Алексей Савватеев – Математика для гуманитариев. Живые лекции (страница 45)

У Гаусса несколько «царских результатов». Он называл их разными именами. Например, есть некий закон про поведение остатков при делении одних чисел на другие. Гаусс назвал его «золотым результатом», «золотой результат Гаусса». Связь между представимостью простого числа р в виде суммы двух квадратов и его «поведением» в системе Гауссовых целых чисел — это королевская теорема Гаусса. Как следствие, «сокращая одну из эквивалентностей» в теореме выше, получаем как раз теорему Ферма — Эйлера: Простое число в обычных натуральных числах является суммой двух квадратов тогда и только тогда, когда оно имеет остаток 1 при делении на 4. Это мгновенно вычисляемая характеристика. Например, 97. При делении на 4 дает остаток 1: 97 = 96 + 1 = 4 · 24 + 1. Значит, по нашей теореме оно должно представляться в виде суммы двух квадратов. Так и есть: 97 = 81 + 16 = 9² + 4².

Возьмите число, в котором 25 цифр. Проверьте, что оно имеет остаток 1 при делении на 4, это очень просто. Проверить, что оно простое, немножко сложнее, но тоже не очень долго. Так вот, если вы узнали, что оно простое, и вычислили, что оно имеет остаток 1 при делении на 4, то вы можете спорить на любую сумму с любым неверующим Фомой, что есть два числа, суммой квадратов которых исходное число является. Никакого полного доказательства этой теоремы, кроме как через гауссовы числа, мне не известно (существует, говорят, по крайней мере 6 доказательств).

Давайте вернемся к пифагоровым тройкам. Пифагоровы тройки очень красиво находятся с помощью гауссовых чисел. Предположим, есть тройка x, у, z обычных целых чисел, которые являются сторонами прямоугольного треугольника, то есть

x² + у² = z².

Опять рассмотрим прямоугольный треугольник, наименьший в семействе. Иными словами, x, у, z попарно взаимно просты, у них нет общих делителей. Тогда довольно просто показать, что (x + уi) и (x − yi) — также взаимно просты (это следует из разной четности x и у).

То есть у гауссова числа и сопряженного ему гауссова числа нет общих делителей.

Вспоминаем прошлую лекцию: (х + уi)(х − уi) = z².

Произведение равно квадрату некоторого числа. Значит, все (Гауссовы) простые множители числа z входят в него в четной степени. Это означает, что в левой части уравнения стоит, с точностью до обратимых множителей, произведение двух квадратов.

Этот прием применяется во всех похожих структурах, не только в гауссовых числах. Если мы можем доказать основную теорему арифметики, то будет верен и этот замечательный результат: если произведение двух взаимно простых чисел равно квадрату, то каждое из этих чисел является квадратом с точностью до умножения на обратимые числа 1, i, −1 и −i (для гауссовых чисел) или до умножения на любые другие обратимые числа (если целые числа — не гауссовы).

Заметая «под ковер» исследование дополнительных обратимых множителей, делаем вывод, что

(х + yi) = (m + ni)² = m² + 2mni − n² = (m² − n²) + 2mni.

Комплексные числа равны в том и только том случае, когда их вещественные и мнимые части равны:

х = m² − n², у = 2mn.

Отсюда уже нетрудно вывести и формулу для гипотенузы Пифагорова треугольника: z = m² + n².

Вот мы и получили «формулу индусов». Через гауссовы числа она выводится почти в одну строчку.

Теперь — пара слов про великую теорему Ферма. Такие методы, как тот, который мы сейчас рассматривали, развивавшиеся весь XIX век, не привели к решению великой теоремы Ферма для всех показателей. Привело совершенно другое соображение. Соображение такое: если бы существовала тройка а, b, с такая, что аⁿ + bⁿ = сⁿ, то существовала бы некоторая, как математики выражаются, эллиптическая кривая с набором свойств, которые противоречат ее природе. Это — доказательство великой теоремы Ферма в одной фразе. Правда, к этой «одной фразе» придется добавить фраз 20–30, чтобы хоть слегка пояснить, что это за зверь такой — эллиптическая кривая, и, главное, какое отношение она имеет к великой теореме Ферма.

Ну и последний сюжет.

Диофант решал самые разные уравнения. Некоторые он сформулировал, но был не способен решить. А точнее, решения некоторых из них не найдены в первых 6 томах. Мы ничего не знаем про оставшиеся 7 томов, и я не удивлюсь, если в них было всё, что потом открывали в XVII, XVIII, XIX веках. В частности, Эйлер стал рассматривать одно из тех уравнений, которые Диофант не решил. Может, ли быть так, что квадрат некоторого натурального числа отличается от куба другого натурального числа на единицу? То есть требуется решить в целых числах уравнение

а² = b³ ± 1.

То, что квадрат одного числа просто равен кубу другого, очень легко представить себе, если а = с³ и b = с², при некотором целом с. В самом деле, тогда

а² = (с³)² = c⁶ = (с²)³ = b³.

Возьмем, например, с = 3. Тогда а = 27, b = 9: 27² = 9³ = 729. Так что эта задача неинтересная. Правда, число 729 напоминает мне один разговор.

Однажды два математика беседовали в кафе. Один другому говорит: «На свете нет ни одного числа, которое не было бы чем-то удивительным, просто ни одного». А второй отвечает: «Ну, как же? Ну, я возьму навскидку 1729. Что интересного в числе 1729?» А второй посмотрел на него и сказал: «Ты сам не догадываешься, насколько удивительное число ты назвал! Это первое из натуральных чисел, которое двумя разными способами представляется в виде суммы двух кубов».

Пальцем в небо ткнул и попал в число 1729. И вот что оказалось. Действительно, 1729 = 9³ + 10³, и 1729 = 12³ + 1³. Второй математик был сражен этим аргументом.

Так вот, бывает ли, чтобы куб и квадрат отличались на единичку?

Допустим, ваш ребенок играет в кубики. Он сложил из них большой куб, а вы украли у него один кубик. Тогда ребенок взял, развалил куб и сложил большой огромный квадрат. Может ли такое быть? Эйлер полностью решил эту задачу (а² = b³ ± 1).

Решим только одно уравнение из двух, потому что другое очень сложное: а² = b³ + 1 — сложное, а² = b³ — 1 простое.

В обоих случаях можно выписать ответ в явном виде.

У второго уравнения решений нет, кроме тривиальных: а = 0 и b = 1. Мы это сейчас докажем. А у первого, кроме тривиальных (а = 1 и b = 0), решением является пара (2, 3). Ведь 3² = 2³ + 1. Других решений нет. Эйлер и это доказал, но весьма сложным путем.

Разберем простой вариант:

а² = b³ − 1, а² + 1 = b³, (а + i)(a − i) = b³.

Могут ли у (а + i) и (а − i) быть общие множители? Пусть (а + i) и (а − i) делятся на какое-то простое гауссово число. Тогда их разность

(а + i) − (а − i) = а + i − а + i = 2i

тоже на него делится.

Простых гауссовых чисел, которые делят число 2i, всего одно: (1 + i). Есть еще 1 − i, но это «то же самое простое число», ибо 1 − i = (−i)(1 + i) — то есть, одно получается из другого умножением на обратимое.

Значит, наши числа (a + i) и (a − i), если они не взаимно просты, могут делиться только на (1 + i). Но тогда их произведение делится на (1 + i)² = 2i. Значит, b делится на 2, а b³ — на 8. Но тогда а² будет иметь остаток 7 при делении на 8, так как а² + 1 = b³. А значит, остаток 3 при делении на 4. А, как мы выяснили на предыдущей лекции, таких квадратов не существует. При делении на 4 квадрат дает в остатке либо 1, либо 0. Поэтому такого быть не может.

Значит, ни одного общего делителя у чисел (а + i) и (а − i) нет. Их произведение является поэтому кубом некоторого гауссова числа. Согласно основной теореме арифметики, из этого следует, что каждое из них само является кубом гауссова числа (снова с точностью до умножения на обратимый элемент 1, i, −1 или i). Но все они тоже кубы, так что сформулированное утверждение верно в точности: скажем, а + i = (m + ni)³.

Вдумайтесь, что мы сделали. Мы взяли обычное уравнение в целых числах. Зачем-то перешли в гауссовы числа и внутри гауссовых чисел разложили левую часть на множители. После чего, живя внутри гауссовых чисел, мы сказали, что тогда

а + i = (m + ni)³.

При этом а — целое не гауссово число. Гауссово число (а + i) живет на один шаг выше оси х.

Это число должно быть равно кубу некоторого гауссова числа.

Теперь вспомним формулу куба суммы и раскроем скобки:

а + i = (m + ni)³ = m³ + 3m²ni − 3mn² − n³i = (m³ − 3mn²) + i(3m²n − n³).

Комплексные числа равны, значит равны их вещественная и мнимая части:

а = m³ − 3mn², 1 = 3m²n − n³.

Я вернулся из гауссовых чисел в обычные целые числа. С помощью гауссовых чисел я сделал вывод, который никогда в жизни не сделал бы без них. Из а² = b³ − 1 я получил, что

3m²n − n³ = 1.

Теперь уже всё просто:

3m²n − n³ = 1, n(3m² − n²) = 1,

n и 3m² − n² — целые числа. Два числа дают в произведении 1 тогда и только тогда, когда они одновременно равны 1 или −1.

n = ±1, 3m² − n² = ±1.

Вы заметили, «единицу можно разложить на множители единственным способом: либо 1 умножить на 1, либо −1 умножить на −1». Второй способ неотличим от первого, так как второе решение можно сократить на «обратимое число» (−1). Так что второй случай кажется ненужным для рассмотрения — вроде как получается избыточная аргументация. Но, как будет видно ниже, второй случай отнюдь не лишний.

Мой учитель Саша Шень рассказывал замечательную историю про то, как он стал математиком «из-за избыточной аргументации». Ему подали рыбу, филе (я сам очень долго, лет до 30, думал, что филе — это название рыбы). Так вот. Ему подали филе, и он сказал: «Мама, ну тут кости! Ты можешь вынуть кости?» А мама применила следующий замечательный логический прием, поставив его на дорогу математика. Она сказала: «Так! Саша, во-первых, это филе, и костей в нём быть не может. А во-вторых, где ты видел рыбу без костей?» Саша настолько был потрясен такой «железобетонной» логикой, что после этого стал математиком.