Алексей Савватеев – Математика для гуманитариев. Живые лекции (страница 36)

Вначале мы очень много видим этих «двоек» (то есть простых чисел, идущих через одно), потом они становятся всё реже и реже, и возникает вопрос: а кончатся ли эти «двойки» когда-нибудь? Будет ли момент натурального ряда, может быть, ужасно далеко от нас, когда появится последняя двойка соседних простых чисел, отличающихся на 2 единицы? Такие числа, кстати, называются близнецами: 29 и 31, 41 и 43, 71 и 73, 101 и 103. Будет ли момент, когда мы встретим последних близняшек, а между оставшимися простыми числами расстояние всегда будет не меньше трех (на самом деле четырех, потому что они заведомо оба нечетные)?

Это — нерешенная математическая проблема.

Я вам расскажу про одно маленькое «но», которое позволяет оптимистам утверждать о некотором прогрессе в решении этой проблемы. Чтобы вы сразу почувствовали, однако, насколько анекдотичен этот прогресс, выслушайте такую притчу.

В одной стране попытались доказать теорему: У каждого мужа должно быть не более трех жен. Долго не удавалось ее никак доказать. Наконец, дело сдвинулось с мертвой точки. Была доказана близкая к ней теорема: У каждого мужа должно быть не более трех миллионов жен. Ученые продолжают размышлять над этой проблемой.

Так вот. Специалисты по теории чисел решили взглянуть на «проблему близнецов» под похожим, так сказать, углом.

Может быть, можно сказать, что вот хотя бы на каком-то другом расстоянии d (превышающем двойку) уже можно гарантировать, что бесконечно много раз появятся соседние простые? То есть что расстояние между соседними простыми не будет уходить в бесконечность? До 2013 года это оставалось открытой проблемой даже в такой формулировке. В 2013 году математик Итан Чжан (Yitang Zhang) — китаец, работающий в США (как это часто случается с китайцами), доказал, что существует бесконечное множество пар простых чисел на расстоянии, не превышающем некоторого числа d > 2. Доказательство проверили: правильно, есть такое число d. Но единственное, что про него известно, — что оно не превышает 70000000 (см. вышеуказанную притчу). Как говорится, хотели рассматривать простые числа через окошко длиной в три единицы (2-трафарет) — не добились толку. А потом взяли трафарет побольше (70000000-трафарет), и получилось. Таким образом, здесь просматривается новое понятие «обобщенные простые числа-близнецы». Так что бывают 2-близнецы, бывают и 6-близнецы, …, 70000000-близнецы. Проблема распалась на бесконечную серию проблем, и с какого-то места (то есть с какого-то числа d) она оказалась решенной положительно.

Ведь что такое трафарет? Это такая рамочка. Вот я беру трафарет длиной в 70000000, и в окошечко рассматриваю натуральный ряд, двигаясь вдоль него. Фиксирую моменты, когда внутри этого промежутка встречаются простые числа (более одного). Так вот, их будет бесконечное количество, этих моментов. Чжан доказал, что достаточно взять трафарет длиной в 70000000, чтобы поймать бесконечное количество простых обобщенных близнецов. Конечно, если я сделаю d = 70000001, тем более поймаю бесконечное количество этих обобщенных близнецов. А если возьму чуть меньше, например, 60000000, то уже точно сказать ничего нельзя.

Это — большой прорыв. Потому что в 1896 году Адамаром и Валле-Пуссеном было доказано, что частота появления простых чисел уменьшается. Рассказывают, что Адамар появился в этот день в кафе и сиял как медный грош. Друзья спросили его: «Что-то у тебя такое хорошее настроение, как будто ты доказал асимптотический закон распределения простых чисел». А он и отвечает: «Вы знаете, вы не поверите, но я именно это и сделал, и именно с этим и связано мое хорошее настроение».

«Да ладно», — говорят. Потом проверили и оказалось, что доказательство верно.

Почему это потрясает и почему это убедительно говорит о нерегулярности появления простых чисел? Потому что закон Валле-Пуссена и Адамара говорит, что между соседними простыми числами (в районе натурального числа n) в среднем расстояние равно ln n (натуральный логарифм числа n). Эта функция очень медленно растет, но тем не менее стремится к бесконечности с ростом числа n.

Потом долго пытались придумать формулу для простого числа. Ее искали очень долго и в какой-то момент переключились на доказательство того, что ее в принципе быть не может. А в 1976 году на основе решения российским математиком Ю. В. Матвеевичем десятой проблемы Гильберта был написан конкретный многочлен 25-й степени с целыми коэффицентами от 26 переменных. (В формуле использованы все буквы английского алфавита: а, b, с, d и так далее до х, у, z.) Про этот многочлен удалось доказать, что если подставить в него вместо букв целые неотрицательные числа и вычислить полученное значение, то всегда, когда результат будет положительным числом — оно обязательно будет оказываться простым.

