Алексей Савватеев – Математика для гуманитариев. Живые лекции (страница 40)

Теперь я утверждаю, что (z − y)/2 и (z + y)/2 также взаимно простые, то есть не имеют ни одного общего множителя. Почему? Предположим, что у них есть общий делитель. Например, они делятся на 3. Тогда, их сумма и разность тоже делятся на 3. Но

Получается , то есть у, z оба делятся на 3. Мы пришли к противоречию. Значит, (z − y)/2 и (z + y)/2 тоже не имеют общих делителей.

 Вернемся к нашему выражению

Числа справа состоят из разных простых делителей. В каждое из чисел простые множители могут входить хоть поодиночке, хоть в степенях, но пересечений между разложениями (z − y)/2 и (z + y)/2 нет. Например,

(Вместо 5 и 7 здесь могут быть любые степени.)

С другой стороны, k² = q₁²q₂² ... q_f², поэтому

Согласно основной теореме арифметики, существует единственное разложение натурального числа на простые множители с точностью до порядка сомножителей. Значит, по обе стороны от знака равенства стоят наборы одинаковых простых чисел. В частности, q₁² равен произведению двух чисел из правой части.

Так как пересечений простых множителей в наборах  p₁,..., p_k и w₁,..., w_m нет, то этот квадрат целиком «сидит» в одном из наборов. Но то же самое можно сказать и про все прочие квадраты!

Поэтому все простые числа набора p_i входят в разложение числа (z − y)/2 в четных степенях, и то же самое верно для набора w_j. Следовательно, числа (z − y)/2 и (z + y)/2 являются квадратами[34].

Это очень сильное утверждение (потому что квадратов очень мало среди натуральных чисел). 1, 4, 16, 25, 36, 49… — они встречаются все реже.

Введем новые обозначения. Так как наши выражения — квадраты, то обозначим:

Тогда

Вспомним, чему равен x: x = 2k.

Видно, что k = mn, следовательно, x = 2mn.

Итак, мы доказали, что если x, y, z являются целыми сторонами прямоугольного треугольника (минимального в серии подобных пифагоровых треугольников), то существует пара целых чисел n и m с таким свойством, что x равен удвоенному произведению этих чисел, у — разности квадратов этих чисел, а z — сумме квадратов этих чисел. Это — обязательное условие:

x = 2mn,

y = m² − n²,

z = m² + n².

Остается вопрос: можно ли брать m и n произвольным образом?

Во-первых, чтобы «у» было положительным числом, нужно чтобы выполнялось неравенство m > n («у» — сторона треугольника, она не может быть отрицательным числом). Во-вторых, m и n, должны быть взаимно простыми числами разной четности, чтобы x, у, z получились взаимно простыми.

Давайте проверим, останется ли верна наша формула для целых решений уравнения x² + y² = z² при любых целых m, n:

 x² + y² = 4m²n² + m⁴ − 2m²n² + n⁴ = m⁴ + 2m²n² + n⁴ = (m² + n²)² = z².

Мы видим, что наша формула всегда дает «пифагоровы» тройки, но не обязательно положительные и взаимно простые.

Общая формула содержит два произвольных параметра. Для наглядности построим сетку (рис. 137).

Рис. 137. Здесь спрятались все пифагоровы тройки!

В сетке — выберем точку с координатами (0; 0) и оси: m — вправо, n — вверх. Будем брать точки с координатами (m; n) и подставлять их в нашу формулу. Например, возьмем точку (2; 1).

х = 2mn = 2 · 2 · 1 = 4,

у = m² − n² = 2² − 1² = 3,

z = m² + n² = 2² + 1² = 5.

Давайте возьмем что-нибудь более сложное. Напомню, что для получения минимальных пифагоровых троек нам подходят только m > n > 0 с разной четностью.

Возьмем, например, (5; 2). Получим х = 20, у = 21, z = 29.

При подстановке мы увидим, что у нас появляются разные виды треугольников. Узкие вытянутые треугольники, у которых катет и гипотенуза отличаются на единицу: 12, 5, 13. Треугольники, у которых катеты почти равны друг другу: 20, 21, 29 (рис. 138).

Рис. 138. Такие разные пифагоровы треугольники.

