Грег Иган – Дихронавты (страница 68)

Другим следствие этой же геометрии является тот факт, что величина (x₁—x₂)^2 + (y₁—y₂)^2 — (u₁—u₂)^2 может быть крайне мала даже для двух частиц с совершенно разными координатами (x₁,y₁,u₁) и (x₂,y₂,u₂). Сила любого взаимодействия будет, как минимум отчасти, зависеть от этой величины. А значит, взаимодействия между частицами, находящимися на большом расстоянии с точки зрения индивидуальных координат, но при этом остающимися в окрестностях конусов друг друга, будут способствовать связыванию системы в единое целое, поэтому результат даже при низкой плотности вещества будет напоминать, скорее, жидкость, нежели газ.

Таким образом, материя «Дихронавтов», согласно нашим ожиданиям, может находиться в одном из трех агрегатных состояний: твердом, жидком и – если температура достаточно высока, либо плотность вещества достаточно мала, чтобы сила взаимодействия не смогла удержать частицы вместе – крайне нестабильной конфигурации, при которой скорости всех частиц находятся вблизи конуса. Последнее состояние мы будем называть «конической плазмой».

Мир «Дихронавтов»

Оригинал статьи:http://gregegan.net/DICHRONAUTS/01/World.html

Физика и геометрия вселенной «Дихронавтов», четыре измерения которой поровну делятся между временем и пространством, следуют довольно странным законам, с которыми читатель может познакомиться во вводной статье выше. Здесь же мы попытаемся в общих чертах описать мир, который мог бы существовать в такой вселенной. Мы намеренно не называем его «планетой», поскольку это слово имеет слишком много ассоциаций, относящихся к нашему собственному миру.

Далее мы будем обозначать три пространственных измерения буквами x, y, u, где координаты x, y соответствуют обычным, «пространственноподобным» измерениям, а u играет роль «времениподобной» оси. Это не означает, что u совпадает с координатой времени, которую мы обозначаем буквой t, а лишь выражает тот факт, что u может выступать в качестве переменной времени для другого наблюдателя, движение которого существенно отличается от нашего. Помимо прочего, «времениподобность» u означает, что квадрат трехмерного расстояния между точками (0, 0, 0) и (x, y, u) равен x2 + y2 – u2, либо противоположной величине u2 – x2 – y2, в зависимости от того, какая из них положительна. Более детальное объяснение этих понятий приводится во вводной статье.

Гравитация и форма мира

В нашей Вселенной крупный объект – будь то звезда или планета – под действием гравитации принимает форму, близкую к шарообразной. В случае идеального тела, обладающего точной сферической симметрией, сила тяготения всегда направлена к центру шара, а гравитационный потенциал одинаков во всех точках поверхности. Такая конфигурация является устойчивой – во всяком случае, до тех пор, пока внутренняя часть тела достаточна прочна, чтобы выдержать вес его внешних слоев.

Во вселенной «Дихронавтов» аналогом сферической поверхности служит гиперболоид. Эта поверхность имеет две разновидности, которые называются однополостным и двуполостным гиперболоидами (соответственно красный и зеленый на рисунке ниже). Первая напоминает бесконечную колбу песочных часов; вторая – пару бесконечных чаш, направленных в противоположные стороны. На рисунке бесконечную поверхность, по понятным причинам, можно изобразить лишь частично.

Нам потребуется твердое, трехмерное тело, поверхность которого состоит из одного или нескольких гиперболоидов. В геометрии «Дихронавтов» такое тело будет обладать идеальной симметрией относительно своего центра – по аналогии с тем, как сфера обладает идеальной симметрией в геометрии Евклида: внешний вид тела не будет меняться при повороте вокруг его центра. (Если это сбивает вас с толку, ознакомьтесь с вводным разделом «Геометрия и повороты в пространстве «Дихронавтов»».)

Такое тело будет иметь бесконечные размеры и обладать бесконечным объемом и массой. Мы можем мысленно обрезать гиперболоиды, получив в результате некоторое тело конечных размеров; это, конечно же, нарушит его идеальную симметрию, однако в случае физических объектов точная симметрия встречается довольно редко. У бесконечных, идеально симметричных версий, впрочем, есть свои преимущества, поскольку их проще описать математически; более того, до тех пор, пока все локально измеримые физические величины (как то сила тяготения или создаваемое внутри тела давление) остаются конечными, мы можем даже допустить существование подобных объектов в гипотетической вселенной «Дихронавтов».

Закономерность, которой подчиняется сила тяготения в нашей Вселенной, как известно, выражается законом обратных квадратов: сила взаимодействия двух материальных точек пропорциональна их массам и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Во вселенной «Дихронавтов» вид этого закона не меняется – с той лишь разницей, что под «квадратом расстояния» теперь понимается x2 + y2 – u2, если эта величина положительна, и противоположная величина, u2 – x2 – y2, в противном случае.

Существует, понятное дело, и конус, на поверхности которого x2 + y2 – u2 = 0, а, гравитационная сила, создаваемая 0-мерной точечной массой, достигает бесконечной величины. Это вызывает некоторое беспокойство – даже больше чем тот факт, что в нашей Вселенной гравитационная сила точечной массы стремится к бесконечности по мере приближения к центру притяжения.

С точки зрения микроскопических составляющих материи этот вывод указывает на то, что нам придется избегать частиц, буквально имеющих вид геометрических точек, заменяя их объектами, в которых масса (и, при наличии, электрический заряд) распределены по некоторой конечной области пространства. Но чтобы обойти эту проблему, нам вовсе не обязательно погружаться в детали физики частиц: как в нашей собственной Вселенной, так и в мире «Дихронавтов» закон тяготения можно легко представить в форме, где вместо масс отдельных частиц фигурирует плотность материи.

Во вселенной «Дихронавтов» соответствующее правило имеет вид:

Сумма вторых производных гравитационного потенциала по пространственноподобным координатам за вычетом второй производной по времениподобной координате равна произведению 4πG на плотность материи, где G – константа, описывающая силу гравитационного взаимодействия.

Как вы уже, должно быть, догадались, в случае с нашей Вселенной отличие состоит лишь в том, что вторые производные потенциала по трем пространственным координатам x, y, z входят в формулировку закона со знаком плюс; и ни одна – со знаком минус. Подобную формулировку ньютоновского закона можно интерпретировать как выражение геометрического свойства «силовых линий», позволяющих описывать гравитационное поле некоторого тела. По сути оно означает, что силовые линии могут начинаться и заканчиваться только на материальных частицах (но никак не в вакууме), а плотность распределения концов линий прямо пропорциональна плотности материи.

Другими словами, нам нужно найти гравитационный потенциал, удовлетворяющий этому закону для идеально симметричного распределения материи во вселенной «Дихронавтов». В качестве одного из вариантов мы могли бы взять одно- или двуполостный гиперболоид и заполнить пространство, ограниченное его поверхностью. Но тогда в некоторых направлениях нам придется иметь дело с бесконечно большим количеством материи.

Альтернативное решение – взять оба вида гиперболоидов и заполнить только пространство между ними, как показано на рисунке ниже. Этот объект также является бесконечным (хотя на картинке показан лишь его конечный фрагмент), но если мы выберем на поверхности одного из гиперболоидов произвольную малую область и рассмотрим объем находящегося под ним вещества, вплоть до центра мира, то этот объем окажется конечным и будет зависеть только от площади выбранной области и радиуса гиперболоида.

На следующем рисунке показан гравитационный потенциал, соответствующий такому распределению материи. На графике представлен срез в плоскости x—u, однако вид потенциала останется тем же самым и при любом повороте среза относительно оси u.

Сила тяготения, соответствующая такому потенциалу, всегда направлена к центру мира. Это может показаться удивительным, если учесть, что график отклоняется вниз по мере удаления от центра вдоль оси u; все дело в том, что тела, движущиеся во времениподобных направлениях, обладают отрицательной кинетической энергией, а значит, любой предмет, брошенный в этой области пространства, будет «катиться вверх», двигаясь в сторону увеличения потенциала. Таким образом, сила тяготения на всей поверхности гиперболоида – как одно-, так и двуполостного – имеет постоянную величину и всегда направлена к центру мира.

Солнце, обитаемая зона и абсолютное лето

Какие миры могли бы возникнуть во вселенной с двумя пространственноподобными и двумя времениподобными измерениями? Ответ на этот вопрос зависит от особенностей космологии и строения материи. Материя во вселенной «Дихронавтов» труднее поддается математическому описания, чем наша собственная; предположив, что она состоит из точечных частиц, обладающих некоторым зарядом, мы обнаружим, что любая сила, стремящаяся к бесконечности по мере сокращения расстояния между частицами, будет иметь особые точки, в совокупности образующие целый конус с центром в данной частице (т. е. поверхность, в пределах которой расстояние до частицы равно нулю). В принципе мы могли бы распределить заряд по некоторой трехмерной области, не концентрируя его в одной точке пространства, что, в свою очередь, позволило бы нам избавиться от особенных точек. По сути именно так мы поступили в предыдущем разделе, когда речь шла о гравитационное поле. Однако для предсказания свойств, которыми могли бы обладать местные аналоги атомов и молекул, нам пришлось бы применить аппарат квантовой механики к отдельным, протяженным объектам, находящимся в пространстве с принципиально иной геометрией, нежели геометрия нашей Вселенной, что потребовало бы отнюдь не тривиальных усилий.