Владимир Хаустов – Геометрическая Волновая Инженерия. Теория псевдогиперболоидов высших порядков. Том 1. Конструктивная геометрия: рекурсивные построения и вычислительный аппарат (страница 5)

Горизонтальный тип: d(ξ) = xₕ(u).

После выбора d(ξ) рекурсивная схема остаётся одной и той же: B₂ = {d}, B₃ = {R₁ ± d}, B₄ = {R₂ ± (R₁ ± d)} и далее. Это свойство делает теорию универсальной: разные геометрические реализации подчиняются одному ветвевому ядру.

Рис. 3.4. Горизонтальный тип, 4-й порядок. Та же ветвевая рекурсия R₂ ± (R₁ ± d) реализуется при иной базовой ориентации профиля. Параметры: a = 0,8; b = 1; R = 10; R₁ = 18; R₂ = 40; m = 1; h = 0.

3.9. Порядок n, рядность m и параметр h: разные уровни организации

Порядок n и рядность m нельзя смешивать. Порядок n относится к внутренней рекурсии одного псевдогиперболоидного экземпляра. Он определяет число параметров R₁, …, Rₙ₋₂ и число формальных ветвей 2ⁿ⁻². Рядность m относится к внешней осевой компоновке уже построенных одинаковых экземпляров. Параметр h задаёт зазор, касание или перекрытие соседних рядов.

n - глубина внутренней рекурсии;

m - число осевых экземпляров;

h - осевой зазор или перекрытие.

Следовательно, увеличение n меняет внутреннюю структуру одного экземпляра, а увеличение m повторяет уже построенную структуру вдоль общей оси. Рядность не умножает число формальных ветвей одного экземпляра и не входит в формулу Nₙ = 2ⁿ⁻². Она участвует только в построении общего объёма Ωₙ,ₘ после завершения внутренней рекурсии.

Рис. 3.5. Вертикальный тип, 4-й порядок, 3D поверхности границы одиночного экземпляра. Рисунок показывает, что порядок n меняет внутреннюю рекурсивную структуру, тогда как рядность m здесь равна 1 и не участвует в ветвевом числе.

3.10. Почему ветвевое ядро не должно подменять общий объём

Главная опасность чисто ветвевого описания состоит в том, что оно может создать впечатление, будто физическая область уже определена набором функций R₂ ± (R₁ ± d) и их аналогами для более высоких порядков. Это неверно. Ветви являются границами или кандидатами на границы. Физически значимая область появляется только после перехода к внутренним интервалам, их слиянию и пространственному вращению.

Поэтому при чтении дальнейших глав необходимо держать строгую иерархию:

1. Сначала задаётся базовая функция d(ξ);

2. Затем строится формальное ветвевое ядро Bₙ;

3. Затем ветвевой скелет переводится в систему внутренних радиальных интервалов Iₙ(ξ);

4. После операции Merge получается объединённая радиальная область при каждом ξ;

5. После вращения и осевой сборки рядов получается общий внутренний объём Ωₙ,ₘ.

Рис. 3.6. Горизонтальный тип, 5-й порядок, 3D поверхности границы одиночного экземпляра. Параметры: a = 0,8; b = 1; R = 10; R₁ = 18; R₂ = 40; R₃ = 90; m = 1; h = 0. Рисунок демонстрирует, что рост ветвевого ядра проявляется в усложнении границ общего объёма.

3.11. Выводы главы

В настоящей главе зафиксировано ветвевое рекурсивное ядро теории псевдогиперболоидов n-го порядка. Исправленная версия главы должна использоваться как эталон для всех последующих разделов, где вводятся третий, четвёртый и общий n-й порядок.

1. Второй порядок задаётся одной исходной ветвью B₂ = {d}.

2. Первый рекурсивный шаг использует R₁ и строит B₃ = {R₁ + d, R₁ − d}.

3. Второй рекурсивный шаг использует R₂ и строит B₄ = {R₂ ± (R₁ ± d)}.

4. Общая рекурсия должна записываться как Bₖ₊₁ = {Rₖ₋₁ + r, Rₖ₋₁ − r : r ∈ Bₖ}, k ≥ 2.

5. Число формальных ветвей равно Nₙ = 2ⁿ⁻², но это не число физических компонент после Merge.

6. Знаковые слова задают вложенную композицию операторов, а не произвольную линейную сумму со свободными знаками.

7. Вертикальный и горизонтальный типы имеют разные базовые функции d(ξ), но одно и то же ветвевое ядро.

8. Порядок n и рядность m являются разными уровнями организации и не должны смешиваться.

9. Ветвевое ядро является необходимым, но не окончательным физическим описанием: общий объём возникает только после интервальной и объёмной интерпретации.

Глава 4. Исходная гиперболическая образующая и открытая редакция построения

Настоящая глава фиксирует геометрический источник всей дальнейшей конструкции. После глав о переходе от ветвей к объёму и о ветвевом рекурсивном ядре необходимо строго задать базовую образующую, потому что именно она определяет исходную функцию расстояния до оси d(ξ), из которой затем строятся интервалы второго, третьего, четвёртого и общего n-го порядка.

