальную; при K = 1 эллипс вырождается в окружность, и фокальная структура исчезает.

Если K < 1, то c = √(1 − K^2)

Если K > 1, то c = √(K^2 − 1)

Если K = 1, то c = 0

Для K < 1:

F_1 = (−1 − c, 0), F_2 = (−1 + c, 0),

F_3 = (1 + h_1 − c, 0), F_4 = (1 + h_1 + c, 0)

Для K > 1:

F_1 = (−1, −c), F_2 = (−1, +c),

F_3 = (1 + h_1, −c), F_4 = (1 + h_1, +c)

Фокальная структура в теории псевдоэллипсоида играет не декоративную, а конструктивную роль. Именно она объясняет, почему горизонтальная и вертикальная топологии обладают различным характером центральной зоны, различным положением наиболее активных областей и различной чувствительностью к разрыву или перекрытию ветвей.