Алексей Савватеев – Математика для гуманитариев. Живые лекции (страница 35)

Таким образом, на сфере (в частности, на поверхности Земли) справедлив Признак равенства треугольников по трем углам. Это можно доказать совершенно строго. (Почему же люди, — даже такие, как Евклид, — этого не замечали? Потому, что их жизненный геометрический опыт ограничивался наблюдением малых участков поверхности Земли — и они казались плоскими.) На сфере вообще много чудес. Например, на сфере, радиус которой равен 1, площадь треугольника равна сумме углов (в радианах) минус π. Вот такая вот теорема. Это всё очень красивые результаты сферической геометрии. То есть в «абы-как заданной геометрии» все привычные нам утверждения не обязательно верны. Была разработана целая наука, объединенными усилиями многих ученых было выведено двадцать утверждений, эквивалентных пятому постулату. Но никакого прямого (логического) противоречия в его отрицании не было. В начале XIX века Гауссу написал письмо венгерский математик Янош Бойяи. Он писал, что разработал геометрию без пятого постулата, не видит в ней никаких противоречий и спрашивал, что ему делать. А Гаусс ответил, что знает, что там нет противоречий, но сказать этого вслух нельзя, потому что «мы разворошим осиный улей, и нас искусают осы». Однако великий русский математик Николай Иванович Лобачевский, ректор Казанского университета, в 1829 году написал: «Геометрия, разработанная мною, не только не противоречива, а на самом деле всё именно так и происходит во Вселенной». Когда Гаусс узнал, что Лобачевский не побоялся и опубликовал свои результаты, он сразу предложил выбрать Николая Ивановича в иностранные члены германской академии наук и перестал скрывать свои разработки в этой области. Лобачевский построил геометрию с огромным количеством теорем. В частности, одна из теорем гласила, что сумма углов в ЛЮБОМ треугольнике меньше 180 градусов! Он даже пытался мерить углы между звездами, чтобы доказать, что сумма углов треугольника хоть чуть-чуть, да меньше ста восьмидесяти градусов. В одной из современных космологий всё именно так и устроено (но для проверки этого надо делать замеры не в масштабах Земли, а в гораздо больших масштабах). Итак, у любого треугольника в геометрии Лобачевского сумма углов меньше 180°. И площадь треугольника равна сто восемьдесят градусов минус сумма углов. То есть сферическая геометрия как бы «выпуклая», а геометрия Лобачевского — вогнутая. Современная топология многим обязана Лобачевскому, потому что он открыл этот «ящик Пандоры». Подведем итог «поумнения» человечества в результата исследований 5-го постулата Евклида.

Возможны три типа «геометрий»: 1) геометрия Евклида (сумма углов любого треугольника равна 180°); 2) геометрия того типа, который исследовал Лобачевский (в ней через точку, взятую вне прямой, проходит МНОГО прямых, не пересекающих данную; в любом треугольнике сумма углов меньше 180°); 3) геометрия того типа, который исследовал Риман (через точку, взятую вне прямой, не проходит НИ ОДНОЙ прямой, не пересекающей данную; в любом треугольнике сумма углов больше 180°).

И все эти геометрии логически непротиворечивы!

Лекция 2

Простые числа: таблица Менделеева натурального ряда

А.С.: Сейчас мы вернемся к Евклиду. Он был не только геометром, но также еще доказал замечательный факт из теории чисел. А именно, что простых чисел — бесконечное количество[30].

Давайте сначала поговорим о том, как устроено математическое доказательство, и по каким канонам его можно создавать. Сейчас будет проведено классическое рассуждение от противного. Что такое «от противного»? Давайте представим, что наше утверждение — неверное. Что тогда? Тогда количество простых чисел конечно. Но если их конечное количество, их можно просто перечислить. Какое первое простое число?

Слушатель: Ноль.

А.С.: Нет. Ноль не является простым числом. Ноль вообще исключают при рассуждениях о делимости. На ноль не любят делить. Потому что, если вы делите на ноль что-то отличное от нуля, у вас не получится ничего. А если вы делите ноль на ноль, то у вас получится «сразу всё».

Что такое «разделить» одно число на другое? Скажем, что такое разделить 6 на 3? Это значит найти такое число, которое при умножении на 3 дает 6. Это число 2. А если вы 5 разделите на 3, получится дробное число, среди целых чисел его не найти. Содержательная теория делимости, в частности понятие простого числа, относится только к целым числам. Если вы рассматриваете все дроби, делимость совершенно бессмысленна. Потому что любую дробь можно разделить на любую, главное только на 0 не делить. Но если вы формально попробуете разделить, например, 5 на 0, то вы должны найти такое число, которое при умножении на ноль даст 5. Но вы явно не преуспеете в этом, потому что, какое бы вы число ни взяли, при умножении на 0 оно даст 0. Поэтому 5 на 0 разделить нельзя в принципе. А можно ли разделить 0 на 0? Нужно найти такое число, которое при умножении на ноль дает ноль.