Глава не рассматривает исходную гиперболу как декоративную кривую. Она вводит её как первичный механизм формирования внутренней области. Уже на этом уровне нужно различать три вещи: каноническую плоскую гиперболу, открытую радиальную функцию второго порядка и пространственную поверхность вращения, которая является границей соответствующего внутреннего объёма.

Главное правило главы: никакие центральные цилиндрические перемычки, искусственные прямые замыкания, сглаживания, скругления или соединительные отрезки к исходной геометрии не добавляются. Скрипт строит только те кривые и поверхности, которые следуют из заданных формул.

4.1. Назначение исходной образующей

Исходная гиперболическая образующая нужна не для того, чтобы получить ещё один классический гиперболоид вращения. Её роль глубже: она задаёт начальный закон изменения радиального расстояния, из которого затем рекурсивно возникают многокомпонентные внутренние области. Поэтому базовая образующая является нулевым геометрическим источником всей теории рядных псевдогиперболоидов.

Параметры a и b задают форму исходной гиперболы. Параметр R не является параметром самой канонической гиперболы; он задаёт радиальный масштаб открытого профиля второго порядка. В дальнейшем параметры R₁, R₂, … будут повышать порядок, но в данной главе они ещё не используются. Здесь строится только исходный второй порядок как базовая внутренняя область.

4.2. Каноническая гипербола и функция гиперболического удаления

В основе построения лежит правая и левая ветви плоской гиперболы с полуосью a и параметром b. Для дальнейшего построения удобна не сама гипербола в полном каноническом виде, а функция гиперболического удаления от вершины:

η(|x|; a, b) = b √((|x| / a)² − 1), |x| ≥ a.

Эта функция определена только вне центрального интервала |x| < a. Именно это обстоятельство создаёт открытый характер вертикального профиля: в центре не появляется автоматически никакая перемычка. В скрипте для численной устойчивости выражение под корнем обрезается снизу нулём, но геометрический смысл остаётся тем же: физическая ветвь начинается от |x| = a.

Фокусное расстояние исходной гиперболы определяется формулой

c = √(a² + b²).

Фокусное расстояние полезно для геометрической интерпретации исходной образующей, но в финальном скрипте оно не участвует в построении сетки как самостоятельный управляющий параметр. Управляющими параметрами профиля являются a, b и R.

4.3. Вертикальный профиль

Вертикальный тип строится так, что осевая координата обозначается через s, а радиальная координата через ρ. Открытый профиль второго порядка задаётся функцией

ρᵥ(|s|) = R − b √((|s| / a)² − 1), a ≤ |s| ≤ L,

L = a √(1 + (R / b)²).

Величина L является продольным пределом существования открытого вертикального профиля. При |s| = a радиус достигает максимума ρᵥ = R. При |s| = L радиус обращается в ноль. Поэтому вертикальный второй порядок состоит из двух раздельных осевых частей: левой на интервале −L ≤ s ≤ −a и правой на интервале a ≤ s ≤ L.

Центральный промежуток −a < s < a в открытой редакции не заполняется. Никакой цилиндрический участок, никакая прямая перемычка и никакое искусственное замыкание между левой и правой частями не вводятся. Это принципиально: если соединить две части вручную, получится уже другая геометрия, не соответствующая скрипту.

Рис. 4.1. Вертикальный открытый профиль второго порядка: 2D меридиональное сечение общего внутреннего объёма. Параметры: a = 0,8; b = 1; R = 10; m = 1; h = 0.

4.4. Горизонтальная реализация

Горизонтальный тип нельзя описывать как простую смену названий координат без изменения геометрического смысла. В исправленной реализации используется тот же открытый контур, но повернутый на 90 градусов. Осевая координата обозначается через u, а радиальная функция записывается так:

xₕ(u) = a √(1 + ((R − |u|) / b)²), |u| ≤ R.

Здесь осевой диапазон непрерывен: −R ≤ u ≤ R. При u = 0 радиус максимален, а при |u| = R радиус равен a. Поэтому горизонтальный второй порядок имеет другую связность меридионального сечения, чем вертикальный. Он не содержит центрального осевого разрыва типа −a < s < a, характерного для вертикального профиля.

Исправленная горизонтальная запись особенно важна из-за прежних ошибок визуализации. В горизонтальном типе нельзя дорисовывать скругления, удалять внутренние части или соединять ряды служебными линиями. Профиль должен строиться только по формуле xₕ(u), а его 3D-форма должна получаться только вращением этой реальной границы.

Рис. 4.2. Горизонтальная реализация второго порядка: 2D меридиональное сечение общего внутреннего объёма. Параметры: a = 0,8; b = 1; R = 10; m = 1; h = 0. Профиль построен без скруглений и без искусственных соединений.

4.5. Второй порядок как начальный внутренний интервал