Валерий Федин – Арифметика бесконечностей (страница 3)
Доказательство простое. Построим возрастающий ряд из целых чисел в десятичной системе счисления, (1).
0 < 1 < 9 < 999999999 <0(9) <1(0) <(1) < (2) <⋯< (8)< (9).
Число (9), читается как «девять» в периоде, стоит последней. Оно является самым максимально большим числом в десятичной системе счисления. Больше его чисел не существует. Указанное максимальное число не является природным ограничением. Оно представляет собой ограничение человеческого разума, то есть используемой системы счисления, в данном случае – десятичной.
Казалось бы, по аналогии число (10) должно быть больше (9), но это не так. На самом деле число (10) < (9), так как речь идет о периодических числах. Для большей наглядности числа (10) и (9) сократили до 6 первых значащих цифр и результаты сравнили между собой (
Теперь явно видно, что число (10) меньше числа (9).
Число (9) – является, также, последним целым нечетным числом. После числа (9) чисел не существует, так как десятичная система счисления не имеет алгоритма (короче не умеет) нумеровать числа более (9), поэтому при попытке добавления единицы к числу (9), а именно
(9) + (0)1 = (0)
– число (9) обнуляется, и счисление начинается с начала (0). Кстати, кому нужны числа, которые нельзя описать и привязать к какой-нибудь системе счисления. Их никуда не пристроишь. Они могут возникать в сознании человека, но материализовать их невозможно. Арифметика с ними бессильна. Это равносильно сказочному действию – «Сделай то, не зная что». Наука к таким операциям относится с улыбкой.
Число (9) представляет собой математический феномен, аналогичный земному горизонту: оно визуально доступно, но недостижимо в практическом смысле. Несмотря на то, что его запись может быть непривычной для пользователя, оно является объективным элементом математической реальности.
Число (9) обладает свойством недосягаемости, что делает его уникальным в контексте теории чисел. Оно функционирует как метафора конечной и замкнутой бесконечности, где для периодических чисел четко определены как начальные, так и конечные разряды, оба из которых равны девяти.
Эта концепция имеет глубокие теоретические импликации, особенно в контексте исследования пределов числовых последовательностей и анализа периодических структур. Число (9) иллюстрирует фундаментальное различие между потенциальной бесконечностью, которую можно бесконечно приближаться, но никогда не достичь, и реальной бесконечностью, где определенные свойства и характеристики уже установлены и фиксированы.
Таким образом, число (9) выступает в роли важного концептуального элемента, способствующего углублению нашего понимания математической бесконечности и её различных форм.
Рассмотрим число (9) в контексте его бесконечной последовательности, которая может быть представлена как 999…9. Эта последовательность характеризуется рекурсивным повторением цифры 9, что приводит к созданию бесконечного ряда. Примечательно, что данный бесконечный ряд чисел, несмотря на свою бесконечность, может быть редуцирован до одного единственного числа (9). Это явление можно рассматривать как своего рода математическую «упаковку» бесконечной последовательности в одно число.
В дальнейшем, для удобства анализа и обсуждения, мы будем использовать термин «упакованные числа» для обозначения чисел, обладающих подобной рекурсивной структурой и способных быть представленными в виде бесконечной последовательности своих цифр.
Следствие. Никакой отрезок нельзя разделить на большее чем (9) частей. Поскольку большего числа не существует. Это не ограничение природы, как было сказано выше, это ограничение, к сожалению, человеческого разума, так как не придумали систему счисления, позволяющую записывать числа более (9) в десятичной системе счисления. Но тем, чем владеет математика с лихвой хватает чисел как в науке, так и в быту.
Аналогично следующие открытия для наиболее распространённых систем счисления.
Примем без доказательства, что максимальные числа равны между собой, а именно:
(1)2 = (7)8= (9)10= (F)16,
так как они обозначают одно и тоже число в указанных системах счисления. В этом исследовании неважно, одно ли число или все числа различны.
1.2 структура использованных чисел
Предметом данного исследования являются открытие полного набора целых чисел. Человечество, как оказалось, использует только малую частичку набора целых чисел и даже не подозревает об этом. До настоящего момента такая ситуация математику полностью устраивала и ни в чем её не ограничивала.
