Грег Иган – Дихронавты (страница 65)

О геометрии

События романа разворачиваются во вселенной, где привычная нам комбинация из трех измерений пространства и одного измерения времени заменена двумя измерениями пространства и двумя – времени. Вместо 3 + 1 мы имеем 2 + 2.

Каково это – жить в мире с двумя измерениями времени? Это вовсе не означает, что время становится двумерным в восприятии любого наблюдателя. Сознание Сэта линейно, и история в его понимании не размазана по двумерной плоскости, а представляет собой цепочку следующих друг за другом событий. Наличие второго временного измерения увеличивает множество направлений в пространстве-времени, которые в потенциале могут оказаться чьими-то стрелами времени – однако каждая из таких стрел и здесь указывает в единственном направлении.

Три оси, перпендикулярных стреле времени наблюдателя, составляют воспринимаемое им «пространство» – и именно здесь самым очевидным образом провляются отличия между 3+1 и 2+2. «Простанство» размерности 2+1 напоминает урезанную версию полного (3+1)-мерного пространства-времени нашей Вселенной, с той разницей, что экзотические эффекты, с которыми мы сталкиваемся лишь в релятивистской физике, теперь могут наблюдаться и в поведении самых обычных предметов.

Так, измеряемая Сэтом длина подчиняется модифицированной теореме Пифагора, утверждающей, что квадрат полного расстояния равен сумме квадратов двух обычных расстояний (таких, как восток-запад и верх-низ) за вычетом квадрата расстояния по оси север-юг, которое в исходной версии фигурирует со знаком плюс. Если результат окаывается положительным, то он представляет собой квадрат обычного расстояния. Если отрицательным – то интерпретируется, как величина, противоположная квадрату «осевого» расстояния, т. е. расстояния, квадрат которого в подобных расчетах всегда используется со знаком минус, как и расстояние, измеренное вдоль самой оси север-юг.

Аналогичное правило разграничивает понятия «пространственноподобных» и «времениподобных» интервалов между событиями в нашей собственной, (3+1)-мерной Вселенной. О событиях, которые происходят в один и тот же момент, но в разных местах, говорят, что они разделены пространственноподобным интервалом, в то время как события, происходящие в одном и том же месте, но в разное время, разделяются интервалом времениподобного типа. Можно задаться вопросом, не стирается ли грань между этими понятиями, если задать уточняющий вопрос: «Одно и то же место/время относительно кого?» Но если допустить, что мы не можем двигаться быстрее света, то в моем восприятии ваши местоположения в полдень и час дня никогда не окажутся двумя разными точками в один и тот же момент времени – причем этот факт никак не зависит от нашего с вами характера движения.

Аналогичный запрет, действующий в (2+1)-мерном пространстве, заключается в том, что объект, расположенный вдоль осевого направления, нельзя повернуть так, чтобы он оказался параллельным одному из обычных направлений, и наоборот. Если палка изначально обращена строго на север, то при повороте на восток расстояния, которые она охватывает по осям север-юг и восток-запад, будут увеличиваться, но разность их квадратов останется постоянной величиной. Например, конкретные длины могут в один момент составлять пять метров по оси север-юг и ноль по оси восток-запад, а в другой – тринадцать метров по оси север-юг и двенадцать метров по оси восток-запад, поскольку тринадцать в квадрате минус двенадцать в квадрате равно квадрату пяти. Если это кажется вам странным, сопоставьте эту ситуацию с примером из нашего мира, где пятиметровая палка может иметь протяженность в три метра по оси север-юг и четыре метра по оси восток-запад, так как три в квадрате плюс четыре в квадрате равно квадрату пяти. Это обычная теорема Пифагора, в которой разность заменена на привычную нам сумму квадратов. В мире же Сэта протяженность палки по оси север-юг всегда будет больше протяженности по оси восток-запад, так что ее никогда не удастся развернуть строго на восток.

Что, если палка изначально указывает на восток? Восток-запад – одно из обычных измерений, а значит, такую палку можно развернуть под прямым углом к ее исходному положению – скажем, направив вертикально вверх. Однако любая попытка повернуть ее на север или юг должна, как и раньше, следовать правилу, постулирующему постоянство разности квадратов, а значит, палка всегда будет обращена больше к востоку/западу, нежели к северу или югу.

