Владимир Хаустов – Геометрическая Волновая Инженерия. Теория псевдогиперболоидов высших порядков. Том 1. Конструктивная геометрия: рекурсивные построения и вычислительный аппарат (страница 6)

Ветвевой язык второго порядка говорит только о границе d(ξ). Но после главы 2 мы должны сразу задавать и внутренний интервал. Для вертикального типа базовая функция dᵥ(s) равна ρᵥ(|s|), а внутренний интервал имеет вид

I₂ᵛ(s) = { [0, ρᵥ(|s|)] }, s ∈ [−L, −a] ∪ [a, L].

Для горизонтального типа базовая функция dₕ(u) равна xₕ(u), а внутренний интервал имеет вид

I₂ʰ(u) = { [0, xₕ(u)] }, u ∈ [−R, R].

В обоих случаях нижняя граница равна нулю. Поэтому базовые компоненты второго порядка доходят до оси вращения и не являются тороидальными оболочками в строгом смысле. Термин «тороидальные компоненты» корректен только для тех последующих областей, где нижняя граница интервала становится положительной: lo > 0.

4.6. Оси вращения и пространственные поверхности

Переход от меридионального сечения к пространственной геометрии выполняется вращением вокруг общей оси. Для вертикального типа вращение происходит вокруг оси s. Если радиус равен ρ, то параметризация поверхности границы имеет вид

X = s, Y = ρ cos φ, Z = ρ sin φ, 0 ≤ φ < 2π.

Для горизонтального типа вращение происходит вокруг оси u. Тогда параметризация поверхности границы записывается так:

X = ρ cos φ, Y = u, Z = ρ sin φ, 0 ≤ φ < 2π.

Эти формулы соответствуют двум функциям вращения в скрипте: одна вращает профиль вокруг оси x, другая - вокруг оси y. Важно понимать, что на рисунках 3D показываются поверхности границы объёма. Сам математический объект - это весь внутренний объём, заданный неравенством между нижней и верхней радиальными границами.

Рис. 4.3. Вертикальный тип второго порядка: 3D поверхности границы общего внутреннего объёма. Параметры: a = 0,8; b = 1; R = 10; m = 1; h = 0.

Рис. 4.4. Горизонтальный тип второго порядка: 3D поверхность границы общего внутреннего объёма. Параметры: a = 0,8; b = 1; R = 10; m = 1; h = 0.

4.7. Научный смысл открытой редакции

Открытая редакция построения важна для будущей геометрической волновой инженерии. Закрытая или искусственно замкнутая форма навязала бы волне дополнительные стенки и каналы, которых нет в исходном законе. Открытая форма сохраняет честную геометрию: там, где формула не задаёт область, область не дорисовывается.

Это делает дальнейшую теорию проверяемой. Если в последующих порядках появятся внутренние зоны удержания, каналы связи, области концентрации или режимы направленного вывода энергии, они должны возникать не из художественной дорисовки, а из строгой рекурсии интервалов и их объединения. Именно поэтому исходная глава должна быть математически безупречной: ошибка в базовой образующей немедленно переносится во все высшие порядки.

4.8. Выводы главы

1. Исходная гиперболическая образующая задаётся функцией η(|x|; a, b) = b√((|x|/a)² − 1) при |x| ≥ a.

2. Вертикальный открытый профиль имеет вид ρᵥ(|s|) = R − b√((|s|/a)² − 1) на области a ≤ |s| ≤ L, где L = a√(1 + (R/b)²).

3. Вертикальный второй порядок состоит из двух раздельных осевых компонент; центральный участок не вводится.

4. Горизонтальный тип задаётся повернутой на 90 градусов реализацией xₕ(u) = a√(1 + ((R − |u|)/b)²), |u| ≤ R.

5. Второй порядок должен сразу пониматься как внутренний интервал [0, d(ξ)], а не только как граничная кривая.

6. 3D-рисунки показывают поверхности границы общего внутреннего объёма, а не заменяют сам объём.

7. Любые искусственные перемычки, скругления и служебные соединения противоречат исходной геометрии и должны быть исключены.

Глава 5. Псевдогиперболоид второго порядка как базовый внутренний объём

Настоящая глава фиксирует второй порядок как исходную рабочую область всей теории. Это не вспомогательный рисунок и не частный низший случай, а нулевой рекурсивный уровень, без которого невозможны третий, четвёртый и общий n-й порядок. Именно здесь впервые появляется главный объект теории: не линия и не оболочка, а внутренний объём, ограниченный открытым гиперболическим профилем.

Второй порядок описывается в полном соответствии с финальным скриптом. Для вертикального типа базовая область имеет две раздельные осевые компоненты. Для горизонтального типа базовая область непрерывна по осевой координате. В обоих случаях физически значимым объектом является множество всех внутренних точек, удовлетворяющих неравенству 0 ≤ ρ ≤ d(ξ), а не только граничная кривая ρ = d(ξ).

