Валерий Федин – Арифметика бесконечностей (страница 5)

Подобным образом получим из очередных точек из сосуда следующие девять чисел для массива {N₁₀}. Параллельно алгоритму мы их можем создать, также, по следующему правилу:

(0)+(0)1 =(0)1; (0)1 +(0)1 =(0)2; (0)2 +(0)1 =(0)3; …; (0)8 +(0)1 =(0)9.

Получаем первое, второе, третье, …, девятое целые числа с размерностью (9) разрядов. И добавляем их в массив {N₁₀}. У них в самом младшем разряде, вместо нуля стоит присвоенная ей по порядку цифра, а остальные разряды нулевые (Таблица 2 – столбцы 1, 2, 3, …, 9).

Из сосуда выбираем следующие 100 точек и преобразуем их таким же образом в цифры

(0)9+(0)1= (0)10; (0)10+(0)1=(0)11; (0)11+(0)1=(0)12; …,

(0)19+(0)1= (0)20; (0)20+(0)1=(0)21; (0)21+(0)1= (0)22; …;

(0)29+(0)1= (0)30; … ; (0)79+(0)1= (0)80; … ; (0)98+(0)1= (0)99.

Получаем десятое, одиннадцатое, двенадцатое и так до девяносто девятое целые числа с размерностью (9) разрядов. И присоединяем их к общему массиву целых чисел {N₁₀}. У этих цифр уже в двух младших разрядах ноли сменились на присвоенные алгоритмом числа. (Таблица 2 – столбцы от 10 до 99).

Таким же образом из сосуда вынимаем уже 1000 точек и преобразуем в цифры

(0)99+(0)1=(0)100; … ; (0)998+(0)1=(0)999.

И присоединяем их к общему массиву чисел. У этих цифр уже в трех младших разрядах стоят вычисленные алгоритмом цифры. (Таблица 2 – столбцы от 100 до 999).

Таким же образом из сосуда вынимаем уже 10000 и преобразуем в цифры

(0)999+(0)1=(0)1000; … ; (0)4999+(0)1=(0)5000; … (0)9998+(0)1=(0)9999.

У этих цифр уже в четырех младших разрядах стоят требующиеся цифры.( Таблица 2 – два последних столбца)

Из данного построения видно, что количество нулевых старших разрядов уменьшается по мере возрастания цифрового номинала числа, правда скачкообразно.

Таблица 2 Начало заполнения массива целых чисел {N₁₀}

Чтобы сделать более визуальным процесс формирования массива целых чисел {N₁₀}, нам пришлось опустить громадное количество операций, заменив их многоточиями, и отразить только те операции, которые отражают важные переходные или спорные моменты. Человеческих жизней не хватит, чтобы пунктуально включить все выполняющие операции, кроме того, все они только затемнят процесс формирования массива целых чисел {N₁₀}, а также размажут истинную картину до неузнаваемости.

Применяя описанную процедуру бесчисленное количество раз, мы должны найти такое число, у которого во всех младших разрядах стояли бы девятки, кроме одного старшего разряда, который должен быть равен нулю, в таблице, указанное число находится внутри овала (Таблица 3). Оно стоит в данной таблице самым последним. Это число записывается так 0(9). При выполнении всех вышеуказанных операционных действий, выполняемых практически автоматически, мы внимательно следили за тем, чтобы случайно не проскочить этот ответственный переходный момент. Как будет показано ниже, после этого числа, а именно со следующего числа 0(9)+(0)1 начинается настоящее путешествие в мир бесконечных целых чисел, с которыми еще не знакомо человечество. И мы с вами, немножко позже, должны успешно в него зайти и попробовать с ним поработать.

И на этом пока остановим на немного процесс формирования массива целых чисел {N₁₀}. Этот проведенный и остановленный период алгоритма назовем 1 этапом. Мы остановили алгоритмический процесс, для того чтобы оценить и изучить важные промежуточные результаты, которые получились в процессе этого этапа. Одним из важных результатов является содержание (Таблица 3), являющейся продолжением (Таблица 2) при функционировании алгоритма до временной остановки. Диагональная линия в таблице на самом деле является ломаной ступенчатой возрастающей линией с кратностью ступенек кратно десяти ( определяется системой исчисления). Ступеньки сгладились из-за принятого огромного внутреннего уменьшительного масштабирования таблицы.

Таблица 3 Массив целых чисел 1 этапа

Итак, в течение 1 этапа активности алгоритма, всего из сосуда (Рисунок 6) были изъяты и «выброшены» в мусорную урну, правда с заменой их на целые числа в массиве {N₁₀}, следующее количество точек:

от числа (0) до числа 0(9) ⇒ 0(9) + (0)1 – (0) = 1(0).

Но сосуд после первого этапа активного использования алгоритма не очень «обеднел», так как в нем ещё осталось громадное количество непереработанных точек, то есть

9(9) – 1(0) = 8(9).

Как оказалось, в сосуде осталось на много больше точек, чем требовалось для первого этапа.

1(0) ≪ 8(9).

