Прорыв в Гельголанде
Часто рассказывают о том, что в мае 1925 года Гейзенберга поразил сильный приступ аллергии, из-за чего он отправился на скалистый остров Гельголанд, чтобы восстановить свои силы. Там он досконально проанализировал с этих позиций все, что было известно о поведении квантов. На острове Гейзенберга ничего не отвлекало, и, после того как аллергия прошла, он смог погрузиться в эту проблему. В своей автобиографической книге «Физика и не только» он описал свои чувства в тот момент, когда числа начали занимать свое место, и рассказал, что однажды в три часа ночи он «больше не смог усомниться в математической цельности и логичности той квантовой механики, на которую указывали [его] расчеты». Он пишет: «Сперва я пришел в возбуждение. У меня возникло такое чувство, словно через призму атомных феноменов я смотрел на их удивительно прекрасную глубину. У меня едва не кружилась голова от того, что теперь мне нужно было исследовать это богатство математических структур, которое так щедро открыла мне природа».
Вернувшись в Геттинген, Гейзенберг три недели готовил свою работу, приводя ее в формат, пригодный для публикации. В первую очередь он отправил ее копию своему старому другу Паули, спросив его, имело ли все это какой-то смысл. Паули встретил статью восторженно, но Гейзенберг был измотан своими исследованиями и сомневался, готова ли работа к публикации. В июле 1925 года он оставил работу Борну, позволив тому распорядиться ею на собственное усмотрение, и отправился дать серию лекций в Лейдене и Кембридже. По иронии судьбы там он решил не рассказывать слушателям о своих новых открытиях, и ученым пришлось ждать, пока новости дойдут до них по старым каналам.
Рис. 6.1. Каждую клетку шахматной доски можно обозначить комбинацией буквы и цифры, например Ь4 или f7. Квантовомеханические состояния также определяются парами чисел.
Рис. 6.2. «Состояние» каждой из клеток шахматной доски определяется шахматной фигурой, которая занимает эту клетку. На этом рисунке пешка обозначена как 1, ладья - как 2 и так далее. Положительные числа - это белые фигуры, отрицательные - черные. Изменение состояния всей доски можно описать фразой вроде «пешка на четверку ферзя» или алгебраическим выражением е2 - е4. Квантовые переходы описываются таким же выражением, связывающим парные (начальное и конечное) состояния. Ни в том, ни в другом случае мы не получаем никакой информации о том, как именно происходит переход из одного состояния в другое, - взгляните хотя бы на движение коня по доске или на рокировку. Продолжая аналогию с шахматами, мы можем представить минимально возможное изменение на доске, е2 - е3, соответствующим добавлению одного кванта энергии hv, в то время как «переход» е3 - е2 будет соответствовать испусканию такого же кванта энергии. Аналогия эта неточна, но она показывает, как по-разному можно передать на письме одно и то же событие. Гейзенберг, Дирак и Шрёдингер таким же образом обнаружили различные формы математической записи для описания одних и тех же квантовых событий.
Борну статья понравилась, и он отправил ее в Zeitschrift fur Physik, практически немедленно осознав, на что натолкнулся Гейзенберг. Математические расчеты, в которых задействованы два состояния атома, невозможно проводить с обычными числами - для них необходимы массивы чисел, которые Гейзенберг представил в форме таблиц. Здесь лучше всего провести аналогию с шахматной доской. На доске 64 клетки, то есть каждую из них можно обозначить числом от 1 до 64. Однако шахматисты предпочитают использовать другую схему, обозначая «столбцы» клеток буквами а, b, с, d, е, f, g, h, а «строки» - цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Таким образом каждая из клеток на доске может быть обозначена уникальной парой идентификаторов: а1 - это начальная клетка ладьи, g2 - начальная клетка коневой пешки и так далее. Таблицы Гейзенберга, как шахматная доска, представляли собой двумерные массивы чисел, поскольку его расчеты были основаны на двух состояниях атомов
и их взаимодействии. Эти расчеты предполагали, помимо прочего, перемножение двух таких наборов чисел, или массивов, и Гейзенберг старательно определил верные математические способы для этого. Но результат получился очень любопытным и столь загадочным, что он стал одной из причин, по которым Гейзенберг сомневался, стоит ли публиковать свои расчеты. При перемножении массивов получается «ответ», который зависит от того, в каком порядке осуществляется перемножение.
Это очень странно. Это все равно что сказать, что 2 х 3 не равняется 3 х 2, или, говоря алгебраически, a х Ъ Ф b х a . Борн день и ночь размышлял об этой особенности, уверенный, что за ней скрывалось что-то фундаментальное. Неожиданно его озарило. Математические массивы и таблицы чисел, столь усердно составленные Гейзенбергом, уже были известны в математике. Существовали все расчеты для таких чисел - они назывались матрицами, и Борн изучал их в самом начале XX века, когда учился в Бреслау. Неудивительно, что более двадцати лет спустя он вспомнил об этой туманной ветви математической науки, ведь матрицы обладают одним свойством, которое всегда производит неизгладимое впечатление на студентов, впервые сталкивающихся с ними: получаемый при перемножении матриц результат зависит от порядка, в котором осуществляется перемножение, или, говоря математическим языком, матрицы не коммутируют.
