Владимир Хаустов – Геометрическая Волновая Инженерия. Теория псевдогиперболоидов высших порядков. Том 1. Конструктивная геометрия: рекурсивные построения и вычислительный аппарат (страница 3)

Рис. 2.1. Вертикальный тип, 2-й порядок, 2D меридиональное сечение общего внутреннего объёма. Параметры: a = 0,5; b = 1; R = 15; m = 1; h = 0. Показаны две раздельные осевые компоненты. Рисунок сгенерирован финальным скриптом без искусственных соединительных линий.

Рис. 2.2. Горизонтальный тип, 2-й порядок, 2D меридиональное сечение общего внутреннего объёма. Параметры: a = 0,5; b = 1; R = 15; m = 1; h = 0. Базовая осевая область непрерывна. Рисунок сгенерирован финальным скриптом.

2.3. Три уровня описания: ветвевой, интервальный и объёмный

Для устранения неоднозначности в дальнейшем изложении необходимо строго различать три уровня описания.

Таблица 2.1. Три уровня описания: ветвевой, интервальный и объёмный

В исправленной постановке именно интервальный уровень играет роль мостика между ветвями и объёмом. Он согласует теорию с вычислительной реализацией, потому что скрипт работает не с абстрактными символами, а с массивами интервалов [lo, hi], которые затем сливаются в общий объём.

2.4. Ветвевое ядро как порождающий скелет

Пусть d(ξ) - базовая радиальная функция второго порядка. Тогда ветвевое ядро остаётся в книге как строгий аналитический скелет и записывается так:

B₂ = { d }.

Bₖ₊₁ = { Rₖ₋₁ + r, Rₖ₋₁ − r : r ∈ Bₖ }, k ≥ 2.

Nₙ = 2ⁿ⁻².

Эти формулы фиксируют только формальные уровни радиусов. Они не определяют автоматически, какие точки пространства принадлежат внутренней рабочей области. Поэтому ветвевой аппарат должен рассматриваться не как окончательная физическая модель, а как порождающий скелет, из которого интервальная теория извлекает реальные внутренние области.

Важно подчеркнуть, что переход от k-го к (k+1)-му порядку осуществляется параметром Rₖ₋₁, а не Rₖ. Это индексное правило обязательно должно соблюдаться во всей книге, иначе возникает путаница между номером шага рекурсии и номером параметра смещения.

2.5. Интервальное прочтение второго и третьего порядка

Скрипт реализует конкретное интервальное преобразование, действующее на каждый интервал [α, β] предыдущего порядка.

Для второго порядка при фиксированном ξ имеем один базовый интервал:

I₂(ξ) = { [0, d(ξ)] }.

Пусть теперь задан интервал [α, β], где 0 ≤ α ≤ β. Тогда действие очередного смещения R задаётся не абстрактной записью |R − r|, а точным оператором, реализованным в скрипте:

C_R([α, β]) = [ max(R − β, 0), max(R − α, 0) ] ∪ [ R + α, R + β ].

Именно эта формула соответствует строкам скрипта, где для каждого интервала строятся две новые компоненты: разностная и суммовая. Разностная компонента обрезается снизу нулём, то есть радиус не может стать отрицательным. После этого выполняется операция Merge, сливающая пересекающиеся или соприкасающиеся интервалы.

Следовательно, для третьего порядка исправленная формула имеет вид:

I₃(ξ) = Merge( C_{R₁}( I₂(ξ) ) ).

Если подставить I₂(ξ) = { [0, d(ξ)] }, то до слияния получаем два интервала:

[ max(R₁ − d(ξ), 0), R₁ ] и [ R₁, R₁ + d(ξ) ].

Так как эти интервалы касаются в точке R₁, после Merge возникает единая допустимая область:

I₃(ξ) = { [ max(R₁ − d(ξ), 0), R₁ + d(ξ) ] }.

2.6. Общая интервальная рекурсия, совпадающая со скриптом

Пусть при фиксированном ξ множество интервалов k-го порядка записано как

Iₖ(ξ) = { [αⱼ(ξ), βⱼ(ξ)] }₍ⱼ₌₁₎^{Mₖ(ξ)}, 0 ≤ αⱼ(ξ) ≤ βⱼ(ξ).

Тогда следующий порядок строится точной формулой

Iₖ₊₁(ξ) = Merge( ⋃_{j=1}^{Mₖ(ξ)} C_{Rₖ₋₁}( [αⱼ(ξ), βⱼ(ξ)] ) ), k ≥ 2,

где

C_{Rₖ₋₁}( [α, β] ) = [ max(Rₖ₋₁ − β, 0), max(Rₖ₋₁ − α, 0) ] ∪ [ Rₖ₋₁ + α, Rₖ₋₁ + β ].

