Упрощаем:
х2 + k2х2 = 2kх.
Можно сократить на x, так как случай х = 0 нам не интересен — он даст уже знакомую точку (0, −1):
х + k2х = 2k.
Выразим теперь х и у через k:
x(1 + k2) = 2k; х = 2k/(1 + k2),
Из этих формул видно, что если k — рациональное число, то у и х — тоже рациональные. Рациональные числа — это числа, с которыми можно производить действия арифметической природы — плюс, минус, разделить, умножить. Рациональные числа от этого остаются рациональными (то есть эти действия не выводят нас за пределы множества рациональных чисел).
Что значит «k — рациональное число»? Это значит, что k = m/n. Подставим вместо k дробь m/n, считая, что m, n — положительны, причем m > n, а дробь m/n несократима:
Осталось вспомнить, что в исходном уравнении х = а/с и у = b/с. Поэтому можно взять в качестве а числитель первой дроби, в качестве b — числитель второй дроби и в качестве с — их общий знаменатель. Получится: а = 2mn, b = m2 − n2, с = m2 + n2. Одно из решений получается сразу, а прочие ему пропорциональны. Мы имеем тот же ответ, что и при первом способе решения. Внешне два метода, которыми мы решали эту задачу, совершенно не связаны друг с другом. Координаты и окружность нам показывают, какие множества высекают на плоскости те или иные алгебраические уравнения. А в первом способе была делимость и основная теорема арифметики. Она, являясь исключительно арифметическим приемом, не имеет никакого отношения к геометрии. Стоит сказать, что если бы математики приходили к разным результатам, решая одну и ту же задачу разными методами, то математика не была бы наукой. На деле же математика — это одно большое знание, связывающее разные методы между собой одним и тем же ответом.
Как видим, пифагоровы тройки нами разбиты «в пух и прах», но ость одна незадача. При k = 0 получается прямая, параллельная оси х (см. рис. 141).
Рис. 141. Совпадение двух точек пересечения.
И вторая точка пересечения оказывается равной первой. Это как раз и отражает эффект касания. Алгебраические геометры, когда говорят о касании, всегда имеют в виду кратный корень, то есть корень, в котором совпали вместе несколько бывших некратных решений.
Есть еще один любопытный момент. Есть еще одна рациональная точка, которую мы не заметили на окружности. Точка (0, 1). Это решение появится у нас при k = ∞.
Если мы хотим параметризовать окружность с помощью рациональных чисел, нужно, чтобы каждому рациональному числу соответствовала одна, и только одна точка на окружности. У нас же получается так, что на окружности есть лишняя точка, которая ни одному рациональному k не соответствует. В таком случае математики рассматривают не обычную прямую, а проективную. Мы уже сталкивались с проективной геометрией. В задаче на построение с помощью линейки у нас точка пересечения пучка прямых уходила в бесконечность.
Таким образом, методы алгебраической геометрии часто связаны с проективной геометрией.
А теперь третий метод решения той же задачи — комплексные числа. Мы разберем его на следующей лекции, а сейчас — обещанное введение в арифметику комплексных чисел.
Очень хочется разложить на множители х2 + у2. Мы умеем раскладывать разность квадратов. Попробуем представить нашу сумму в виде разности:
x2 + y2 = x2 − (−y2).
Если бы я мог извлечь корень из −у2, то смог бы разложить это выражение следующим путем:
В обычной жизни корень из −1 не извлекается, но с помощью комплексных чисел это возможно. Пока мы исходим из желания получить комплексное число наиболее естественным образом. Мы хотим разложить сумму квадратов на множители. Давайте считать, что есть такое число √−1, обозначим его за i. √−1 = i. Тогда
х2 + у2 = х2 − (−у2) = х2 − i2 у2 = (х − уi)(х + yi).
Это критически важно для многих задач. Например, для задачи о том, какие простые числа раскладываются в сумму двух квадратов. Число 41 — простое. Оно является суммой двух квадратов: 25 + 16; 41 = 52 + 42. Если мы умеем раскладывать такую сумму на множители, то у нас получатся любопытные вещи: 41 = (5 + 4i)(5 − 4i). Мы попадем в знакомую ситуацию, связанную с разложением числа 41 на множители, только теперь эти множители — числа новой природы.
Число i — не является вещественным (то есть не лежит на обычной числовой прямой и не может использоваться для измерения физических величин) и, если мы нарисуем вещественную ось, оно будет находиться где-то вне нашей оси. Мы можем выбрать сами, где его поместить. Удобнее всего поместить i на вертикальной оси, выбрав некоторую плоскость, содержащую обычную вещественную ось (см. рис. 142).
Рис. 142. Вот где притаилось загадочное число i.
Тогда получится, что любое число х + yi «живет на плоскости» в точке с координатами (х, у). Если мы хотим ввести в рассмотрение некоторую новую сущность, которая в квадрате дает минус единицу, то нам нужно уметь это число умножать на любые действительные числа. И такие произведения yi = z никогда не могут быть обычными числами, иначе само i = z/y превращалось бы в обычное число. А мы уже убедились в том, что i имеет «невещественную» природу. Кроме того, мы должны уметь выполнять действия сложения и вычитания между обычными (вещественными или действительными) числами и числом i.
Давайте посмотрим. Беру вещественные числа и составляю выражения:
(х + yi); (z + ti).
Вопрос: в каком случае эти два выражения задают одно и то же число? Попробуем действовать по привычным правилам.
х + yi = z + ti,
х − z = ti − yi,
x − z = i(t − y).
Если t = у, то из последнего равенства имеем х = z.
Если t ≠ у, то получаем выражение
i = (x − z)/(t − y).
Этого не может, быть, так как (x − z)/(t − y) — вещественное число. А число i — НЕ вещественное. Противоречие. Значит, х + yi и z + ti равны тогда и только тогда, когда х = z и t = у одновременно.
Из этого следует, что каждой точке плоскости соответствует единственное комплексное число.
Продолжение в следующей лекции (то есть в лекции 4 части 2).
Лекция 4
Как сложить две точки (и что из этого выйдет)
А.С.: Сегодня мы будем заниматься комплексными числами. Но для начала интересная зарисовка из теории вероятностей. Если бы нас было человек 30, я бы поставил 5 мороженых к 1, что у двоих из здесь присутствующих совпадут дни рождения. На самом деле граница проходит на числе 23. Если в аудитории 23 человека, то вероятность совпадения хотя бы двух дней рождения примерно равна 50%. Правда, совпадут только месяц и число рождения, но не обязательно год. Для людей, которые об этом не задумывались, это совершенно удивительный факт. Вроде бы всего 23 человека, как же такое может быть? Но математика открывает этот секрет.
Еще один интересный сюжет: два человека решили встретиться в метро на станции Кропоткинская. Но вышло так, что они не договорились о времени. Известно лишь, что они свободны между 9 и 10 утра. Стратегия у них такая: человек приходит и ждет 15 минут. Если не дождался, уходит. Вопрос: что вероятней, встретиться или разминуться? Чему равна вероятность того, что они встретятся?
«Математическая» теория вероятностей на эту тему говорит следующее. Давайте расположим на плоскости все возможные исходы в этой «игре».
По оси х будем откладывать момент прихода первого, а по у — второго (в минутах после 9 часов). Получившийся квадрат называется фазовым пространством задачи (рис. 143). А вот если первый может появиться в любой момент от 9 до, например, 11 часов, то фазовое пространство будет не квадратом, а прямоугольником. Так как и момент появления первого, и момент появления второго совершенно непредсказуемы в рамках промежутка с 9 до 10, следует представлять себе, что и квадрат (слева), и прямоугольник (справа) покрыты равномерной сетью из большого количества точек.
Рис. 143. Два разных фазовых пространства.
Теория вероятностей постоянно оперирует с понятием «зависимости» и «независимости» нескольких случайных величин. Здравый смысл подсказывает, что наши события (то есть приход 1-го и приход 2-го) независимы. Тогда все исходы, т. е. пары (время прихода первого и время прихода второго) равновероятны. Мы сейчас нарисуем зону, в которой друзья встретились, и посмотрим, какая у нее площадь (для левой части рис. 143).
Если они пришли в один и тот же момент, то из таких точек мы получим диагональ одинаковый момент прихода. Ясно, что они встретятся (и время ожидания будет равно 0).
А если они немножко отклонились от диагонали влево/вправо? Тогда тоже встретятся, потому что один из них пришел немножко раньше другого и дождался второго. Надо понять, на какое самое большое число минут им можно отклониться друг от друга по времени прихода, чтобы встреча еще произошла? На 15 минут. На одну четверть часа. Иначе будет как в известной песне[35].
Мы получили границы зоны встречи. Что происходит на границе? Первый пришел, например, в 9 часов 50 минут, а второй в 9:35. Тогда второй, который пришел в 9:35, уже собирался уходить, и тут появился первый.
Теперь надо посчитать площадь «встречи» (то есть участка квадрата, описывающего пары моментов прихода, при которых встреча произойдет) и поделить ее на общую площадь фазового пространства. Вычислим сначала площадь оставшейся части для случая квадрата (рис. 144).