С точки зрения Геометрической Волновой Инженерии именно второй порядок является первой элементарной «ячейкой управления»: он задаёт форму внутреннего пространства, в котором уже можно ставить вопросы о траекториях, отражениях, задержке, локализации и выходе волн. Более высокие порядки не отменяют этот уровень, а рекурсивно разворачивают его в многокомпонентную систему.

5.1. Второй порядок как нулевой рекурсивный уровень

Псевдогиперболоид второго порядка занимает особое место в иерархии. Он ещё не содержит рекурсивных параметров R₁, R₂, …, Rₙ₋₂ и потому не является результатом действия оператора C_R. Он задаёт начальное состояние, от которого начинается вся дальнейшая интервальная рекурсия.

B₂ = { d }.

Эта запись является ветвевой. Она говорит только о том, что существует одна базовая граничная функция d(ξ). Однако для физики и вычислительной геометрии этого недостаточно. Объёмная запись второго порядка имеет вид

I₂(ξ) = { [0, d(ξ)] }.

Именно интервал [0, d(ξ)] является исходным материалом для построения третьего порядка. Когда далее вводится R₁, преобразуется не одна граничная линия, а весь внутренний радиальный интервал. Поэтому второй порядок должен быть зафиксирован как полноценный внутренний объём, а не как оболочка.

В этом состоит принципиальный поворот всей теории: теория начинается не с поверхности, а с области. Поверхность является границей, а волна существует внутри области. Следовательно, математически и физически первичным объектом является Ω₂.

5.2. Вертикальный тип второго порядка

В вертикальном типе осевая координата обозначается через s. Открытый профиль существует не на всём отрезке между −L и L, а только на двух симметричных участках:

s ∈ [−L, −a] ∪ [a, L].

Граничная радиальная функция задаётся формулой

ρᵥ(|s|) = R − b √((|s| / a)² − 1), a ≤ |s| ≤ L,

L = a √(1 + (R / b)²).

Внутренняя область вертикального второго порядка задаётся неравенством

Ω₂ᵛ = { (s, ρ, φ) : a ≤ |s| ≤ L, 0 ≤ ρ ≤ ρᵥ(|s|), 0 ≤ φ < 2π }.

Ключевая геометрическая особенность вертикального типа состоит в том, что центральный участок |s| < a в открытой редакции отсутствует. Поэтому вертикальный второй порядок имеет две раздельные осевые компоненты. Их нельзя соединять прямыми отрезками, цилиндрическими перемычками или искусственными поверхностями. Если в рисунке появляется линия, соединяющая левую и правую компоненты через центральный разрыв, это не геометрия объекта, а ошибка визуализации.

Рис. 5.1. Вертикальный тип, 2-й порядок, 2D меридиональное сечение. Параметры: a = 0,5; b = 1; R = 15; m = 1; h = 0. Центральный промежуток открыт; искусственные соединения отсутствуют.

5.3. Горизонтальный тип второго порядка

В горизонтальном типе используется исправленная повёрнутая реализация того же открытого гиперболического принципа. Осевая координата обозначается через u, а допустимый диапазон имеет вид

|u| ≤ R.

Базовая радиальная функция горизонтального типа задаётся формулой

xₕ(u) = a √(1 + ((R − |u|) / b)²), |u| ≤ R.

Тогда внутренний объём горизонтального второго порядка задаётся множеством

Ω₂ʰ = { (u, ρ, φ) : |u| ≤ R, 0 ≤ ρ ≤ xₕ(u), 0 ≤ φ < 2π }.

Горизонтальный тип не является простым переименованием вертикального. Он имеет другой осевой диапазон, другую связность меридионального сечения и другую пространственную ориентацию. В отличие от вертикального типа, базовый горизонтальный второй порядок непрерывен по осевой координате u. Но это не означает, что его можно скруглять, замыкать произвольными дугами или удалять внутренние части при последующих построениях. Все внутренние области, задаваемые интервалами, должны сохраняться.

Рис. 5.2. Горизонтальный тип, 2-й порядок, 2D меридиональное сечение. Параметры: a = 0,5; b = 1; R = 15; m = 1; h = 0. Базовая область непрерывна по осевой координате u.

5.4. Второй порядок как объём, а не оболочка

Для обеих реализаций второго порядка граница задаётся одной функцией d(ξ), но физически рабочая область задаётся всем интервалом 0 ≤ ρ ≤ d(ξ). Поэтому необходимо различать три объекта:

• Граничную функцию d(ξ);

• Меридиональный внутренний интервал [0, d(ξ)];

• Пространственный объём вращения Ω₂.

Если рассматривается только кривая ρ = d(ξ), то мы имеем оболочечное или ветвевое описание. Если рассматривается неравенство 0 ≤ ρ ≤ d(ξ), то мы получаем внутренний объём. Для будущей волновой постановки именно второй вариант является правильным. Граничная поверхность может нести условия отражения, поглощения или пропускания, но область распространения поля находится внутри неё.

В финальном скрипте эта логика реализуется через начальный интервал [0, d]. Для второго порядка список интервалов содержит один элемент. Для более высоких порядков этот список преобразуется рекурсивно и затем сливается оператором Merge. Поэтому второй порядок является не просто начальной картинкой, а исходным массивом внутренней геометрии.