Квантовая математика
Летом 1925 года, работая с Паскуалем Йорданом, Борн развил основы того, что сейчас называется матричной механикой. Вернувшись в сентябре в Копенгаген, Гейзенберг издалека присоединился к ученым, и в письмах они приступили к созданию исчерпывающей научной работы по квантовой механике. В этой работе, гораздо более ясной и наглядной, чем первая статья Гейзенберга, три автора подчеркнули фундаментальную важность некоммутативности квантовых переменных. В совместной работе с Йорданом Борн уже вывел равенство pq - qp = Wi , где p и q - это матрицы, представляющие собой квантовые переменные, квантовый эквивалент импульса и положения. Постоянная Планка фигурировала в новом уравнении вместе с I, квадратным корнем из минус единицы. В работе, которая стала известна как «статья трех», команда из Геттингена обратила внимание на то, что это «фундаментальное квантово-механическое равенство». Но что это значило с точки зрения физики? Постоянная Планка к этому времени была уже достаточно знакома ученым, как и уравнения с участием I (в которых уже содержался намек на будущее, ведь такие уравнения обычно включали в себя колебания, или волны). Но матрицы в 1925 году были совершенно незнакомы большинству математиков и физиков, а потому некоммутативности казалась им столь же странной, сколь странной казалась постоянная Планка их предшественникам в 1900 году. Для тех, кто мог разобраться с математикой, результаты были поразительными. Ньютонианская механика уступила место похожим уравнениям, в которых были задействованы матрицы, и, как выразился Гейзенберг: «Было очень странно выяснить, что многие старые следствия ньютонианской механики вроде
сохранения энергии и т. n. можно было вывести и с применением новой схемы»29. Другими словами, матричная механика включала в себя ньютонианскую механику точно так же, как уравнения теории относительности Эйнштейна в качестве особого случая включали в себя ньюто-нианские уравнения. К сожалению, с математикой разобрались немногие, и большинство физиков не сразу осознало, насколько значительный прорыв совершил Гейзенберг вместе с геттингенской группой. Однако не обошлось и без исключения, которое обнаружилось в английском Кембридже.
Поль Дирак был на несколько месяцев младше Гейзенберга; он родился 8 августа 1902 года. Обычно его считают единственным английским теоретиком масштабов Ньютона, ведь
Физика и философия. С. 41.
именно он разработал самую полную форму науки, которая теперь называется квантовой механикой. И все же он обратился к теоретической физике только после того, как в 1921 году окончил Бристольский университет, получив диплом инженера. Дирак не смог сразу найти работу по специальности, и ему предложили поступить в Кембридж, чтобы изучать математику, но от этого предложения он вынужден был отказаться из-за нехватки денег. Оставшись с родителями в Бристоле, он - благодаря инженерному образованию - освоил трехлетний математический курс всего за два года и в 1923 году стал бакалавром прикладной математики. Теперь он наконец-то мог отправиться в Кембридж и заняться исследованиями, получив грант от Отдела научных и промышленных исследований, - и только прибыв в Кембридж, он впервые услышал о квантовой теории.
Итак, в июле 1925 года, когда Дирак попал на лекцию Гейзенберга в Кембридже, он был никому не известным и неопытным аспирантом. Хотя Гейзенберг тогда не рассказал аудитории о своей работе, он упомянул о ней в разговоре с научным руководителем Дирака Ральфом Фаулером и в итоге в середине августа послал ему копию статьи, до того как она вышла на страницах Zeitschrift fur Physik. Фаулер передал статью Дираку, который первым ознакомился с ней за пределами Геттингена (не считая друга Гейзенберга Паули), получив шанс изучить новую теорию. В этой первой статье Гейзенберг хотя и указал на некоммутативность переменных в квантовой механике, то есть матриц, не развил свою идею, ходя вокруг да около. Разобравшись с уравнениями, Дирак быстро оценил фундаментальное значение простого факта, что a х b Ф b х a . В отличие от Гейзенберга, Дирак уже знал математические величины, которые вели себя таким образом, и за несколько недель смог переработать уравнения Гейзенберга с позиции той ветви математики, которую за век до этого развил Уильям Гамильтон. По величайшей иронии научной судьбы уравнения Гамильтона, нашедшие свое применение в квантовой теории, отказавшейся от концепции орбит электронов, в XIX веке были выведены в значительной степени для того, чтобы использоваться при расчете орбит тел в системе - например, в Солнечной системе, где находится несколько взаимодействующих друг с другом планет.
