Алексей Савватеев – Математика для гуманитариев. Живые лекции (страница 37)

Так вот, в листочке номер 6 (совершенное число!), в задаче под номером 6 (sic!) речь шла о совершенных числах. Было дано их определение, а затем сформулированы три пункта: пункт 6(a) предлагал доказать, что любое четное число вышеуказанного вида является совершенным, если число (2^k+1 − 1) простое; пункт 6(б) шел со звездочкой, и в нём требовалось доказать, что других четных совершенных чисел не существует; и наконец, пункт 6(в) шел с тремя (!!) звёздочками, и в нём предлагалось доказать, что нечетных совершенных чисел не существует.

Никогда до этого ни в одном листочке не было задачек с тремя звездочками. Редкие задачки с двумя звездочками вызывали нездоровую конкуренцию математических самцов в нашем классе за то, кто быстрее решит очень сложную задачку и покрасуется перед немногими и потому особенно драгоценными для нас одноклассницами.

Увидев задачку с тремя звездочками, я бросил всё и два выходных подряд пытался ее решать.

Я исписал две общие тетради (кто постарше — помнит, что это такое!!!). В понедельник я шел в школу с опущенной головой, уже представляя себе Рому Безрукавникова, Сашу Сидорова или Сашу Стояновского у доски, взахлеб рассказывающими решение этой задачи.

Интернета в те годы не было. Поэтому неудивительно, что всё принималось за чистую монету. Саша Шень (один из моих учителей в школе 57) стоял у стола, народ потихоньку собирался. Я подошел к нему, швырнул на стол свои тетрадки и сказал: «Сдаюсь».

«Ничего удивительного, — ответил Саша, — это пока что нерешенная математическая проблема. Мы дали на авось — вдруг кто-нибудь из вас изловчится и решит?..»

С тех пор прошло много лет, а воз и ныне там — до сих пор неизвестно, существуют ли нечетные совершенные числа, или их нет совсем. Примера нет, но и доказательства несуществования — тоже нет. Конечно, компьютер перебирает уже лет 50–70 одно за другим и проверяет, но к абсолютному доказательству такая проверка будет иметь отношение только в том случае, если вдруг какое-то нечетное число и впрямь окажется совершенным.

Вернемся теперь к проблеме Мерсенна — точнее, к ее «близнецу». Про числа вида (2^k + 1) (которые, кстати, использовал Гаусс при построениях!) известно довольно много.

Фокус состоит в том, что такое число простым может быть только в том случае, если k тоже является степенью двойки! И сейчас я это докажу.

Теорема. Если число (2^k + 1) — простое, то k = 2^l, то есть исходное число, имеет вид 

Доказательство. Для доказательства нам потребуется один факт из школьной программы:

x³ + 1 = (х + 1)(x² − x + 1).

Вместо х можно подставить любое число. 2³ + 1,З³ + 1,4³ + 1 раскладываются на такие множители. На самом деле раскладывается любая нечетная степень плюс один, например, x⁵ + 1:

x⁵ + 1 = (x + 1)(x⁴ − x³ + x² − x + 1).

А четную степень плюс один таким способом разложить не получится.

Предположим, что k не является степенью двойки. Это означает, что у него есть нечетный простой делитель. У каждого числа есть какие-то простые делители. У некоторых чисел есть нечетные простые делители, у некоторых нет. Если у кого нет нечетных простых делителей, значит, это число делится среди простых чисел только на 2. Потому что все остальные простые числа нечетные. Но если число делится среди простых только на 2, то оно, очевидно, есть степень двойки. Если же у него хотя бы один множитель будет нечетный, то я сделаю с ним следующее.

Предположим, что k не является степенью 2, тогда k равно некоторому нечетному числу p умножить на какое-то число t: k = pt. Что же такое теперь 2^k + 1?

Я разложил 2^k + 1 на множители, очевидно отличные от 1 и даже положительные, значит, простым оно быть не может.

Поэтому число 2^k +1 может быть простым только в том случае, если k = 2^l — степень двойки.

Пьер Ферма полагал, что все такие числа простые. Это была гипотеза Ферма. Он написал в свей тетрадке «мне кажется, что все эти числа простые». Он не был уверен, ему только казалось. Первое такое число: 2² + 1 = 5 — простое. Следующее: 2⁴ +1 = 17 — простое. Дальше, 2⁸ +1 = 257 — простое, 2¹⁶ +1 = 65537 — простое.

