Ведя речь о геометрии пространства-времени, единицы измерения зачастую выбирают так, чтобы скорость света в точности равнялась 1; к примеру, мы могли бы измерять время в годах, в расстояние – в световых годах. Если изобразить пространственно-временную диаграмму с учетом такой системы единиц, то окажется, что мировая линия тела, движущегося со скоростью света, будет всегда располагаться под углом 45⁰ к вертикали. На рисунке выше этот предел отмечен световым конусом. А поскольку обычные тела всегда движутся с досветовой скоростью, именно внутри светового конуса и должны находиться разрешенные мировые линии.
Условие нахождения внутри светового конуса можно выразить через четверку координат (x,y,z,t), характеризующих произвольную точку мировой линии. Поскольку x2+y2+z2есть не что иное, как квадрат полного пространственного расстояния от начала координат (в силу трехмерного аналога теоремы Пифагора), то в случае тела, движущегося с досветовой скоростью (которая при нашем выборе единиц равна 1), величина x2+y2+z2должна быть меньше квадрата прошедшего времени, t2. В математической записи:
Слегка переставив слагаемые, мы можем привести это неравенство к виду:
Каждая из пространственных координат x, y, z входит в это неравенство со знаком плюс, в то время как перед единственной координатой времени t стоит знак минус. Таким образом, при переходе во вселенную с двумя измерениями пространства x, y и двумя измерениями времени t, u следует ожидать, что в аналогичном выражении будет два знака плюс и два знака минус:
Опустив одну из пространственных координат, y, допустимые мировые линии во вселенной «Дихронавтов» можно изобразить на трехмерном рисунке (см. ниже). В данном случае мировые линии не заключены внутри конуса с осью t, а находятся вне конуса с осью x. (Эта картина была бы полной, если бы речь шла о вселенной с единственной размерностью пространства, однако нам следует помнить о том, что в действительности у пространства есть и второе, не показанное на рисунке, измерение y. В четырех измерениях между разрешенными и запрещенными областями мировых линий имеет место идеальная симметрия.)
Так или иначе, приведенная выше диаграмма ясно показывает нам, что если мировые линии тел, движущихся вдоль оси x, по-прежнему не могут быть наклонены к оси t под углом больше 45⁰, то в случае тел, движущихся вдоль оси u, этот угол ничем не ограничен. Другими словами, в направлении оси u предела скоростей не существует! То же самое будет верно и для любого другого направления, расположенного ближе к u, чем к x.
Таким образом, понятие истории объекта как линейной последовательности событий – иначе говоря, его мировой линии – имеет смысл и во вселенной с двумя измерениями времени. Главное отличие касается тел, движущихся с большими скоростями, – знакомый нам верхний предел скоростей теперь действует далеко не во всех направлениях, что, в свою очередь, расширяет множество разрешенных мировых линий.
Геометрия и повороты в пространстве «Дихронавтов»
Хотя разнообразие мировых линий играет важную роль для тел, движущихся со сверхвысокими скоростями, скорость большинства предметов, с которыми мы сталкиваемся в повседневной жизни, составляет лишь крошечную долю скорости света. По сути это означает, что все подобные объекты, как и мы сами, обладают практически параллельными мировыми линиями. Мы можем принять направление вдоль нашей собственной мировой линии за пространственно-временную ось времени, и другие люди – мировые линии которых почти параллельны нашей собственной – будут в общем и целом согласны с таким выбором.
После того, как одно из направлений выбрано в качестве оси времени, все перпендикулярные ему прямые будут восприниматься как направления в пространстве. В нашей Вселенной мы получаем три пространственных измерения с абсолютно одинаковым поведением – между x, y и z нет никаких фундаментальных отличий.
Если же мы зафиксируем переменную t в качестве оси времени во вселенной «Дихронавтов», то в итоге получим набор из трех «пространственных измерений» x, y, u, между которыми существует принципиальное разница, ведь u, в отличие от x и y, представляет собой направление, вдоль которого может двигаться потенциальная мировая линия. А значит, несмотря на то, что пространство «Дихронавтов» также включает в себя три измерения, ожидать, что его геометрия будет совпадать с привычной нам геометрией евклидова пространства, нельзя.
Правило, которому мы следовали выше, переходя от формулы, описывающей разрешенные мировые линии в нашей Вселенной, к аналогичной формуле для мира «Дихронавтов», заключалось в замене z2 на u2. В евклидовом пространстве x2+y2+z2 есть не что иное, как квадрат расстояния между началом координат и точкой (x,y,z). Это дает нам основание предположить, что в трехмерном пространстве с двумя «пространственноподобными» измерениями x, y и одним «времениподобным» измерением u величина x2 + y2 — u2 будет каким-то образом описывать расстояние между началом координат и точкой (x, y, u).
