Алексей Савватеев – Математика для гуманитариев. Живые лекции (страница 38)

Я хотел охарактеризовать прямоугольные треугольники. Эта задача, несмотря на то, что ее полностью решили еще в античном мире, — не самая простая. Вы быстро найдете несколько примеров целых сторон, для которых верно с² = а² + b². Ну, скажем, вот а = 3, b = 4, с = 5:

9 + 16 = 25.

Давайте посмотрим, сможем ли мы угадать еще какие-нибудь тройки? Посмотрим на картинку, которую тоже должны изучать в школе (в древнегреческой школе она была!).

Рис. 134. Справа — столбики различной высоты (по-гречески «гномоны»). Высота измеряется числом клеточек, помещающихся в столбик, и указана внутри них. Каждый гномон, начиная со второго, «заворачиваем» на 90 градусов (слева). Его площадь от этого не изменится! Вот и получилось доказательство замечательной теоремы: «Сумма нечетных чисел от 1 и до 2n − 1 равна n²».

Картинка на рис. 134 помогает понять тот факт, что сумма 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + … на любом шаге вычислений дает квадрат натурального числа. Одновременно это — способ увидеть, чем отличаются друг от друга два соседних квадрата. А именно, два соседних квадрата всегда отличаются на нечетное число.

Но нечетные числа тоже иногда бывают квадратами, например, 9 — это 3².

Значит, в момент, когда между соседними квадратами слой состоял из 9 квадратиков, у нас очевидным образом появилось решение соответствующего уравнения Диофанта.

Подобным же способом можно получить бесконечное множество таких троек. Все эти тройки будут иметь следующий специальный вид: (a, b, а + 1). Здесь b — нечетное число, обладающее тем свойством, что в изогнутой полоске между квадратом размера а на а и квадратом размера (a + 1) на (a + 1) умещается ровно b² маленьких квадратиков (см. рис. 135).

То есть между а² и (а + 1)², между этими квадратами, иногда разница будет являться квадратом. И именно тогда, когда нечетное число будет случайно оказываться квадратом, будет появляться новая тройка решений уравнения Диофанта.

Какое следующее нечетное число будет квадратом? 25. Давайте посмотрим, чему равна тогда разница между соседними квадратами. На сколько клеточек отличаются а² и (а + 1)²? На 2а + 1.

Рис. 135. Поиск одной серии решений уравнения a² + b² = c².

Теперь мы хотим, чтобы 2а + 1 было равно этому нашему числу 5², то есть 25,

2а + 1 = 25, а = 12.

Итак, мы получили новую тройку: 12² + 5² = 13². Без сомнения, ведь 144 + 25 = 169.

Следующий нечетный квадрат 49. Появится решение 24, 7 и 25.

Кто-нибудь из вас спросит меня: «Может быть, это всё?» Мы получили бесконечный ряд решений уравнения а² + b² = с² в целых числах. Но они все устроены одинаково. Гипотенуза отличается от большего катета на 1.

Вопрос: а есть какие-нибудь другие решения? Ответ: да. Очень много других серий. Вот вам одно из решений, устроенных иначе: 84, 187, 205.

Общая формула для всех решений — это отдельная история.

Лекция 3

Сказки о тройках

А.С.: Сейчас мы немного вернемся к теореме Ферма и Диофанту с его тринадцатью томами. Шесть сохранившихся томов, как я уже рассказывал, были изданы, после чего попали в руки Ферма. Ферма читал труд Диофанта и оставлял замечания на полях книг. Так вот, в том месте, где Диофант полностью разбирает классическую задачу о прямоугольных треугольниках, рукой Ферма была на полях сделана заметка: «В то же время никак нельзя разложить куб в сумму двух кубов». На нашем языке это звучит так: уравнение вида x³ + у³ = z³ не имеет решений в целых числах.

Далее у Ферма стоит запятая, и он продолжает: «Никакую четвертую степень — на сумму двух четвертых степеней, и вообще никакую фиксированную степень — в сумму двух таких же степеней». Далее он пишет восхитительную фразу, за которой математики гонялись 357 лет. Он пишет: «Я нашел тому факту поистине удивительное доказательство, но поля этой книги недостаточно широки, чтобы его вместить». Эта запись рукой Ферма была в экземпляре трудов Диофанта. Этот комментарий был единственным случаем в истории, когда утверждение Ферма не удалось доказать за разумный период времени, спустя 20–30 лет. Один раз Ферма ошибся, но он не утверждал определенно. В случае с простыми «числами Ферма» он написал «по-видимому, они простые». В случае с рассматриваемой нами теоремой Ферма написал, что нашел доказательство. Он упомянул об этом в 1637 г., а в 1994 г. ее доказали. Мы сидели на семинаре по алгебре. Пришел преподаватель и сказал: «У меня для вас потрясающая новость — доказана великая теорема Ферма». Все решили, что это розыгрыш, не может такого быть. Мы учимся на мехмате, и при нас происходит историческое событие. Если быть точнее, теорему доказал Эндрю Уайлз в 1993 г. Но затем в доказательстве им самим была найдена ошибка, которую Уайлз вместе с Ричардом Тейлором исправляли полгода. Поэтому окончательно теорема была доказана в 1994 году. Некоторое время были сомнения, и в 1996–1997 гг. не все были убеждены в том, что это свершилось, так как понять это доказательство могли лишь немногие из математиков. Сегодня можно утверждать, что понимают доказательство этой теоремы человек 500 в мире, детально — около 100 человек. Ежу понятно, что Ферма подобного доказательства выдумать не мог. Следовательно, или Ферма один раз ошибся, или мы до сих пор не знаем простого доказательства этой теоремы. Математики предпочитают соглашаться с первым утверждением, ибо второе позорно для всего человечества.