Однако уже следующее число такого вида оказалось составным. Ферма ошибся. Но, вообще, Ферма обычно не ошибался. Есть такой принцип, «Ферма ни разу не обманул»[33]. Все утверждения, которые он сделал с пометкой «это удалось строго доказать», впоследствии были доказаны. Он не оставлял доказательств, предлагая поверить ему на слово. Однако, в этом конкретном случае он написал: «мне кажется». И таки нет: 2³² + 1 раскладывается на множители. Единственным исключением из «правила Ферма» была великая теорема Ферма, ее никак ни могли доказать. Но потом она тоже перестала быть исключением. Ее тоже доказали. Проблема только в том, что то доказательство, которое сейчас существует, ни при каких условиях не мог выдумать сам Ферма. Оно содержит настолько сложную математику, которую Ферма не мог знать. Но ведь могло быть, что Уайлз (доказавший Великую Теорему Ферма в 1993–1994 годах) «ехал из Москвы в Питер через Киев», а Ферма ехал напрямую. Никто этого не знает наверняка!

Давайте вернемся к числам n = 3, 5, 17, 257, 65537,... . Их назвали простыми числами Ферма. Они замечательны тем, что такие правильные n-угольники строятся циркулем и линейкой. Первый нетривиальный из них, 17-угольник, построил ещё Гаусс. А затем Ванцель доказал следующую общую теорему: правильный n-угольник может быть построен с помощью циркуля и линейки в том и только том случае, если в разложение числа n на простые множители (единственное, в силу Основной Теоремы Арифметики!) входят только степени двойки, а также простые числа Ферма: n = 2^kp₁p₂...p_r, где все простые числа p_l имеют вид

Этой теоремой Ванцель вплотную подобрался к современному разделу математики, который называется «теория полей». Математики очень любят такие интересные объекты: поля, группы и кольца. Каждое из этих слов носит строгий математический смысл, совершенно не тот, который они носят в разговорном русском языке. Еще есть термин «идеал», и даже такое понятие, как «кольцо главных идеалов».

А сейчас будет рассмотрена одна старинная проблема. Она описана Диофантом в одном из шести сохранившихся томов его произведений: найти все прямоугольные треугольники с целыми сторонами.

Итак, есть прямоугольный треугольник (см. рис. 131). Согласно теореме Пифагора, доказанной геометрическим путем в первой части книги, отношения между сторонами а, b, с такого треугольника задаются формулой

a² + b² = c².

Таким образом, нам нужно найти все целочисленные тройки а, b, с, удовлетворяющие данному квадратному уравнению. При решении этой задачи мы будем пользоваться одной школьной формулой сокращенного умножения, а именно формулой

a² − b² = (a − b)(a + b).

Давайте докажем эту формулу геометрически (аналогично тому, как в первой части книги мы доказали геометрическим путем саму теорему Пифагора).

Рис. 131

Прежде чем приступить к решению этой задачи, давайте немного отвлечемся и вспомним формулу сокращенного умножения

а² − b² = (а − b)(а + b).

Давайте докажем тождество а² + b² = с² геометрически.

Нарисую квадрат со стороной а. И вырежу из него квадратик со стороной b.

а² − b² = (а − b) (а + b)

Рис. 132. Формула сокращенного умножения «в картинках».

Я хочу узнать, чему равна остающаяся площадь? Для этого я отрезаю прямоугольник и приставляю его снизу. Получаю прямоугольник со сторонами а − b и а + b и площадью (a − b)(а + b).

Итак, с одной стороны оставшаяся площадь равна а² − b². С другой стороны (а − b)(а + b). Значит, a²− b² = (а − b)(а + b). Тождество доказано.

А что такое прямой угол?

Слушатель: 90 градусов.

А.С.: А если кто-то прилетел с Марса, как ему объяснить, что значит «прямой угол»?

Есть безупречное определение прямого угла. Это такой угол, который, если вырезать его из бумаги и приставить к самому себе, даст развернутый угол (рис. 133).

Рис. 133. Слева — исходный угол, справа — приставлена к нему копия этого угла, вырезанного из бумаги. А внизу получилась сплошная прямая линия. Как говорится, ясно даже марсианину…

Развернутый угол — это прямая. Прямой угол — это половина развернутого угла. Это выводит нас на очень интересный вопрос: что имел в виду Евклид, когда писал, что все прямые углы равны между собой? Что такое «равны»? Есть одно очень важное понятие — движение. Движение — преобразование, которое сохраняет расстояние между парами точек. Мы всегда можем померить расстояние между точками на плоскости. Потом мы можем плоскость поворачивать, отражать, двигать — главное, чтобы расстояние между точками не менялось. Так вот «равны» — это всегда означает «совмещаются движением».

В 1872 году знаменитый немецкий математик Феликс Клейн выступил с так называемой «Эрлангенской программой». Он сказал, что геометрия — это наука о том, какие свойства фигур не меняются при «разрешенных преобразованиях». В частности, школьная геометрия — это наука о том, какие свойства фигур не меняются при движениях. Но преобразования бывают и более общего рода: растяжение, инверсия. Есть много разных преобразований. И высокая геометрия, геометрия Лобачевского, сферическая геометрия — это всё примеры того, как мы следуем Эрлангенской программе Клейна. То есть геометрию можно охарактеризовать как науку о свойствах фигур, которые не меняются при преобразованиях.