Число 8(9) – невообразимо большое число. Если материализовать все оставшиеся точки, находящиеся в сосуде (Рисунок 6), то они плотно заполнят всю солнечную систему до самых дальних окраин. Но самое удивительное в том, что в сосуде останется точек ещё на миллиард подобных солнечных систем. И это еще не предел для такого числа, как 8(9) – оно же бесконечное!

Сосуд (Рисунок 6) является, как бы, сказочным прообразом «волшебного горшочка», он хоть у нас на рисунке очень маленький, как в известной сказке, но вместительные возможности у него сказочно безмерные. Мы циклически из сосуда вынимали и далее будем вынимать необходимое количество точек. И обрабатывать их с помощью своего доморощенного алгоритма до тех пор, пока не достигнем последней точки. Несмотря на то, что количество точек у нас громадно, оно конечно и определяется только величиной крохотного числа (0)1, зависящего исключительно от системы счисления (по умолчанию – десятичная). Мы в начале алгоритма 1 этапа нашли начальную точку, как первую случайно попавшуюся алгоритму, а в конце 2 этапа найдем и оставшуюся конечную точку. Да будет нелегко, но это в наших с Вами силах. Напоминаю, хотя у нас все числа бесконечные – они все имеют начало и конец, так как их длина ограничена недостижимым числом (9). А вот серединой числа, мы часто пренебрегаем, как несущественной частью. Конечно, достичь конца бесконечного числа невозможно, поэтому мы пользуемся концом очень условно – он же у нас есть.

Так что алгоритму еще придётся во 2 этапе работать и работать!

Но пока подведём итоги первого этапа.

Во-первых, выше представленную таблицу (Таблица 3) сокращенно можно записать в виде массива целых чисел следующим образом:

{N₁₀¹} = {(0), (0)1, (0)2, (0)3, … ,(0)9, … ,(0)99, … ,(0)999, … ,0(9), …}

Сразу же возникает вопрос: как описать бесконечный набор чисел зависящего от самих чисел, полученных алгоритмом в течение 1 этапа. Как из разрозненных цифр создать понятный многогранный образ, воспроизводящий природную сущность массива целых чисел. Он должен быть кратким, отражать характерные моменты работы и динамику алгоритма, иметь начальный (0) и конечный элемент 0(9). Ну и, конечно же, был понятным по написанию? Автор считает, что именно примененный набор чисел наглядно демонстрирует работу алгоритма. Все остальные бесконечные числа, не вошедшие в форму (15), заменены многоточиями, поэтому массив {N₁₀¹} содержит все найденные бесконечные элементы на этом этапе.

Итак, {N₁₀¹} является множеством всех целых чисел, полученных алгоритмом в течение 1 этапа. Как было подсчитано ранее их число равно 1(0). Нижний индекс 10 означает, что алгоритм использует десятичную систему счисления, а верхний индекс 1 означает, что данные относятся к первому этапу алгоритма.

Массив целых чисел {N₁₀¹} представлен не полностью, поэтому в конце у него стоит многоточие (15), требующее продолжение процесса. Массив {N₁₀¹} будет дополнен окончательно после выполнения следующего второго этапа данного алгоритма.

С арифметической точки зрения сущностью и величиной каждого бесконечного целого числа, является его порядковый номер в таблице (Таблица 3) и больше ничего. Но в течение тысячелетий небезызвестная «наука» нумерология исправно поработала с самими числами и добавила многим из них еще магические свойства, связав их невероятным образом с действительными процессами. Что самое удивительное, его Величество «народ» принял это к сведению и многие его индивидуалы пользуются ими постоянно. Чистая наука пренебрегает магическими свойствами всех чисел, поэтому мы проскочим галопом мимо мистических свойств таких чисел как 7, 13, 666 и многих других подобных, считая их обычными числами без всяких заморочек. Правда, здесь мы входим в маленькое противоречие с великим Пифагором, но чистота науки всё-таки прежде всего. Всё «мистическое» и «волшебное» должно быть выброшено на свалку истории, чтобы перебежавшие через дорогу черные кошки не смогли помешать процветанию ни нашей, ни мировой истории, а, также, исказить наше мнение о числах. Эти мизерные и кратковременные моменты нашего бытия не способны изменить курс истории назад в наскучившее прошлое.

Во-вторых. Полученный алгоритмом в первом этапе массив чисел {N₁₀¹} представляет собой упорядоченный массив целых чисел от 0(0) до 0(9).Что характерно, что все находящиеся в нем цифры от «мала до велика» не являются бесконечными числами, хотя они могут быть очень большими. Все возникающие вопросы по этому поводу будут критически рассмотрены в конце исследования.

Например, среди них должно быть число зерен на шахматной доске.

2⁶⁴-1 = 18 446 744 073 709 551 615

– предложенное к оплате наивному шаху, не владеющему азами арифметики. Там не может не быть числа снежинок, которые выпали на Землю за всё время существования человечества и восхищающих всех живых созданий и побуждающие к ритмическим жестам. Да оно большое, но не бесконечное.