Слушатель: Ноль.

Другой слушатель: Любое.

А.С.: Любое. То есть ноль на ноль, формально говоря, можно разделить, но в результате получится любое число, это математикам тоже не нравится, поэтому решили договориться так, что на ноль просто не делят. А ноль можно разделить на что-нибудь?

Слушатель: На всё, кроме нуля.

А.С.: Да. И что получится?

Слушатель: Ноль.

А.С.: Только ноль. Да. Ноль можно разделить на что угодно, кроме нуля. В ответе всегда будет ноль.

Теперь число единица. Единицу тоже не считают простым числом, потому что на единицу делится любое число.

Итак, первое простое число — 2. Оно делится только на себя и на единицу. Больше четных простых чисел нет, потому что все остальные четные числа делятся на 2. Следующее простое число — это 3, затем число 5. Вот как выглядят первые простые числа:

P₁ =2, Р₂ = 3, Р₃ = 5,

а далее

7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, …, P_N.

Если утверждение Евклида неверно, то есть если простых чисел конечное число, то в какой-то момент выпрыгнет последнее простое число. Обозначим его за P_N. Получается, что количество простых чисел равно N.

Если Евклид неправ, то значит существует последнее простое число, а каждое из следующих чисел делится на какое-то из предыдущих простых чисел. Потому что если число делится на какое-то число, то оно и на простое число тоже делится, просто нужно делить, делить — пока не дойдете до простого. Давайте теперь составим произведение: 2 · 5 · 7 · 11 · 13 · … · P_N (точка — знак умножения).

Если N имеет порядок, например, нескольких миллиардов, то в этом произведении стоит несколько миллиардов множителей, которые нужно друг на друга умножить. Но натуральный ряд так устроен, что к любому, сколь угодно большому числу можно прибавить 1.

Так что давайте посмотрим на следующее натуральное число:

2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 · … · P_N + 1.

Оно не может делиться ни на какое из предыдущих простых чисел, потому что наше произведение от 2 до P_N делится на все предыдущие, а если еще единичку прибавить, то делимость сразу уйдет. Если что-то, например, на 3 делится, то следующее число уже на 3 не делится. Поэтому, число 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 ·… · P_N + 1 заведомо не может делиться ни на 2, ни на 3, ни на 5 и так далее… То есть оно всегда дает остаток 1 при делении на все простые числа. Оно нацело ни на что не разделится. Значит, оно простое. Противоречие. Следовательно, простых чисел бесконечное количество.

Некоторое время, правда, недолго, ученые думали, что таким образом можно получить рецепт изготовления простых чисел.

2 + 1 — простое число.

2 · 3 + 1 — простое,

2 · 3 · 5 + 1 — простое,

2 · 3 · 5 · 7 + 1 — простое,

2 · 3 · 5 · 7 · 11 + 1 — простое,

2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 + 1 — уже не простое (30031), так как оно делится на 59.

Рецепт не работает.

Мы знаем, что простые числа в натуральном ряду чисел встречаются в бесконечном количестве. А теперь вопрос, как они распределены? Можно ли тут какие-то закономерности установить? Насколько часто или редко они встречаются?

Рассмотрим такое произведение

1 · 2 · 3 · 4 · 5 · … · 100 = 100! (называемое «сто факториал»).

100 факториал — это произведение подряд идущих натуральных чисел от 1 до 100.

Это — огромное число, его невозможно себе даже представить, но все-таки где-то в натуральном ряду оно есть. Следующее за ним число 100! + 1, потом 100! + 2. Это число будет делиться на 2. Потому что 100! делится на 2, и 2 делится на 2. 100! + 3 делится на 3, 100! + 4 делится на 4 и на 2, 100! + 5 делится на 5.

И так до ста. 100! + 100 будет делиться на 100. Получается, что цепочка от 100! + 2 до 100! + 100 — из 99 натуральных идущих подряд чисел простых чисел в себе не содержит. Можно ли сконструировать то же самое, но для 1000 подряд идущих непростых чисел? Конечно. Берете 1001! то есть произведение всех чисел от 1 до 1001, прибавляете 2, 3, 4 и так далее до 1001. Вот вам 1000 подряд идущих чисел, среди которых нет простых. Значит, регулярности в проявлении простых чисел ожидать нельзя. Промежутки между соседними простыми числами могут быть сколь угодно большими. Можно ли сказать что-то про то, насколько маленькими они могут быть?

Слушатель: Единица — минимальный промежуток.

А.С.: Единица. Но она встречается только в самом начале, между 2 и 3. Потому что из двух соседних чисел одно обязательно четное, а значит — не простое (кроме случая 2 и 3). Получается, что минимальное расстояние между соседними простыми числами, начиная с числа 3, равно 2.