Алексей Савватеев – Математика для гуманитариев. Живые лекции (страница 43)

Итак, мы получили комплексное число в стандартном виде: вещественная  и мнимая  части.

Всё. Теперь мы умеем делить, умножать, складывать и вычитать — всё как с обычными действительными числами. Однако мы пока не видим, как геометрически это выглядит, а это очень важно и чрезвычайно полезно.

Давайте все-таки это поймем. Для этого перемножим

(х + yi)(z + ti)(x − yi)(z − ti).

Если я буду перемножать почленно, то получится

(x+yi)(z+ti)(x−yi)(z−ti) = [(xz−yt)+(xt+yz)i][(xz−yt)−(xt+yz)i].

Обратите внимание, получились сопряженные комплексные числа — значит, их произведение равно

(х + yi)(z + ti)(x − yi)(z − ti) = [(xz − yt) + (xt + yz)i][(xz − yt) − (xt + yz)i]) = (xz − yt)² + (xt + yz)².

А если я вспомню, что от перемены мест множителей произведение не меняется, и переставлю скобки, то получу

[(x + уi)(х − yi)][(z − ti))(z + ti)] = (х² + y²)(z² + i²).

Но мы же умножали одно и то же, значит, результаты совпадают:

(x² + y²)(z² + t²) = (xz − yt)² + (xt + yz)².

Это таинственное правило иногда изучается в школе как одно из правил сокращенного умножения. Но смысл его скрывается. Можно честно раскрыть все скобки и получить верное равенство. Совершенно честно, без всяких комплексных чисел. Но если вы сделаете это без комплексных чисел, то природа явления будет не видна и непонятна. А с помощью комплексных чисел мы говорим, что (xz − yt)² + (xt + yz)² — квадрат длины вектора, который является произведением исходных векторов (х, у) и (z, t). А (х² + у²) и (z² + t²) квадраты длин самих исходных векторов. Если я извлеку корень из этих длин, то получится, что

длина вектора произведения равна произведению длин исходных векторов

Мы узнали, что при перемножении комплексных чисел их длины перемножаются. Осталось выяснить, куда будет направлен вектор произведения. Вопрос, что же происходит с углами поворота каждого из сомножителей?

Сейчас я могу только сказать, что мое произведение лежит где-то на окружности радиуса, равного произведению длин наших векторов. Но где именно? Сейчас мы рассмотрим преобразование плоскости. Давайте нанесем на наши оси координат единичную окружность. На этой окружности «живут» точки 1, −1, i и −i (рис. 149).

Рис. 149. Единичная окружность на комплексной плоскости.

Как записать координаты точки на окружности? Какое комплексное число живет в точке единичной окружности, если вектор повернут на угол φ (см. рис. 150)?

Рис. 150. Нижний катет равен cos φ, правый равен sin φ.

Точка данной окружности определяется углом, на который повернулся вектор единичной длины. Косинус — это координата по оси x, синус — по оси у. В учебниках пишут, что косинус это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Но здесь гипотенуза имеет длину 1. Поэтому косинус равен просто горизонтальному катету. А синус — это отношение другого катета к гипотенузе. Гипотенуза имеет длину 1, и синус — это просто второй катет.

А теперь я совершу обещанное преобразование: умножу все точки плоскости на комплексное число cos φ + i sin φ.

Напомню, что при умножении комплексных чисел длина получаемого вектора равна произведению длин перемножаемых

Подставим слева в формулу cos р и sin р вместо z и t

Ho cos² φ + sin² φ = 1 (основное тригонометрическое тождество, следствие теоремы Пифагора). Получаем

Мы домножаем на единицу, а значит, длина вектора не изменяется.

Получается, что при умножении на число cos φ + i sin φ любое комплексное число остается на той же окружности, на которой оно лежало.

Комплексное число «жило», например, в точке А, на расстоянии  от точки (0, 0); после преобразования оно будет «жить» на той же самой окружности в какой-то другой точке В, но на том же расстоянии от (0, 0) (см. рис. 151).

Похожим образом показывается, что для любых двух точек плоскости умножение на cos φ + i sin φ не изменит расстояния между ними.

Рис. 151. В = A · (cos φ + i sin φ)

Иными словами, умножение на число cos φ + i sin φ, примененное ко всем точкам плоскости, является движением плоскости.

Давайте попробуем понять, что же это за движение.

Для простоты изложения по ходу дела точки плоскости я буду называть комплексными числами, а комплексные числа точками плоскости. Это позволит стереть некоторый налет «мнимости», остающийся в выражении комплексные числа.

Пусть q₁ = х + yi, q₂ = z + ti два комплексных числа, второе из которых не равно ни нулю, ни единице, но при этом лежит на единичной окружности (то есть имеет модуль, или длину, равную единице). Второе число, q₂, мы на время всего рассуждения зафиксируем, а первое число, q₁, будем «перебирать», подставляя всевозможные комплексные значения.

С помощью формулы q₁q₂ мы сконструировали некоторое преобразование точек плоскости: любая точка q₁ при этом преобразовании переходит в точку q₁q₂. Ключевое утверждение состоит в том, что у этого преобразования будет только одна неподвижная точка: q₁ = 0 (то есть только одна точка останется на месте).