Более того, до ЛЮБОГО простого числа «можно добраться» с помощью какого-то значения именно этого многочлена. Этот многочлен не может в полном смысле слова считаться «формулой для n-го простого числа», но является хорошей (и неожиданной) заменой этой формулы.

Но на этом дело не закончилось. В 2013 году открылась охота на константу Чжана. Это такое число, про которое уже удалось доказать, что на трафарете соответствующей величины, если его двигать по натуральному ряду, будет встречаться бесконечное количество пар простых. Вы не поверите, но к концу 2013 года 70000000 заменили на число 300, даже на 246. Так сказать, еще не доказали, что должно быть не более 3 жен, но доказали, что их не более 246.

И вот я этим 246-трафаретом еду по натуральному ряду, и бесконечное число раз считываю простые числа, которые попали в него. Более того, при условии доказательства некоторого факта, в который все верят, но еще не доказали, трафарет сократят до 12, а там и до исходной проблемы чисел-близнецов доберутся… 2500 лет люди ничего не знали про минимальное расстояние между простыми, полтора года назад[31] прорывной результат, снижение этой границы. И теперь гипотеза простых близнецов трещит по всем швам (впрочем, еще держится).

Еще немного про простые числа. Давайте рассмотрим ряд, который похож на ряды с бесконечным числом слагаемых, которые мы уже рассматривали:

1/2 + 1/2 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + ... .

Я буду суммировать числа, обратные к простым. Как говорят математики, «сходится этот ряд или расходится»? Конечная или бесконечная сумма получится? Удивительный ответ состоит в том, что бесконечная. Это открыли в начале XIX века.

1/2 + 1/2 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + ... = +∞

Какое бы число К вы ни взяли, можно указать такое натуральное число n, что, дойдя до члена с номером n, сумма ряда будет превосходить число К.

А если суммировать только обратные к простым близнецам, то сумма будет конечна. Это значит, что простых близнецов заметно меньше, чем всех простых чисел. Потому что если составить ряд из обратных простых, то он пойдет в бесконечность, а если составить ряд из обратных простых близнецов, то он будет конечным. И никто не знает пока, происходит ли это потому, что он где-то закончится и фактически эта сумма будет конечной, или из-за того, что простых близнецов бесконечное количество, но зазоры между ними быстро растут. Все математики, которые этим занимаются, верят, что простые близнецы никогда не кончатся. Но пока это все-таки остается гипотезой.

Расскажу заодно про еще одну нерешенную математическую проблему. Знаете ли вы, что такое совершенные числа? Что означает «мне исполнилось совершенное число лет»?

Слушатель: Это 18-летие.

А.С.: Нет, это вовсе не 18 лет! 18 — число несовершенное, а вот 6 и 28 — совершенные числа! Поэтому математических совершеннолетий в жизни каждого человека бывает ровно два — это когда человеку исполняется 6 лет, и затем — когда исполняется 28.

По определению, совершенное число — это такое число, которое равно сумме всех своих делителей, кроме себя самого. Например, 6 = 1 + 2 + 3, 28 = 1 + 2+4 + 7 + 14. Следующее совершенное число — 496, но до этого возраста никто (кроме библейских персонажей) еще не доживал.

Для четных совершенных чисел есть общая формула:

2^k(2^k+1 − 1)

(где k обозначает произвольное натуральное число).

Правда, число такого вида совершенное тогда и только тогда, когда (2^k+1 − 1) — простое число. При k = 1, 2, 4 получаются как раз совершенные числа 6, 28, 496, а при k = 3 — число 120, совершенным не являющееся (потому что число 2^k+1 − 1 = 15 в этом случае не является простым).

Тем не менее никто не знает, бесконечно количество четных совершенных чисел или нет. Потому что никто не знает, бесконечно ли количество простых чисел вида (2^k+1 − 1), или же оно конечно.

Последняя задача называется проблемой Мерсенна, а сами простые числа вида (2^k − 1) — простыми числами Мерсенна. Если мы поменяем в этом выражении знак минус на плюс, то получим также весьма интересную и важную, как мы увидим ниже, задачу — а именно, какие из чисел вида (2^k + 1) являются простыми? К это задаче мы вернемся ниже, а пока я расскажу кое-что еще про совершенные числа — конкретно, про нечетные совершенные числа.

Ровно 28 лет назад (совершенное число!)[32] я поступил в 57-ю школу. На уроках специальной математики мы решали задачки из так называемых листочков, в которых приводились только определения математических понятий и объектов, а все свойства объектов уже мы сами должны были доказать.