В каждой целочисленной точке плоскости будет возникать вариант пифагорова треугольника. Возьмем точку (10; 3) и посмотрим, какой треугольник получится:

x = 60, у = 91, z = 109.

Задача решена методом Диофанта. Мы получили описание всех пифагоровых треугольников.

Второе решение задачи о пифагоровых треугольники.

Алгебраическая геометрия — часть 2.

Есть уравнение, которое нужно решить в целых числах, понимая, что по абсолютной величине с больше а, и с больше b:

a² + b² = c².

Разделим это выражение на c² и введем новые обозначения x = a/c, y = b/c:

(a/c)² + (b/c)² = 1.

Обе скобки — числа рациональные, т.е. дроби.

Какая фигура на плоскости описывается уравнением: x2 + y2 = 1? Окружность единичного радиуса.

А теперь — чудо. Задача, которую мы решаем — найти на этой окружности все рациональные точки (т.е. точки, у которых обе координаты являются дробями). Вот как звучит наша задача при втором подходе к решению!

Какую точку на окружности даст нам треугольник 3, 4, 5? Точку (3/5; 4/5). Стороны 20, 21, 29 породят точку (20/29; 21/29). Для любой точки, которая попадает на окружность, сумма квадратов координат должна быть равна единице. Но не любая из этих точек рациональна.

Нужно найти все такие точки. Возьмем одну очевидную рациональную точку с координатами (0, −1).

Слушатель: А почему не (0; 1) или какую-то другую?

А.С: В принципе, можно выбрать какую угодно точку окружности. Я выбрал такую точку, при которой формулы будут выглядеть проще всего.

Давайте предположим, что есть еще одна рациональная точка (х, у). Тогда прямая, которая проходит через эти две точки, имеет уравнение с рациональными коэффициентами (см. рис. 139). Докажем это.

Рис. 139. Прямая, проходящая через точку (0, −1) и еще одну рациональную точку, обладает рациональным коэффициентом наклона.

Давайте посмотрим, как выглядит уравнение прямой, проходящей через точку (0, −1) в общем случае. Вспомним, что у = kx+b — уравнение прямой «с угловым коэффициентом и свободным членом».

Если она проходит через точку (0, −1), то при подстановке х = 0, у = −1 в наше уравнение мы должны получить верное равенство. Подставим: −1 = 0k + b, откуда b = −1, то есть наше уравнение имеет вид у = kx − 1.

Мы получили общий вид прямой, проходящий через точку (0; −1). При разных k мы будем получать прямые с разным наклоном (рис. 140).

Рис. 140. Обратите внимание на вспомогательный прямоугольный треугольник справа с вершиной в точке (0, −1).

Если точка (x, у) рациональна, то k — тоже рациональное число (k — это тангенс угла наклона прямой, в нашем случае он равен отношению противолежащего катета к прилежащему в полученном треугольнике). См. рис. 140, катеты вспомогательного треугольника.

Вертикальный катет равен y + 1. Горизонтальный равен x. Для точки (3/5, 4/5) эти числа равны 9/5 и 3/5. Получается отношение катетов k = 9/5 : 3/5 = 3. Наша прямая имеет вид: y = 3x − 1.

Итак, на этом примере продемонстрировано, что если какая-то точка имеет рациональные координаты, то угол наклона прямой, проходящей через нее и через точку (0, −1), будет рациональным числом. Это следует из того, что оба катета выражаются в этом случае рациональными числами, а отношение двух рациональных чисел является рациональным числом. Говорят, что рациональные числа «образуют поле», так как сумма, разность, произведение и частное дробей являются дробью.

Итак, если точка рациональная, то и наклон прямой, проходящей через нее и через точку (0; −1) будет рациональным числом. Теперь мы докажем и обратное: если в формулу у = kх − 1 вместо k подставить любое рациональное число, то мы всегда получим в пересечении с окружностью две точки: (0; −1) и какую-то другую рациональную точку.

Как найти точку пересечения прямой у = kх − 1 с окружностью х² + у² = 1?

Нужно решить систему уравнений

Подставим значение у из первого уравнения во второе

х² + (kх − 1)² = 1

и раскрываем скобки

х² + k²х² − 2kх + 1 = 1.