Ферма не оставил доказательства общего случая, но сохранились записи изящного доказательства для частного случая, для n = 4, гласящего, что уравнение x⁴ + у⁴ = z⁴ не имеет нетривиальных решений в целых числах.

Я не буду приводить этого доказательства, хотя оно и не очень сложное. Оно использует приемы делимости, что возвращает нас к нашей первой задаче (найти все пифагоровы тройки).

Итак, теорема Ферма: уравнение хⁿ + уⁿ= zⁿ не имеет решений в натуральных числах. Давайте посмотрим, каким может быть число n.

Это число можно разложить на множители. Есть такая теорема, называется «Основная теорема арифметики», которая утверждает, что любое натуральное число можно единственным образом, с точностью до перестановки множителей, разложить в произведение простых чисел. Смотрим, делится ли n на 2. Делим, пока делится, получаем 2 в какой-то степени и оставшийся нечетный множитель. Если оставшийся множитель не простой, то мы раскладываем его дальше, пока не получим произведение простых чисел.

Например,

n = 2^mn₁n₂ = 25 · 17 · 7 = 3808.

Почему процесс разложения на множители не может продолжаться до бесконечности? Каждый раз, когда мы раскладываем на множители, числа становятся всё меньше и меньше. Нельзя бесконечно долго уменьшать натуральное число. Это аксиома Архимеда, но для человека разумного это — очевидное утверждение.

Переименуем простые множители в p. Математики любят обозначать простые числа буквой p от английского «prime»:

n = 2^mp₁p₂p₃ ... p_k.

Некоторые из множителей могут встречаться несколько раз. А может быть, у n есть какие-то другие множители, которые здесь не перечислены, и в результате оно одновременно равно какому-то другому произведению:

n = 2^mp₁p₂p₃ ... p_k = q₁q₂q₃ ... q_k

Может ли такое быть, чтобы одно и то же число раскладывалось на простые множители «существенно по-разному» (несущественное отличие — например, 2 · 3 · 5 и 3 · 5 · 2)? Интуиция подсказывает, что нет, и интуиция права. Но доказать это аккуратно довольно сложно. Мы в это просто поверим и не будем проходить этой тернистой дорогой. Что же следует из единственности разложения на простые множители?

Есть два варианта. Либо у n есть хотя бы один нечетный простой делитель, то есть в записи:

n = 2^mp₁p₂p₃ ... p_k

хотя бы одно p — нечетное. Второй вариант состоит в том, что ни одного нечетного числа нет. Поговорим сперва о втором варианте. Что можно сказать про n в этом случае? То, что n является степенью двойки. Если n = 2, мы получаем задачу про Пифагоровы треугольники, которую скоро решим в этой лекции. Если n ≠ 2, то оно представимо в виде 4 · k. Высшая степень двойки — это либо 4, либо 8 = 4 · 2, либо 16 = 4 · 4 и так далее. Получаем следующее уравнение:

x^4k + y^4k = z^4k,

но, как известно,

x^4k = (x^k)⁴,

откуда получаем

(x^k)⁴ + (y^k)⁴ = (z^k)⁴.

Если бы можно было решить это уравнение, то три натуральных числа х^k, у^k и z^k образовали бы решение задачи Ферма x⁴+у⁴ = z⁴.

Но Ферма доказал, что такое уравнение не имеет решений в целых числах, строго больших нуля.

Поэтому случай теоремы Ферма для чисел n, являющихся какой-то степенью двойки, сводится к n = 2. В других случаях решений нет.

Вспомним, какой случай мы еще не рассмотрели: n содержит нечетный простой делитель p, n ≠ 1 (кстати, 1 тоже является степенью двойки), то есть n = pk. Тогда:

(x^k)^p + (y^k)^p = (z^k)^p.

Получается, что если у n есть простой нечетный делитель p, то несуществование решения уравнения Ферма с показателем n сводится к несуществованию решения уравнения степени p.

То есть теорема Ферма сводится к исследованию уравнения простой нечетной степени. И если мы знаем, что ни при каком простом нечетном n уравнение хⁿ + уⁿ = zⁿ не имеет решения, то оно не имеет решения и ни при каком другом n ⩾ 3. А теперь — история вопроса.

Про уравнение второй степени было известно уже древним индусам. Уравнение третьей степени оказалось более сложным. Почти полное решение, которое потом довели до конца, было получено Леонардом Эйлером. В лекции 4 я расскажу, каким изящнейшим путем доказывается теорема несуществования для некоторого уравнения третьей степени (не связанного напрямую с теоремой Ферма), но сначала про пятую степень: