Валерий Федин – Арифметика бесконечностей (страница 4)

Итак, нам дан любой отрезок s1s2 (Рисунок 5) на какой-нибудь оси x.

Рисунок 5 отрезок s1s2

Координаты точек s1 и s2 выбраны произвольным образом. Отрезок s1s2 разбили на максимальное количество частей, а именно на (9) крошечных кусочков, конечно только в математике возможна такая ювелирная точность. Теперь координату s1 можно записать как s1(0). А координату точки s2 можно рассматривать двояко – с правой стороны как s2.(0), где в дробной части стоит ноль в периоде, в то же время, с левой стороны, это же число можно представить как s1.(9), где в дробной части имеется девятка в периоде. Математика утверждает, что они равны, а именно

s2 = s1.(9) =s2.(0).

А разность s1(9) – s1(0) = (9), говорит о том, что мы действительно разбили отрезок на (9) равных частей.

В данном исследовании мы откажемся от вышеуказанного утверждения и будем считать, что числа s1.(9) и s2.(0) разные, т.е.

s1.(9) ≠ s2.(0).

Модуль разности между этими числами |s1.(9) – s2.(0)| обозначим через 1_с, а именно

|s1.(9) – s2.(0)| = 1_с.

Тот факт, что 1_c реально существует, как математический объект, определим его Аксиомой 1.

1.2.1 аксиома

Существует бесконечно малое неделимое целое число 1_c не равное нулю и равное

1_с = |s1.(9) – s2.(0)| = const ≠ 0.

Я взял на себя смелость единицу 1_с сделать константой. Я не буду это доказывать, но в данном исследовании она везде будет выступать как неделимая константа и не иначе. Этот факт примем как данный «по наитию».

Полученную разность 1_с можно называть по-разному. Например

– бесконечно малое целое число, размерностью (9). 1_с представляет собой такую малую неделимую величину, у которой во всех старших разрядах стоит нуль и где-то в недостижимой далекой бесконечности последней стоит одна единственная единица в самом младшем разряде. Схематично, это можно представить как 1_с = (0)1. Она неделимая и меньше её целого числа в природе не существует, конечно, кроме пустого числа, содержащего во всех разрядах только нули (0). Размерность, как мы уже договорились, для всех целых чисел равно (9) и для (0) в том числе. Можно сказать, что число 1_с является атомом целых чисел. Нижний индекс «c» – указывает на принадлежность этой единицы к множеству целых чисел (constant). Это первое целое число, с которого начинается данное исследование. Оно обозначается через единицу не случайно, как мы увидим далее, именно 1_с переводит каждое предыдущее целое число в последующее и наоборот, методом прибавления этой единицы или ее вычитания. Поэтому вместо 1_с мы будем использовать обычную единицу (9)-мерную, т.е. 1_с = (0)1.

– единичным квантом целых чисел. Так как с его помощью можно любой отрезок непрерывной линии x разбить на отрезки с длиной 1_с и далее сколлапсировать полученные единичные отрезки в массив безразмерных точек. Чтобы ничего не потерять мы их сложим в материальный сосуд (Рисунок 6). [Для справки: коллапс – это мгновенное взрывное сжатие объекта внутрь- превращение отрезка в точку.]. Конечно, можно было бы далее работать с единичными отрезками, но автор посчитал, что более красивой будет работа с массивом безразмерных точек в качестве материального носителя единицы измерения. Многие могут придраться к сочетаниям материальная точка, материальный сосуд, которые витают в голове автора. Но раз я их нарисовал, значит я их материализовал, хотя очень схематично и проблематично. Сейчас техника достигла таких вершин, что любое нарисованное или по рукописному наброску «изваяние» можно быстро воплотить в реальное материальное изделие, которое уже можно будет не только увидеть, а даже потрогать и оценить со всех сторон, так что в объективности материальных точек с сосудом можете не сомневаться.

Все эти точки безымянные и обезличенные с практически нулевой размерностью. Все они абсолютно одинаковые и ничем не отличаются друг от друга. А также, никаким образом не связаны между собой. Ничего не мешает их перетасовать, перемешать, или разбросать в разные стороны без всякой закономерности, или просто свалять в любой бесформенный клубок без логической аргументации – короче говоря создать случайный точечный беспорядок {x} из массива полученных точек. Такое бессистемное неупорядоченное множество точек {x} находится в изображенном сосуде (Рисунок 6).

В результате вышеуказанного деления отрезка s1s2 на непрерывной оси x в неупорядоченное множество точек {x} ничего не было потеряно и ничего лишнего не могло появиться. Только бесконечно малой величиной, такой как квантовая единица 1_с, удается разбить любой участок непрерывной линии на условно бесконечное множество точек {x} без информативных потерь. Этот метод разбиения является новым использованием метода бесконечно малых величин в математике. Почему загрузили в сосуд условно бесконечное множество точек, а не конечное количество точек, да потому что деление проводилось на (9) частей, где (9) есть недосягаемое число.

Это справедливо также для любых кривых, не замкнутых отрезков и не имеющих внутри точек пересечения сами с собой. К тому же коллапс кривых отрезков в точки ликвидирует разницу между прямыми и кривыми отрезками.

На самом деле, точки невидимы и неотличимы между собой, но ради наглядности рисунка мы значительно увеличили их размеры и условно уменьшили их количество, чтобы они поместились в наш воображаемый сосуд, конечно же в «полном» составе и представлены как россыпь математических неслипающихся точек.

Рисунок 6 Сосуд с множеством точек {x}

Какие наши дальнейшие действия. Мы будем создавать массив целых чисел {N₁₀}, с размерностью каждого числа = (9), используя, как источник, множество точек {x}. Первоначально массив {N₁₀} – пустой. Иначе, {N₁₀} = . Мы введем правило, которое преобразует множество точек {x} в массив целых чисел {N₁₀}, а именно , где индекс 10 означает, что число формируется с помощью десятичной системы счисления. Для других систем счисления все будет аналогично. Короче, сколько точек множества {x} в сосуде, столько должно быть чисел в массиве чисел {N₁₀} – не меньше и не больше. Чтобы не придумывать имя каждому числу мы пронумеруем каждую точку с помощью указанных выше систем счисления и этот номер присвоим в качестве имени нового числа.

Этот номер становится именем следующего нового числа и добавляем его к создающемуся массиву целых чисел {N₁₀}. Короче говоря, вместо точки из сосуда формируем число для массива чисел с размерностью разрядов = (9), а использованную точку выбрасываем в урну, чтобы второй раз она нам на глаза не попадалась. Больше она нам не пригодится. Она выполнила свою присутствующую роль. Дальше мы будем работать только с массивом из целых чисел {N₁₀}, содержащего числа только размерностью (9). Напоминаю, все числа первоначально имеют одинаковую максимальную размерностью = (9) и не изменяют свою размерность в процессе формирования массива целых чисел {N₁₀} в течении работы алгоритма на 1 и 2 этапах .

В принципе можно было бы не считать сколько точек содержит множество {x}, оно и так известно. Так как мы использовали отрезок от s1.(0) до s1.(9), то количество единичных отрезков, конечно же, будет ровно (9) штук. Нам, честно говоря, важно не количество точек в сосуде. Нам важна какая форма массива целых чисел {N₁₀}, которая получится после выполнения данной методики.

Я понял, вы думаете я сумасшедший, собирающийся объять необъятное, т.е. пересчитать все числа арифметики. «Это же невозможно!!! Никто Вам не поверит!!!» – прокричит каждый обыватель, окончивший хотя бы среднюю школу. Ведь никакого времени не хватит, чтобы пересчитать и обработать бесконечное количество точек равное (9).

Да нет! Уже время пришло для этого события, и мы с вами просто обязаны это сделать! Пора начинать наводить порядок в бесхозной бесконечности и как оказалось – это в наших с вами силах. Так давайте начнем, чем чёрт не шутит! Я уже знаю, что у нас всё получится! Главное, не волнуйтесь – всё будет хорошо. Мы с вами осторожненько проскочим через все острые углы массива целых чисел, с помощью разработанного мною алгоритма, не повредив при этом свою и вашу нервную систему. При этом, надо быть очень внимательным, чтобы в спешке не растерять, замеченные уникальные точки.

Переходим к построению формы массива всех целых чисел. Для начала исследования определимся с нулевым элементом множества {x} из сосуда (Рисунок 6). Так как все точки равноценные, каждая из них может быть как нулевой, срединной, так и конечной точкой. Мы можем выбрать любую точку за нуль, плотно закрыв глаза и предоставив выбор делу случая, при этом никаких ограничений на выбор нуля не накладывается. «Ноль – он и в Африке ноль», – как заметил какой-то умный электрик, правда, имел в виду совсем другой ноль – свой электрический.

Поэтому, из-за того, что все точки равноправные и неразличимы между собой, за нулевую точку принимаем первую попавшуюся наугад точку и обозначаем ее как 0 (нуль). Нулевая точка, по умолчанию, является началом всех начал для всех упомянутых систем счисления. Нулевую точку мы трансформируем в нулевое число, являющееся началом массива целых чисел {N₁₀} . Все (9) разрядов у него нулевые и, конечно же, и самый младший разряд. Обозначим полученное нулевое целое число как (0) (Таблица 2– нулевой столбец, где все разряды числа нулевые). Выбрасываем использованную нулевую точку в мусорную корзину и достаем следующую точку из сосуда (Рисунок 6).