Если величина x2 + y2 — u2 положительна, мы можем трактовать ее как квадрат расстояния от начала координат. Но как быть, если она отрицательна? В этом случае нам придется использовать в качестве расстояния квадратный корень противоположной величины, u2 — x2 — y2.
Это может показаться странным, но вывод, сделанный в предыдущем абзаце, по сути говорит нам о том, что в данной геометрии существует два принципиально разных вида «расстояний» – те, для которых x2 + y2 — u2 положительно, и те, для которых эта величина отрицательна. Впрочем, особого сюрприза в этом нет, поскольку именно расстояния второго рода наблюдаются при движении вдоль потенциальной мировой линии. Хотя наш выбор координат закрепляет направление мировой линии за переменной t, а большая часть окружающих людей и предметов, согласно нашему допущению, характеризуются мировыми линиями, сориентированными примерно в одном и том же направлении, сам факт, что некоторые из «пространственных» направлений – перпендикулярных оси t – могут выступать в качестве направлений мировых линий, в то время как другие – нет, уже оказывается достаточным для того, чтобы свойства векторов, относящихся к этим двум видам, качественно отличались друг от друга.
Собственно говоря, есть и третий случай – направления, для которых x2 + y2 — u2 в точности равно нулю. В евклидовом пространстве x2 + y2 + z2 обращается в нуль только при условии, что нулю равны и x, и y, и z – то есть лишь в начале координат (0, 0, 0). Выражение x2 + y2 — u2, с другой стороны, обращается в нуль на поверхности целого конуса.
На рисунке ниже изображены все три типа поверхностей, точки которых равноудалены от начала координат. Красная, похожая на песочные часы, поверхность, соответствует положительным значениям . Две зеленых, чашеобразных поверхности описывают случай x2 + y2 — u2 < 0. А пара расположенных между ними синих конусов служат решением уравнения x2 + y2 — u2 = 0. (Поскольку все три поверхности полупрозрачны, конусы выглядят синими только в тех местах, где на них не накладываются другие поверхности.)
В математике красную поверхность принято называть однополостным гиперболоидом, а пару зеленых поверхностей – соответственно двуполостным гиперболоидом.
Описав новый способ измерения расстояний в нашей геометрии, можно задаться вопросом: что именно, с практической точки зрения, означает утверждение о равноудаленности точек каждой из этих поверхностей от начала координат. Говоря о вращении какого-либо предмета – раскручивании шара, взмахе палкой и вообще о повороте произвольного твердого тела – мы имеем в виду, что почти все точки затронутого предмета меняют свое положение, при том, что расстояния между этими точками остаются неизменными. Другими словами, объект при движении сохраняет жесткость – не сжимается и не растягивается.
Если мы взмахнем палкой, которая зафиксирована с одной стороны, то ее свободный конец всегда будет лежат на поверхности, равноудаленной от неподвижной точки – и в случае геометрии Евклида имеющей форму сферы. Таким образом, новые поверхности показывают нам, где мог бы оказаться свободный конец палки, если бы мы попытались проделать то же самое в геометрии «Дихронавтов».
Когда мы делаем взмах в пространстве «Дихронавтов», длина палки (по определению) остается постоянной, однако ее протяженность в конкретном направлении может расти без каких-либо ограничений! Например, если палка изначально имеет длину 5 и расположена вдоль оси u, мы можем повернуть ее так, чтобы свободный конец оказался в точке x=12, y=0, u=13, поскольку и в том, и в другом случае x2 + y2 — u2 = -25. Если палка изначально имеет длину 5 и параллельна оси x, то мы аналогичным образом можем привести ее свободный конец в положение x=0, y=13, u=12, поскольку x2 + y2 — u2 в обоих случаях равно 25. Но несмотря на то, что отдельные координаты могут принимать сколь угодно большие значения, связывающее их соотношение не позволяет повернуть первую палку так, чтобы ее положение совпало с одним из возможных положений второй, и наоборот.
При повороте тела в двух измерениях его поведение будет зависеть от того, являются ли оба измерения «пространственноподобными», как, например, x и y, или же парой «пространственноподобного» и «времениподобного» – как x и u. В первом случае результат будет выглядеть точно так же, как поворот в евклидовом прстранстве. Во втором – линии, равноудаленные от центра вращения будут иметь форму не окружностей, а гипербол, и протяженность тела вдоль одной из одной из осей может меняться в бесконечных пределах.
