Алексей Савватеев – Математика для гуманитариев. Живые лекции (страница 42)

s = (3/4)² = 9/16

— площадь оставшейся части, S = 1² = 1 — площадь квадрата,

— площадь «встречи».

Рис. 144. Встреча возможна только внутри шестиугольника (15′ = 0,25 часа).

Число 7/16 чуть-чуть меньше 1/2. То есть ждут всего 15 минут, а вероятность встречи близка к 50%.

Упражнение. А какой будет ответ, если фазовое пространство не квадратное, а прямоугольное (рис. 143, справа)?

Про теорию вероятностей можно говорить очень долго. Это отдельная, очень большая, интересная наука и для школьной программы, и для людей, занимающихся другими науками. В теории вероятностей есть свои проблемы. Например, данные про большой город типа Москвы входят в очень резкий контраст с базовыми предположениями теории вероятностей. Рассмотрим состояние пробок на дорогах. Оно складывается из миллиона случайных решений отдельных людей. Каждый, у кого есть машина, решает, поехать ли на машине или на общественном транспорте, то есть примерно миллион человек одновременно решают задачу, на чем им ехать. И типовое предположение теории вероятностей о том, что выборы людей независимы друг от друга, предсказывает абсолютно одинаковые пробки при одинаковых метеорологических условиях. Если наша теория верна, если решения независимые, то должны быть идентичные дорожные ситуации при одинаковых условиях. Аварии учесть трудно. Но одна, две мелких аварии не сильно влияют на трафик. Математики очень мало знают про транспорт. Но самое главное — есть стойкое ощущение, что эта модель неверна. Люди друг с другом каким-то образом связаны. Они реагируют на фазы Луны, пятна на Солнце или на что-то еще и принимают одинаковые решения. (Например, если их просят назвать известного русского поэта, все как один говорят: Пушкин.) Это — единственное объяснение, почему при абсолютно идентичных условиях бывают диаметрально противоположные по структуре пробки. Сегодня город едет, а завтра — стоит.

Надо признать, что нам не всё известно. Я, на самом деле, считаю, что про социальные науки (социологию, политологию, экономику) нам вообще почти ничего неизвестно. Математики врут, когда говорят, что они разобрались в том, как функционирует социум. Модели примитивные, никогда ничего не предсказывают. Иногда объясняют то, что было вчера.

С географией дела обстоят лучше. Расселение меняется медленно. Редко бывает так: с утра не с той ноги встал и с досады оказался не в Москве, а в Иркутске[36]. Эталоном науки должна быть физика — наука о неживой природе. Она разработана до такой степени, которая никаким инопланетянам, наверное, не снилась. И если с физикой сравнивать науки о социуме, то математический блок социальных наук практически не развит. Поэтому всяким «гуру», которые появляются на «Полит.ру», в «Ведомостях» или прочих изданиях, вообще верить нельзя (в том числе и мне самому!). Они делают прогнозы, а через неделю уже всё по-другому. Я вижу, о каких моделях они говорят, и понимаю, что там обман в каждом слове. А в математике, в лингвистике, в других не социальных науках нет места подвоху.

Вернемся к комплексным числам. Я хотел рассказать о том, как чудесным образом с помощью комплексных чисел решаются некоторые уравнения. На прошлой лекции мы решили, что хотим иметь такое невещественное число i, что i² = −1. И каждой точке плоскости сопоставили некоторое комплексное число: (x, у) → x + уi. Оказывается, эти числа подчиняются привычным математическим действиям: плюс, минус, умножить, разделить. Математики довольно большую часть времени живут в системах, которые называются полями. Поле — это такое обобщение обычных чисел. Это такие системы «чисел», в которых можно совершать операции плюс, минус, умножить и разделить по нормальным обычным правилам. То есть вы пишете какое-то алгебраическое выражение, раскрываете скобки, делите, сокращаете. Всё, что можно сделать с обычными действительными числами, можно сделать и с элементами любого поля. А поля бывают очень разные и иногда совершенно неожиданно выглядят[37].

Мы хотим, чтобы множество комплексных чисел стало полем, то есть чтобы в нём можно было делать всё, что мы привыкли делать с действительными числами, в частности, умножать и делить. И об этом мы сейчас поговорим.

Было доказано, что х + уi = z + ti только в том случае, если имеют место равенства х = z и у = t.

То есть если это просто одна и та же точка на плоскости. А разные точки дают разные комплексные числа, поэтому комплексные числа занимают как минимум всю плоскость. А из стремления к минимализму мы постараемся ограничиться только точками плоскости. Давайте учиться складывать, вычитать, умножать и делить точки плоскости.

Чему будет равна сумма (x + уi) + (z + ti)?

Мы должны получить какое-то комплексное число. Значит, у нас будет часть с i и часть без i. Если отложить часть «без i» по оси абсцисс, а часть «с i» — по оси ординат, то у нас получится какая-то точка на плоскости. Часто комплексное число отождествляют с вектором (т. е. стрелочкой), ведущим из начала координат в эту точку. Из правила сложения векторов получается, что (x + уi) + (z + ti) = (x + z) + i(у + t).