Проведем доказательство этого утверждения. Допустим, какая-то точка q₁ осталась на месте. Это означает, что q₁ = q₁q₂. Перенесем оба выражения в левую часть, получим:

q₁(1 − q₂) = 0.

Мы договорились, что q₂ ≠ 1, а тогда 1 − q₂ ≠ 0, и на этот множитель можно сократить обе части равенства. Следовательно, q₁ = 0, что и утверждалось. Таким образом, наше преобразование плоскости является движением (что было установлено выше) и оставляет на месте ровно одну точку, а именно точку q₁ = 0.

Один из примеров движения плоскости ровно с одной неподвижной точкой хорошо известен: это — поворот на некоторый угол относительно неподвижной точки. Но, может быть, одними поворотами дело не ограничивается? Этот вопрос исследовал французский математик М. Шаль. Оказалось, что ничего, кроме поворотов, в этой ситуации быть не может. Принимая его исследования на веру,[38] делаем вывод, что изучаемое преобразование является поворотом.

Итак, это движение — поворот. Остается вопрос, на какой угол мы повернули? Для ответа на этот вопрос вспомним, что число q2 лежит на окружности, то есть равно cos φ + i sin φ при некотором значении угла φ.

Я утверждаю, что наше движение является поворотом именно на угол φ. Потому что точка q₁ = 1 перешла в точку q₁q₂ = cos φ + i sin φ. А раз единица в нее перешла, значит, мы повернули плоскость на угол φ. Ведь комплексное число q₁ = 1 + 0_i имело в начальный момент нулевой угол поворота.

Таким образом, любая точка переходит в точку, которая получается поворотом на угол φ соответствовавшего исходной точке вектора.

В частности, если я беру некоторый вектор и умножаю его на вектор cos φ + i sin φ, то он переходит в вектор, повернутый на угол φ. Особый важный случай — это умножение на вектор cos π/2 + i sin π/2, то есть просто на число i. Умножение вектора на i приводит к тому, что этот вектор поворачивается на 90°. Это особенно важно для тех технических вузов, где изучают ТОЭ (теоретические основы электротехники). Злые языки даже утверждают, что перед основным экзаменом по ТОЭ там производится предэкзамен: у студента, заснувшего на лекции, над ухом стреляют хлопушкой и грозно спрашивают: УМНОЖЕНИЕ на i? Он должен сразу ответить: ПОВОРОТ НА 90 ГРАДУСОВ! (рис. 152).

Рис. 152. Умножение на i это поворот на 90°.

И окончательно. При умножении комплексных чисел углы складываются. Это правило, которое мы вывели, позволяет нам увидеть все арифметические операции над комплексными числами. А именно, при сложении комплексных чисел складываем их как вектора — по правилу параллелограмма. При умножении — длины векторов перемножаются, а углы поворотов складываются. Слегка почесав в затылке, можно даже сказать так: при делении комплексных чисел их длины делятся, а углы поворота вычитаются друг из друга.

Сейчас будет бонус. Наконец-то мы запомним две зловредные формулы.

Давайте возьмем еще одну точку, лежащую на единичной окружности: cos ψ + i sin ψ. Куда она перейдет при умножении на cos φ + i sin φ?

Она перейдет в точку той же окружности, но повернется на угол φ. То есть суммарный угол для произведения будет (ψ + φ).

Получается, что произведение

(cos φ + i sin φ) (cos ψ + i sin ψ)

равно cos(φ + ψ) + i sin(φ + ψ).

Теперь раскроем скобки:

(cos φ + i sin φ) (cos φ + i sin φ) = cos φ cos ψ + cos φi sin ψ + i sin φ cos ψ + i sin φi sin φ = (cos φ cos ψ − sin φ sin ψ) + i(cos φ sin ψ + sin φ cos ψ).

С другой стороны, это произведение равно cos(φ + ψ) + i sin(φ + ψ). Получается, что

cos(φ + ψ) + i sin(φ + ψ) = (cos φ cos ψ − sin φ sin ψ) + i(cos φ sin ψ + sin φ cos ψ).

Но если два комплексных числа равны друг другу, то вещественная часть равна вещественной, а мнимая — мнимой:

cos(φ + ψ) = cos φ cos ψ − sin φ sin ψ,

sin(φ + ψ) = cos φ sin ψ + sin φ cos ψ.

Это и есть те «зловредные» формулы, которые доставляли вам головную боль в школе, всем поголовно. Они очень легко выводятся с использованием комплексных чисел.

Некоторые соображения о преподавании математики в школе.

У каждого человека есть некие безумные идеи, в которые он свято верит. Я свято верю в то, что школьная математика должна быть устроена следующим образом.

Преподавание математики начинается с движений, причем сразу же вводится понятие группы движений — сперва прямой и окружности, затем плоскости. Давайте без обиняков это называть своими именами — группа движений изучаемого объекта. Потом следует полная характеризация этих групп движений через то, сколько у тех или иных движений имеется неподвижных точек.