Чтобы докопаться до истины, начнем исследование с азов арифметики. Как известно, каждое целое число состоит из разрядов. Так как по умолчанию мы используем десятичную систему счисления, то каждый разряд может принимать только одно значение из следующих цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Например, числа от нуля до девяти, имеют всего один разряд. Скажем одноразрядное число 7, где 7 одновременно является младшим и старшим разрядом. А число 2025 имеет 4 разряда, первая двойка является старшим разрядом, а последняя пятерка – младшим. Количество разрядов обычного ряда целых чисел в арифметике не ограничивается, и оно возрастает по мере увеличения номинала числа.
В нашем исследовании будет всё немножко по-другому. Количество разрядов всех задействованных чисел будет постоянным и равным самому большому числу в используемой системе счисления, то есть (9). Это касается как для самых маленьких чисел, так и для самых больших, а также для конструкции типа n1(n2)n3, в том числе. Напоминаю, что запись (n2) означает, что число n2 в периоде, повторяющееся бесчисленное количество раз, но таким образом, чтобы общее число разрядов было равно (9) – не забывайте, что число девять также находиться в периоде. Количество разрядов всех целых чисел невероятно большое и равно числу (9). Это говорит о том все числа у нас хотя и бесконечные и в то же время они ограничены с двух сторон. Со стороны старших разрядов ограничение было всегда по первому старшему разряду. В нашем случае добавляется ограничение в неведомой ранее дали – по самому младшему разряду. Причем при любых арифметических операциях с целыми числами количество разрядов не меняется и всегда равно (9).
В принципе ограничение разрядов бесконечных целых чисел, произошло из-за использования максимального числа, которое с двух сторон ограничено. В десятичной системе счисления оно равно числу (9). А зачем нам какое-то ограничение, да еще и в бесконечности? Казалось бы, что оно нам на и на фиг не нужно, но именно это ограничение позволяет нам успешно завершить нашу методику, не впадая в бесконечные циклы.
На самом деле введенное разрядное ограничение очень слабое, оно вообще не влияет на процесс оцифровки целых чисел, но представляет возможность выделить начальные старшие разряды и конечные младшие разряды чисел. Это значит, как ни странно, что все использованные бесконечные целые числа имеют и начало, и конец. Короче, нам доступны для исследования и проведения математических операций в равной степени как вершки бесконечного числа, так и его корешки. Что касается серединной части громадного числа, то его обычно упаковывают и представляют в виде бесконечного столба чисел, обозначаемого как (*). Теперь бесконечное число становится условно конечным вида:
где begin представляет собой набор чисел, в таком количестве, чтобы обеспечивалась заданная точность вычислений. Редко применяется в конце некоторое количество чисел, обозначенных как end, для решения специфических задач. На точность вычислений end совсем не влияет.
И наконец бесконечный столбец срединных чисел, обозначаемый как (*) также на точность вычислений не влияет. Как будет показано ниже, мало кого интересует его изменение в процессе арифметических операций, поэтому весь бесконечный столб цифр, обозначается просто звездочкой. Это аналогично появлению комариного укуса на теле слона – слон даже не узнает, что произошло это ужасное событие и не заметит прибавления своего веса от инъекции комара. Никто даже не попытается обработать зудящую ранку слона от комариного укуса и подуть на нее. В бесконечных числах символ «(*)» играет роль укушенного слона. Итак, будем считать, что если у числа внутри имеется набор знаков в виде звездочки в круглых скобках «(*)», то оно бесконечное несмотря на то, что содержит ограниченное количество разрядов.
Мы начнем исследование с пустой структуры целого числа, где во всех бесконечных разрядах (9) первоначально ничего нет. Пустота не является арифметическим объектом, поэтому мы вместо пустоты вставим нули. Полученную структуру целого нулевого числа (0) будем использовать в качестве нулевого элемента, открывающего новый массив для целых чисел.
Формирование новых целых чисел мы будем выполнять следующим образом. Причем новые целые числа у нас будут появляться не из пустоты, а как результат пересчета реальных материальных точек. Для их получения, разобьем любой отрезок s1s2 на бесконечно малые отрезки (