Алексей Савватеев – Математика для гуманитариев. Живые лекции (страница 44)

Есть такая теорема «о трех гвоздях». Если три точки плоскости остаются неподвижными при движении, то движение является тождественным преобразованием, то есть оно вообще ничего не меняет. Для прямой и для окружности имеются очевидные аналоги этой теоремы, которые еще проще.

Завершим вкратце классификацию движений плоскости. Если у движения имеются две различные неподвижные точки, то неподвижной окажется и вся прямая, их соединяющая, а само преобразование будет являться отражением относительно этой прямой. Если у движения ровно одна неподвижная точка, то это движение является поворотом. Если неподвижных точек нет, мы получаем два вида движения: параллельный перенос и скользящая симметрия. Больше никаких движений плоскости нет.

Это — теорема Шаля, которая должна входить во все школьные программы. После того, как это прошли, нужно приступать к комплексным числам. Надо сразу сказать, что плоскость — это комплексные числа, образующие поле. Все основные алгебраические понятия должны быть введены прямо в детском саду, чтобы потом в школе уже было можно браться за дело[39].

После изучения комплексных чисел выводятся правила умножения и сразу — переход к тригонометрии. Тригонометрия — это просто операции с комплексными числами, лежащими на окружности.

А дальше можно переходить к более интересным вещам, например, к диофантовым уравнениям.

Обсудим, при чем тут комплексные числа (которых Диофант не знал) и диофантовы уравнения? На вещественной оси есть числа специальной природы, называемые целыми. Они «живут» на одинаковом расстоянии в обе стороны от 0 до бесконечности. Это числа 0, ±1, ±2, ±3, ±4 и так далее. Между ними «живут» всякие другие числа, которые нас пока сейчас интересовать не будут (рис. 153). Диофантовы уравнения это уравнения, которые надо решать в рациональных либо в целых числах. Мы ограничимся целыми решениями. На прошлой лекции мы рассматривали следующее уравнение

x² + у² = z².

Мы его решили двумя способами: с помощью анализа делимости в обычных целых числах и с помощью алгебраической геометрии. Есть еще и третий способ.

Рис. 153. Решетка целых чисел на числовой оси (такого рода решетки бывают и на плоскости).

Подобно тому, как среди вещественных чисел можно выделить замечательное семейство целых, можно выделить не менее замечательные семейства и среди комплексных чисел. Чем целые числа принципиально отличаются от вещественных? В них (во множестве целых чисел) нельзя делить. Иногда получается разделить, а иногда — нет. Анализ того, что на что делится, приводит к содержательной и красивой науке: к простым числам, к основной теореме арифметики и, в конечном счете, к решению этого самого уравнения х² + у²= z².

Теперь мы живем на плоскости, и хотелось бы сделать что-нибудь подобное во множестве комплексных чисел. Давайте по аналогии распространим целые числа на плоскость. Как будут выглядеть целые числа на плоскости? Скажу по секрету, что на плоскости имеется огромное количество числовых систем, которые обобщают и продолжают целые числа. Можно построить числовые системы разными способами, и они все чрезвычайно важны для многих диофантовых уравнений. Различные диофантовы уравнения требуют различных числовых систем. Но самое простое — это рассмотреть комплексные числа, у которых просто обе части (и вещественная и мнимая) являются целыми числами (рис. 154).

Рис. 154. Загадочные гауссовы числа: среди них есть «простые», но как раз они-то и оказались самыми загадочными.

Узлы этой сетки и есть «целые числа» на плоскости. Первым их рассматривал Гаусс, мы назовем их Z[i]. Z — значит «целое», [i] — конкретное комплексное число, присовокупленное к целым.

Он к целым числам прибавил число i и спросил себя: а какие тогда должны быть числа еще взяты? Если мы взяли i и взяли 1, то мы должны, конечно, взять их сумму — 1 + i. Потому что мы должны уметь складывать, вычитать и умножать (если хотим действовать по правилам обычных целых чисел). Ясно, что эти требования нас в конце концов приведут ко взятию произвольных целых кратных числа i, сложенных с любыми целыми (обычными) числами.

Числа вида а + bi, где а, b — целые числа, называют гауссовыми числами. Складывать и вычитать их можно «покомпонентно», то есть (а + bi) ± (с + di) = (а ± с) + (b ± d)i. При этом «на выходе» получаются снова Гауссовы числа, потому что сумма и разность целых чисел всегда являются целыми числами.

Но для полноценной работы с новыми числами нужно уметь их друг на друга умножать. Чудо состоит в том, что при перемножении Гауссовых чисел по обычным правилам перемножения комплексных чисел «на выходе» снова получаются Гауссовы, то есть целые комплексные числа. Читателю книги доставит удовольствие самостоятельно перемножить два Гауссовых числа, чтобы увидеть, что целочисленность вещественной и мниной частей результата умножения сохраняется.

