Владимир Хаустов – Геометрическая Волновая Инженерия. Теория псевдогиперболоидов высших порядков. Том 1. Конструктивная геометрия: рекурсивные построения и вычислительный аппарат (страница 4)

• При наличии пересечений и вложений компонент скрипт не уничтожает сами компоненты, а удаляет только дублирование общей части в итоговом объединении.

• Предупреждения скрипта о вложении и пересечении нужно понимать как диагностические сообщения, а не как запрет на построение.

Такое уточнение важно для всей дальнейшей теории. Теория ветвей должна использоваться как язык происхождения границ, а теория интервалов и общего объёма - как язык физически значимого объекта. Только в таком виде текст книги будет строго согласован с фактической вычислительной реализацией.

2.10. Выводы главы

Основные выводы таковы.

Физически значимой областью является общий внутренний объём Ωₙ или Ωₙ,ₘ.

Ветви нужны как аналитический скелет, но не заменяют объёмную постановку.

Исправленный интервальный оператор должен совпадать со скриптом и содержать обрезание радиуса снизу нулём.

Операция Merge обязательна, поскольку именно она устраняет искусственное дробление пересекающихся и касающихся компонент.

Рядная система строится осевыми сдвигами Δⱼ = −j(2H + h).

Все иллюстрации главы должны пониматься как изображения реальных границ общего объёма без искусственных соединительных линий.

Глава 3. Ветвевое рекурсивное ядро теории псевдогиперболоидов

n-го порядка

Настоящая глава фиксирует чистое ветвевое ядро теории псевдогиперболоидов n-го порядка. В предыдущей главе было показано, что главным физическим объектом является общий внутренний объём. Однако этот объём не возникает произвольно: его порождает строгая рекурсивная система радиальных ветвей. Поэтому перед построением исходной образующей, второго порядка, третьего порядка и последующих уровней необходимо отдельно зафиксировать математический скелет всей конструкции.

3.1. Назначение ветвевого ядра

Ветвевое ядро выполняет роль аналитического генератора границ. Оно показывает, как из одной базовой функции расстояния до оси d(ξ) появляются формальные радиальные уровни третьего, четвёртого, пятого и общего n-го порядка. Этот уровень описания не является полной физической областью, но без него невозможно строго определить порядок, число формальных ветвей и вложенность рекурсивных смещений.

После главы 2 ветвевой язык должен пониматься осторожно. Он не заменяет интервальную и объёмную геометрию. Ветви отвечают на вопрос: какие радиальные уровни порождает рекурсия? Интервалы отвечают на вопрос: какие радиальные зоны допустимы внутри объекта? Общий объём отвечает на вопрос: какие точки пространства принадлежат реальной расчётной области?

Таблица 3.1. Назначение ветвевого ядра

3.2. Исходное состояние: второй порядок

Пусть ξ обозначает осевую координату выбранного типа построения, а d(ξ) - базовую радиальную функцию второго порядка. Для вертикального и горизонтального типов конкретная форма d(ξ) различается, но ветвевой закон начинается одинаково: второй порядок содержит одну исходную ветвь.

B₂ = { d }.

Второй порядок является нулевым рекурсивным состоянием. На этом уровне ещё нет параметров R₁, R₂, … . В ветвевом языке он задаётся одной функцией d(ξ). В объёмном языке та же геометрия соответствует базовому интервалу I₂(ξ) = {[0, d(ξ)]}. Эти две записи нельзя смешивать: B₂ задаёт границу, а I₂ задаёт внутреннюю радиальную область.

Рис. 3.1. Вертикальный тип, 2-й порядок: одна исходная ветвь как порождающая граница базового внутреннего объёма. Параметры: a = 0,8; b = 1; R = 10; m = 1; h = 0. Рисунок построен финальным скриптом.

3.3. Первый рекурсивный шаг: третий порядок

Первый собственно рекурсивный шаг задаётся параметром R₁. Он действует на уже существующую ветвь второго порядка и порождает две формальные ветви третьего порядка: суммовую и разностную.

B₃ = { R₁ + d, R₁ − d }.

Таким образом, третий порядок содержит две формальные ветви. Ветвевой смысл этой записи прост: каждая функция предыдущего уровня порождает две функции следующего уровня. При этом в физической интерпретации нельзя забывать, что разностная ветвь R₁ − d может стать отрицательной, если R₁ меньше максимального значения d. В этом случае формальная ветвь уже не является непосредственным физическим радиусом, а объёмная теория должна переходить к интервальному оператору с обрезанием радиуса снизу нулём.

Рис. 3.2. Вертикальный тип, 3-й порядок: результат первого рекурсивного смещения R₁. Параметры: a = 0,8; b = 1; R = 10; R₁ = 18; m = 1; h = 0. Рисунок показывает уже объёмную визуализацию границ, построенную из ветвевого шага.

3.4. Второй рекурсивный шаг: четвёртый порядок

Второй рекурсивный шаг задаётся параметром R₂. Он действует не на исходную функцию d заново, а на результат третьего порядка. Поэтому четвёртый порядок содержит четыре формальные ветви:

B₄ = { R₂ + (R₁ + d), R₂ − (R₁ + d), R₂ + (R₁ − d), R₂ − (R₁ − d) }.