Если мы дадим стержню свободно вращаться, зафиксировав один из его концов, то в нашей Вселенной другой его конец опишет сферу. Во вселенной романа аналогичный стержень опишет либо однополостный гиперболоид – бесконечную седловидную поверхность, обернутую вокруг оси север-юг, либо бесконечный гиперболоид в форме чаши, обращенной к северу или югу.

Между этими гиперболоидами располагается пара конусов, обращенных на север и юг – это поверхности, в пределах которых разность квадратов расстояний от центра вращения равна нулю. Внутри конусов эта разность всегда отрицательна.

Природа света в нашей собственной Вселенной – а по аналогии и явления, которое мы называем светом в мире «Дихронавтов» – такова, что любой отрезок его мировой линии в полном, четырехмерном пространстве-времени характеризуется нулевой разностью квадратов. Если бы в (2+1)-мерном пространстве луч света мог двигаться по траектории с отрицательной разностью квадратов, то для получения итоговой характеристики его мировой линии нам пришлось бы вычесть из нее еще один квадрат (а именно квадрат пройденного времени)…, что в результате никогда не дало бы нуль. Другими словами, внутри конусов не может распространяться свет, и в этих направлениях, как следствие, не работает (световое) зрение.

С другой стороны, как внутри, так и снаружи этих «темновых конусов» могут двигаться материальные объекты, а также колебания материальной среды. Правило, относящееся к мировым линиям материальных объектов, требует, чтобы разность квадратов была меньше нуля: это условие явно выполняется, когда предмет стоит на месте: в этом случае мы имеем разность между нулевым изменением координат и квадратом пройденного времени. Отрицательной эта величина будет и для любой траектории, расположенной внутри темновых конусов.

Снаружи темновых конусов траектории в пространстве характеризуются положительной разностью квадратов. Для того, чтобы полная разность в пространстве-времени стала отрицательной, время движения объекта должно быть больше длины его траектории. Другими словами, скорость объекта должна быть меньше 1, в системе мер, где скорость света равняется 1. Таким образом, в обычных направлениях движение со сверхсветовой скоростью невозможно точно так же, как и в нашей Вселенной – при том, что внутри темновых конусов, где невозможно распространение света, скорость никак не ограничена.

Дополнительные материалы к роману можно найти на сайте www.gregegan.net.

Приложение

Дважды плюс, дважды минус. Знакомство с физикой «Дихронавтов»

Окружающая нас четырехмерная Вселенная содержит три измерения пространства и одно измерение времени. Но каково было бы жить в мире, где эти роли распределены поровну – так что и пространство, и время содержат ровно по две размерности?

Может показаться, что при наличии двух размерностей времени история любых частиц и существ перестанет быть линейной и приобретет некий плоскостный аспект. В действительности же нет никаких причин, которые бы мешали телам двигаться по одномерным мировым линиям, подобно тому, как это имеет место в нашей Вселенной. Разница, проистекающая из двумерного характера времени, состоит в том, что теперь через заданную точку пространства могут проходить новые, запрещенные в нашей Вселенной, мировые линии.

Стоит нам выбрать конкретную мировую линию в качестве нашей индивидуальной линии времени, как оказывается, что перпендикулярное ей трехмерное пространство подчиняется довольно своеобразной геометрии, где роль, отведенную в нашей Вселенной окружностям и сферам, играют гиперболы и гиперболоиды, свет может двигаться лишь в строго определенных направлениях, а некоторые реки текут вверх. И это лишь некоторые из странных явлений, которые можно обнаружить в мире «Дихронавтов».

Мировые линии в пространстве «Дихронавтов»

Мировая линия – это кривая, которую с течением времени образуют координаты тела, принимаемого за идеализированную материальную точку. Точки самой мировой линии, однако же, отражают не только положение тела в пространстве, а описываются четырьмя координатами – включая момент времени, к которому тело достигает местоположения, заданного остальными тремя числами. Представить нечто подобное в четырех измерениях непросто, но если мы уберем одно из пространственных измерений, то сможем без труда изобразить мировые линии в получившемся трехмерном пространстве, как показано на следующем рисунке.

Время на таких пространственно-временных диаграммах обычно изображается в виде вертикальной оси. Таким образом, мировая линия неподвижного объекта будет иметь вид вертикальной прямой, в то время как для объекта, находящегося в состоянии равномерного и прямолинейного движения эта прямая будет отклоняться от вертикали под некоторым углом, а положение объекта при перемещении вверх по мировой линии – т. е. вперед во времени – будет меняться с постоянной скоростью.