Кроме того, новые числа удовлетворяют всем тем же принципам умножения, вычитания и сложения, которые верны для обычных целых чисел (потому что новые числа — это «подмножество» комплексных чисел, а последние этим правилам подчиняются).

В то же время из-за того, что мы акцентируем внимание на их «цельности», то есть целочисленности, у нас появляются нетривиальные моменты, связанные с их делимостью друг на друга (аналогично тому, как в системе обычных целых чисел разрабатывается теория делимости, теория простых чисел и разложение на простые множители).

В частности, можно определить понятие простого гауссова числа.

Так вот, оказывается, что всё, что мы знаем про целые числа — делимость, простота, основная теорема арифметики — удивительным образом переносится на Z[i] то есть на систему Гауссовых чисел. Любое Гауссово а + bi с целыми а и b единственным образом раскладывается в произведение простых чисел, которые уже ни на что не делятся.

Небольшое замечание: на числа 1, i, −1 и −i делятся все Гауссовы числа, так же, как в целых числах на прямой все числа делятся на 1 и −1. Например, (а + bi) : i = b − ai. Это чуть-чуть усложняет ситуацию, потому что однозначность разложения на простые множители выполняется лишь с точностью до умножения и деления на 1 , i, −1 и −i. Потому что с точки зрения теории делимости (а + bi) и (b − ai) — это один и тот же простой множитель.

Для целых чисел на комплексной плоскости вообще появляется много фокусов, которых не было для целых чисел на прямой. Например, число 2 перестало быть простым. Ибо оно раскладывается на множители 2 = (1 + i)(1 − i). Кстати, из геометрии это тоже следует (рис. 155).

Рис. 155. Вот чудеса-то: сумма чисел (1 + i) и (1 − i) равна их произведению! Но обычное число 2 похитрее будет: 2 + 2 = 2 · 2 = 2².

По правилу умножения мы должны взять произведение двух длин. Длина вектора 1 + i равна длине вектора 1 − i и обе равны √2, так как это гипотенуза прямоугольного треугольника с единичными катетами. Значит, у произведения должна быть длина √2 · √2 = 2.

Посмотрим, что произойдет с углами. При умножении углы складываются. Но они у нас противоположные по знаку, значит, при сложении получится 0. То есть при умножении мы получим вектор длины 2, направленный по оси X. Обратите внимание, что мы невзначай нашли одно из решений уравнения в комплексных числах: z + w = zw (подпись к рис. 155).

Какие еще числа перестают быть простыми? Например, число 5. Теперь 5 = (2 + i)(2 − i) = 2² + 1². А число 3 можно разложить на множители или нет? Есть ли тут какое-то общее правило?

Оказывается, есть. Более того, ответ на заданный вопрос теснейшим образом связан с вопросом про «обычные» целые числа, а именно: какие простые числа можно представить в виде суммы двух полных квадратов — то есть двух чисел, из которых можно нацело извлечь квадратный корень? Потрясающим образом этот вопрос решается введением Гауссовых чисел и изучением их арифметики.

Окинем еще раз взглядом наши построения. Мы ввели комплексные числа. Потом в них выделили семейство «целочисленных» комплексных чисел и назвали их гауссовыми. Там развили делимость, научились делить с остатком, обнаружили «Основную теорему арифметики». Зачем? Ответ таков: некоторые вопросы из арифметики обычных целых чисел можно решить только через гауссовы числа.

Какие простые числа представляются в виде суммы двух квадратов? Эта задача чрезвычайно важная в теории кодирования. (Здесь под словом «кодирование» понимается запись информации в таком виде, чтобы ее не смогли прочесть посторонние лица. А «посторонние лица» обычно очень интересуются методами «взлома» использованного кода.) Человек, который что-то знает про кодирование/декодирование, может взять и разрушить систему Пентагона в два щелчка мыши (вот вам и готов международный конфликт).

Вопросы математического кодирования — это вопросы примерно такого же типа, как и задача о разложении простого числа в сумму двух квадратов. И вот долгожданный ответ на поставленный выше вопрос.

Теорема. (Ферма — Эйлер — Гаусс. Гаусс здесь упомянут потому, что он ввел Гауссовы числа и установил простым образом все три эквивалентности, приводимые в формулировке.)

«Обычное» простое число (не комплексное) p является суммой двух квадратов, то есть p = х² + у² (х и у — обычные целые числа), тогда и только тогда, когда p перестает быть простым в гауссовой системе чисел Z[i]. И происходит это тогда и только тогда, когда либо p = 2, либо число «p» имеет, остаток 1 при делении на 4, то есть p = 4k + 1.