Оператор Merge объединяет интервалы, если они пересекаются или касаются. Тем самым убирается искусственное дублирование границ и получается итоговая система допустимых радиальных областей. Это и есть математическая модель общего внутреннего объёма на фиксированном сечении ξ = const.

Такая запись подчёркивает принципиальное свойство скрипта: каждый следующий порядок строится не заново из исходной гиперболической образующей, а из уже полученного набора интервалов предыдущего порядка. Следовательно, рост порядка является настоящей рекурсией внутренней геометрии.

2.7. Переход от интервалов к общему внутреннему объёму Ωₙ и Ωₙ,ₘ

После задания интервалов Iₙ(ξ) физически значимый объект определяется как объединение всех радиальных точек, лежащих внутри этих интервалов. Для одиночного псевдогиперболоида n-го порядка объём можно записать так:

Ωₙ = { (ξ, ρ, φ) : ξ ∈ Dₙ, [α, β] ∈ Iₙ(ξ), α ≤ ρ ≤ β, 0 ≤ φ < 2π }.

Здесь Dₙ - допустимый осевой диапазон, а φ - угловая координата вращения. Для вертикального типа ξ = s, а половина осевой длины одного базового экземпляра равна

L = a √(1 + (R / b)²).

Для горизонтального типа ξ = u и половина длины одного экземпляра равна R.

Рядная система из m одинаковых экземпляров строится осевыми сдвигами. Если H обозначает половину длины одного экземпляра вдоль общей оси, то шаг между центрами соседних экземпляров равен

step = 2H + h.

В соответствии со скриптом осевые сдвиги имеют вид

Δⱼ = −j(2H + h), j = 0, 1, …, m−1.

Тогда общий внутренний объём рядной системы записывается формулой

Ωₙ,ₘ = ⋃_{j=0}^{m−1} ( Ωₙ + Δⱼ e_ξ ).

Эта формула полностью согласуется со скриптом. Если h > 0, между рядами возникает зазор. Если h = 0, соседние экземпляры касаются. Если h < 0, возникает перекрытие по общей оси. При этом скрипт не удаляет сами компоненты как порождающие объекты, а строит итоговый общий объём как объединение всех компонент с устранением только дублирующейся общей части.

2.8. Геометрический смысл общего объёма и его визуализация в скрипте

Скрипт всегда работает в объёмной логике. Он выводит все порядки от 2 до n и для каждого порядка может строить 2D меридиональные сечения, 3D поверхности границы объёма или оба вида визуализации сразу. Формально режимы называются section, surface и all.

Важно различать математический объект и способ его показа. Математический объект - это объём Ωₙ или Ωₙ,ₘ. В 2D скрипт показывает границы радиальных интервалов меридионального сечения. В 3D он показывает поверхности вращения, соответствующие внешним и внутренним границам общего объёма. То есть скрипт визуализирует границу объёма, а не строит полноценную твердотельную CAD-модель или конечную 3D сетку.

Принципиально важно и то, что в скрипте запрещены искусственные соединения. Для этого: 1) в 2D по умолчанию отключена заливка областей;

2) в осевые пустоты добавляются точки разрыва;

3) кривые разбиваются по скачкам, соответствующим смене компоненты;

4) между рядами и компонентами не дорисовываются прямые отрезки. Поэтому все отображаемые линии являются только геометрическими границами реальных компонент общего объёма.

Рис. 2.3. Вертикальный тип, 4-й порядок, 2D меридиональное сечение общего внутреннего объёма рядной системы. Параметры: a = 0,5; b = 1; R = 15; R₁ = 14; R₂ = 30; m = 3; h = −2. Показано объединение всех компонент без искусственных соединений.

Рис. 2.4. Горизонтальный тип, 4-й порядок, 2D меридиональное сечение общего внутреннего объёма рядной системы. Параметры: a = 0,5; b = 1; R = 15; R₁ = 14; R₂ = 30; m = 3; h = −2.

Рис. 2.5. Вертикальный тип, 4-й порядок, 3D поверхности границы общего внутреннего объёма рядной системы. Параметры те же, что на рис. 2.3.

Рис. 2.6. Горизонтальный тип, 4-й порядок, 3D поверхности границы общего внутреннего объёма рядной системы. Параметры те же, что на рис. 2.4.

2.9. Связь методологической постановки с вычислительным скриптом

Согласование главы со скриптом требует зафиксировать ещё несколько принципов.

• Скрипт выводит не только конечный n-й порядок, а всю последовательность порядков 2, 3, …, n.

• Скрипт не имеет отдельного вычислительного режима branches; ветвевой уровень остаётся теоретическим слоем книги.

• Скрипт строит именно объединённый внутренний объём и визуализирует его границы.

• Разностная ветвь каждого шага обрезается снизу нулём, то есть отрицательные радиусы не допускаются.