Это место принципиально важно для всей теории. Параметры R₁, R₂, … не являются независимыми смещениями относительно исходной образующей. Они образуют цепочку операторов: R₁ строит третий порядок из второго, R₂ строит четвёртый из третьего, R₃ строит пятый из четвёртого и так далее.

Если бы каждый параметр Rⱼ применялся заново только к исходной функции d(ξ), то рекурсивной теории n-го порядка не возникло бы. Поэтому правильное понимание четвёртого порядка - это не набор отдельных добавок к d, а вложенная структура R₂ ± (R₁ ± d).

Рис. 3.3. Вертикальный тип, 4-й порядок: результат двух последовательных рекурсивных смещений R₁ и R₂. Параметры: a = 0,8; b = 1; R = 10; R₁ = 18; R₂ = 40; m = 1; h = 0.

3.5. Общая рекурсия n-го порядка

Для общей записи удобно использовать индекс шага рекурсии. Пусть B₂ = {d}. Тогда j-й рекурсивный параметр Rⱼ переводит порядок j+1 в порядок j+2:

B_{j+2} = { Rⱼ + r, Rⱼ − r : r ∈ B_{j+1} }, j = 1, 2, …, n−2.

Та же формула может быть записана через номер текущего порядка k:

Bₖ₊₁ = { Rₖ₋₁ + r, Rₖ₋₁ − r : r ∈ Bₖ }, k ≥ 2.

Именно эта вторая форма устраняет индексную неоднозначность: при переходе от B₂ к B₃ используется R₁, при переходе от B₃ к B₄ используется R₂, при переходе от B₄ к B₅ используется R₃.

Так как каждая формальная ветвь предыдущего уровня порождает две ветви следующего уровня, число формальных ветвей удваивается на каждом шаге. Поэтому

Nₙ = 2ⁿ⁻².

Эта формула является инвариантом ветвевой теории. Она не зависит от вертикального или горизонтального типа, не зависит от рядности m и не меняется при осевых сдвигах рядной системы. Но она не равна числу компонент общего объёма после Merge: интервалы могут касаться, сливаться, перекрываться или исчезать как отдельные видимые компоненты.

Таблица 3.2. Общая рекурсия n-го порядка

3.6. Знаковые слова и вложенная запись ветвей

Для алгоритмической записи каждой ветви можно сопоставить знаковое слово σ. Слово длины n−2 фиксирует путь в бинарном дереве рекурсии. Важно, однако, не превращать вложенную рекурсию в неверную линейную сумму со свободными знаками перед всеми Rⱼ. Последний внешний параметр не является независимым слагаемым; он действует как внешний оператор над уже построенным выражением.

σ = (σ₁, σ₂, …, σₙ₋₂), σⱼ ∈ {+, −}.

Введём операторы

Fⱼ⁺(x) = Rⱼ + x, Fⱼ⁻(x) = Rⱼ − x.

Тогда правильная ветвь n-го порядка задаётся вложенной композицией

rₙ,σ(ξ) = Fₙ₋₂^{σₙ₋₂} ∘ Fₙ₋₃^{σₙ₋₃} ∘ … ∘ F₁^{σ₁}( d(ξ) ).

Например, для четвёртого порядка получаем именно четыре вложенные формы R₂ ± (R₁ ± d), а не произвольную сумму ±R₂ ±R₁ ±d. Это исправление необходимо сохранить во всех последующих главах, особенно в общей главе о n-м порядке.

Таблица 3.3. Знаковые слова и вложенная запись ветвей

3.7. Условия корректности формальных ветвей

В чисто ветвевом представлении радиальная функция должна быть неотрицательной. Поэтому для регулярного ветвевого режима на каждом шаге желательно, чтобы новое смещение превосходило максимальный радиус предыдущего ветвевого уровня. Для третьего порядка условие имеет вид

R₁ > sup d(ξ).

Для четвёртого порядка требуется уже не R₂ > sup d(ξ), а условие относительно всех ветвей третьего порядка:

R₂ > sup{ r(ξ) : r ∈ B₃ }.

В общем виде регулярное ветвевое условие можно записать так:

Rₖ₋₁ > sup{ r(ξ) : r ∈ Bₖ }, k ≥ 2.

Однако это условие относится именно к формальной ветвевой геометрии. Финальный скрипт не останавливает построение при нарушении такого неравенства. Он выдаёт предупреждение о пересечении, вложении или касании, а затем строит общий внутренний объём через интервалы, обрезание отрицательных радиусов и операцию Merge. Поэтому нужно различать уровни корректности.

Таблица 3.4. Уровни корректности

3.8. Вертикальный и горизонтальный типы в ветвевом языке

Ветвевой закон одинаков для вертикального и горизонтального типов. Различие между ними возникает не в рекурсивной формуле Bₙ, а в выборе базовой функции d(ξ) и в пространственной интерпретации оси вращения. В вертикальном типе базовая функция связана с открытым профилем ρᵥ(|s|). В горизонтальном типе используется повёрнутый на 90 градусов открытый контур xₕ(u).

Вертикальный тип: d(ξ) = ρᵥ(|s|),