Владимир Хаустов – Основы геометрической волновой инженерии: теория псевдоэллипсоидов 2-го порядка. Монография (страница 7)

Для дальнейшего использования удобно рассматривать всё семейство псевдоэллипсоидов не как абстрактное непрерывное множество, а как набор 14 канонических типов, покрывающих основные сочетания параметров K, h_1 и h для всех лучевых и волновых расчётах.

Эти типы образуют пять основных геометрических классов:

- базовые закрытые конфигурации;

- торцево-открытые конфигурации;

- экваториально-открытые конфигурации;

- комбинированно открытые конфигурации;

- специальное трёхфокусное подсемейство.

При этом сама карта типов должна интерпретироваться строго геометрически. Она не доказывает автоматически ни статистическое доминирование некоторой зоны, ни направленность, ни универсальность. Её задача - зафиксировать базовые конфигурации, на которых далее проводится вся программа проверки критериев C1-C8.

Рис. 4.6.1. Карта геометрических режимов открытости в пространстве параметров (h_1, h).

Рис. 4.6.1 показывает, как знаки параметров h и h_1 разделяют семейство на торцево-закрытые, торцево-открытые, экваториально-открытые и комбинированно открытые режимы.

Рис. 4.6.2. Четырнадцать канонических типов псевдоэллипсоидов второго порядка.

Рис. 4.6.2 показывает полный набор базовых конфигураций, используемых далее в Monte Carlo- и волновых расчётах.

Таблица 4.6. Канонические типы семейства псевдоэллипсоидов и их геометрический статус.

Таблица 4.6 фиксирует канонические типы семейства псевдоэллипсоидов и их геометрический статус.

4.7. Безразмерные геометрические инварианты семейства

Для всей дальнейшей теории необходимо различать первичные параметры семейства и безразмерные геометрические инварианты, которые выражают собственную структуру псевдоэллипсоида независимо от конкретного физического масштаба.

К числу первичных параметров семейства относятся:

K - главный безразмерный параметр формы,

h_1 - параметр взаимного сдвига дуг,

h - параметр положения оси вращения относительно уровня R = K.

Из них выводятся следующие базовые геометрические инварианты:

длина активной области

L = x_max − x_min,

где

x_min = min(−1, h_1),

x_max = max(0, 1 + h_1);

эквивалентная ширина экваториального окна

w_eq = max(h_1, 0);

физический радиус торцевого окна

d_tip = max(h, 0);

радиус шейки в трёхфокусном подсемействе

r_throat = K + h − K^2;

фокальный зазор δ_f, который должен пониматься не как универсальный физический инвариант всей полости, а как вспомогательная геометрическая характеристика плоской эллиптической образующей.

Здесь особенно важно различать параметр h и реальный радиус торцевого окна. Параметр h может быть отрицательным и тогда только задаёт положение оси вращения ниже уровня K. Реальный же радиус торцевой апертуры как физический геометрический объект не может быть отрицательным, поэтому он должен записываться только как

d_tip = max(h, 0).

Именно это различение необходимо дальше, чтобы не смешивать параметризацию семейства с фактической топологией открытой границы.

Фокальный зазор δ_f также требует осторожной интерпретации. Он может использоваться как удобная метрическая характеристика плоской образующей, но не должен заранее нагружаться слишком сильным физическим смыслом. Для горизонтального и вертикального режимов он вычисляется по разным геометрическим схемам, поэтому его нужно рассматривать как вспомогательный параметр описания, а не как доказанный универсальный инвариант лучевой динамики.

Таблица 4.7. Основные безразмерные геометрические инварианты семейства.

Таблица 4.7 собирает величины, которые сохраняют смысл для всех канонических типов и используются в последующих критериях C2-C8.

Тем самым геометрическая открытость псевдоэллипсоидов второго порядка определяется двумя независимыми параметрами. Параметр h управляет торцевыми апертурами, а параметр h_1 - режимом касания, разрыва или перекрытия эллиптических ветвей. Из этого следуют четыре базовых режима: торцево-закрытый, торцево-открытый, экваториально-открытый и комбинированно открытый. Специальное место занимает трёхфокусное подсемейство, в котором вместо экваториального окна возникает внутренняя шейка, соединяющая две части полости.

Тем самым критерий C1 в части геометрии открытого режима можно считать завершённым. Семейство псевдоэллипсоидов больше не является просто набором тел вращения. Оно представляет собой систематически классифицированное множество геометрий, в котором тип окна, число апертур и их положение выводятся непосредственно из безразмерных параметров формы. Именно на этой основе в следующих главах может строиться лучевая верификация статистически выделенных зон, анализ совместимости удержания и вывода и дальнейшая программа критериев C2-C8.

Глава 5. Интегральные геометрические характеристики семейства

5.1. Объём полости

Пусть активная образующая приведена к каноническому виду y_act(x), а локальный радиус внутренней полости определяется соотношением

d(x) = R − y_act(x).

Тогда полный объём полости как тела вращения вокруг оси X задаётся стандартной формулой метода дисков, или формулой Кавальери для тела вращения, а не формулой Паппа-Гульдина. В безразмерной нормировке a = 1 получаем:

V(K, h_1, h) = π · ∫ от x_min до x_max [d(x)]^2 dx.

Здесь

x_min = min(−1, h_1),

x_max = max(0, 1 + h_1),

а сама функция d(x) определяется геометрией составной образующей, режимом её перекрытия и положением оси вращения

R = K + h.

Следовательно, объём является строгим функционалом от тройки параметров (K, h_1, h). Важно, что для нашей канонической сборки при h_1 > 0 интеграл по объёму берётся по всей активной области от x_min до x_max, включая центральный интервал разрыва между дугами. Это не противоречит рабочей постановке: экваториальное окно означает отсутствие отражающей стенки, но не отсутствие доступного внутреннего объёма.

Рис. 5.1. Зависимость объёма полости V от параметра формы K при трёх характерных режимах параметра h_1 и при h = 0.

Рис. 5.1 показывает, что положительный h_1 увеличивает объём за счёт осевого разрыва, а отрицательный h_1 уменьшает его за счёт перекрытия ветвей.

5.2. Площадь поверхности

Для поверхности вращения вокруг оси X локальный элемент площади задаётся стандартной формулой

dS = 2π · d(x) · √(1 + [d′(x)]^2) dx.

Отсюда полная площадь отражающей поверхности должна вычисляться как интеграл по тем участкам, на которых отражающая стенка действительно существует.

В закрытых и перекрывающихся конфигурациях, где рабочий профиль непрерывен как отражающая граница, запись имеет вид

S = 2π · ∫ d(x) · √(1 + [d′(x)]^2) dx,

где Γ обозначает совокупность участков активной стенки.

Однако для экваториально-открытых конфигураций при h_1 > 0 нужно обязательно различать две величины:

площадь реальной отражающей стенки;

площадь воображаемой «закрывающей» вставки на участке разрыва.