Давайте посмотрим, почему так получается (рис. 145).

Рис. 145. Сложение комплексных чисел.

Точки (х, у) и (z, t) задают нам два вектора на плоскости, выходящие из начала координат. Если сложить два вектора, получится вектор с координатами (х + z, y + t).

В школе это называют правилом параллелограмма.

Сумма двух точек плоскости строится так. Берем векторы, порождаемые нашими точками, и складываем их по правилу параллелограмма.

Вычитание от сложения практически не отличается:

(х + yi) − (z + ti) = (х + yi) + (−z − ti) = (x − z) + i(y − t).

Вектор, порождаемый точкой (z, t), развернется в другую сторону туда, где достроен смежный параллелограмм (рис. 146).

Итак, операции плюс и минус определены и всегда осуществимы. Также видно, что у каждого числа есть противоположное к нему: (х + yi) и (−х − yi). С точки зрения сложения и вычитания система уже построена и ведет себя очевидным образом. Теперь переходим к гораздо более интересной теме. А именно: умножение и деление комплексных чисел.

Рис. 146. Вычитание комплексных чисел.

Я хочу узнать, как должно выглядеть умножение

(x + yi)(z + ti).

Будем пользоваться распределительным законом, который математики называют дистрибутивным. Проще говоря, разрешается раскрывать скобки: а(b + с) = аb + ас (как учили в школе).

А также (a + b)(с + d) = ас + bс + ad + bd.

Правило дистрибутивности вынуждает нас так умножать. Потому что так делается в вещественных числах. Давайте попробуем перемножить два комплексных числа

(х + yi)(z + ti) = xz + xti + zyi + yti².

Теперь давайте вспомним, что i² = −1,

(х + yi)(z + ti) = xz + xti + zyi + yti² = xz + xti + zyi − yt = (xz − yt) + (xt + yz)i.

Мы научились умножать. Произведением точек с координатами (х, у), (z, t) служит точка на плоскости с координатами (xz − yt, xt + yz).

Но этого для нас мало, потому что мы не видим, где «живет» на плоскости точка с такими координатами. Мы должны увидеть ее, понять, как ее построить. Как получить ее из векторов, порождаемых точками (x, у), (z, t). Какие у этих векторов характеристики? У них есть длины и углы поворота (отклонения) от оси х. Пользуясь этими данными, мы должны получить новый вектор (xz − yt, xt + yz).

Нам нужно провести некоторое исследование. Для этого разработаем терминологию.

У комплексного числа точки на плоскости первая координата называется вещественной частью, а вторая мнимой. Мнимой ее называют потому, что, когда начинали с комплексными числами общаться, считали, что числа i не существует. Существуют только вещественные числа. Остальные не существуют, они как бы у нас в воображении, imaginary numbers. С тех пор у комплексных чисел есть действительная и мнимая части.

Рассмотрим еще такую конструкцию. Для каждого вектора рисуется вектор, симметричный относительно вещественной оси. Точка (х; у) перейдет в точку (х, −у) (см. рис. 147).

Рис. 147. Векторы, симметричные относительно оси абсцисс.

Числу х + уi естественным образом сопоставляется число x − yi, которое лежит по другую сторону от вещественной оси.

Числа вида (х + уi) и (x − yi) называются сопряженными. Чему равно произведение этих чисел?

(х + yi)(x − yi) = х² + у².

Что такое х² + у² в геометрическом смысле? Это длина вектора, обозначающего наше комплексное число, возведенная в квадрат. Квадрат длины комплексного числа, рассматриваемого как вектор, равен произведению его самого и ему сопряженного.

И еще одна выкладка. Интересно, что получится, если я перемножу векторы, сопряженные к нашим исходным векторам:

(х − yi)(z − ti) = (xz − yt) − (xt + yz)i.

Вещественная часть не изменилась, а мнимая поменяла знак. Было (xz − yt, xt + yz), стало (xz − yt, −xt − yz). Получается, что если мы берем произведение двух сопряженных, то получается сопряженное к их произведению (рис. 148).

Рис. 148. Математики сказали бы так: умножение комплексных чисел «уважает» операцию сопряжения, и наоборот. Можно вначале сделать сопряжение каждого сомножителя, а потом перемножить их, а можно вначале перемножить, а после сделать сопряжение перемноженных. Результат будет одинаковым.

Хотелось бы уметь делить одну точку на плоскости на другую точку. Это тоже совсем не сложно, если, конечно, не делить на ноль. Но на ноль мы и раньше не могли делить. Так что ничего удивительного в том, что мы не будем делить на 0, нет. Значит, так. Попробуем разделить на число, которое не равно нулю. Используем основное свойство дроби: дробь не изменится, если и числитель, и знаменатель умножить на одно и то же число. В качестве такого числа мы возьмем число, сопряженное к z + ti: