Условия задачи следующие: по земле быстрее бегает ученик; а пока он в воде, его скорость V в четыре раза меньше скорости бега учителя W, т. е. V = W/4
Вопрос. Кто победит? Строгое решение, которое я придумал на олимпиаде, состоит в следующем. Нам дано, что скорость ученика в воде в четыре раза меньше скорости учителя на берегу. Давайте нарисуем окружность в четыре раза меньшего радиуса, чем бассейн. Ученик по этой окружности плывет ровно с такой же угловой скоростью, с которой учитель бегает по берегу (рис. 125).
Рис. 125. Учитель пыхтит, ученик плывет не торопясь.
Если я еще чуть-чуть уменьшу окружность, угловая скорость ученика будет больше угловой скорости учителя. Тогда через некоторое время можно добиться того, что учитель и ученик будут на противоположных сторонах (рис. 126).
Рис. 126. Вот так и спасся ученик. А если бы бассейн был квадратный?
В этот-то момент ученик и рванет к берегу. Ему надо проплыть 3/4 радиуса, а учителю пробежать π радиусов (так как это как раз длина полуокружности). Затраченное на это время равно 0,75/V = 4 · 0,75/W для ученика и π/W для учителя. Но 4 · 0,75 = 3 < π. Значит, ученик спасется.
Как, кстати, можно доказать, что π > 3? Если я докажу, значит, ученик сможет убежать. Что такое «пи»? Это длина половины окружности единичного радиуса. Как можно эту длину пощупать?
Был такой древний грек Евклид. Он сформулировал несколько принципов работы с геометрией — пять постулатов (то есть правил, справедливость которых очевидна). Вот четыре из них: 1) между двумя любыми точками можно провести прямую, 2) любую прямую можно неограниченно продолжать в любую сторону, 3) из любой точки любым радиусом можно нарисовать окружность, 4) все прямые углы равны. В формулировке употребляется слово «равенство». Несмотря на то, что оно так просто звучит, это — чрезвычайно сложная математическая концепция.
Первые двадцать восемь теорем книги Евклида «Начала» были сформулированы и доказаны только с использованием четырех постулатов. Он чувствовал, что с пятым постулатом что-то не так. Сейчас я его сформулирую: через любую точку, не лежащую на данной прямой, можно провести, прямую, параллельную данной, и только одну. То есть прямую, которая не будет пересекать данную. У этого постулата длиннющая интереснейшая история.
Вернемся к числу π. Окружность — это кривая, соединяющая две точки. Так вот, по одной из аксиом Евклида, отрезок прямой, который соединяет две точки, короче любой кривой, их соединяющей. Рассмотрим вписанный шестиугольник. Каждая сторона правильного шестиугольника равна радиусу, то есть 1 (рис. 127).
Рис. 127. Почему π больше трех.
Он дает нижнюю оценку для числа π. Число π больше суммы трех сторон шестиугольника. А это как раз три. Так что ученик точно спасется от учителя-преследователя.
Чтобы точнее оценить значение π, достаточно привести в пример какой-нибудь правильный вписанный многоугольник, у которого сумма половины сторон еще больше, например, правильный 8-угольник. Сейчас мы найдем сумму его 4 сторон. Тогда само число π должно быть еще больше полученного значения.
Правильный 8-угольник, вписанный в круг радиуса 1, может быть разбит на 8 одинаковых равнобедренных треугольников с единичными боковыми сторонами и с углом 45° между ними. Отсюда легко подсчитать (с помощью так называемой «теоремы косинусов») что сторона этого 8-угольника имеет длину √(2-2√2). Значит, сумма четырех его сторон равна ≈ 3,0615. Следовательно, точное значение π превосходит 3,0615.
А для того, чтобы оценивать число π всё точнее и точнее, нужно «увеличивать число сторон до бесконечности».
Рассмотрим еще один пример бесконечности. Будем суммировать числа, обратные к квадратам натуральных чисел:
1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + ... .
Эта сумма коночная по величине, но бесконечная но количеству слагаемых. (В отличие от суммы 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ..., которая неограниченно возрастает по величине по мере увеличения количества слагаемых.) В принципе, оба утверждения совершенно неочевидны, так как мы не знаем, каким правилам подчиняются суммы с неограниченным количеством слагаемых. Сейчас я докажу, что сумма обратных квадратов натуральных чисел не может превышать числа «2».
Рассмотрим квадрат со стороной 1. Его площадь также равна 1. Теперь рассмотрим квадрат со стороной 1/2, а площадью 1/4 (рис. 128). Площадь следующего квадрата со стороной 1/3 равна 1/9.
Рис. 128. Геометрический смысл исходной суммы.
Нам нужно слагаемое 1/9, но я возьму с запасом. Вместо квадрата со стороной 1/3 рассмотрю квадрат со стороной 1/2. И, значит, с площадью 1/4. Понятно, что если новая сумма будет конечной, то и исходная тоже должна быть конечной, потому что я увеличил третье слагаемое.
Что я сделаю дальше? 1/16, 1/25, 1/36, 1/49 все заменю на 1/16. От этого сумма опять увеличится. А что такое одна шестнадцатая? Это площадь квадрата со стороной 1/4. Получаем 4 квадратика, так как мы поменяли четыре прежних слагаемых на четыре раза по 1/16 (рис. 129).
Рис. 129. Геометрический смысл увеличенной суммы. Как известно, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + … = 1.
Следующие восемь слагаемых я заменю на 1/64. И они займут еще одну полосочку, вдвое меньшей ширины, чем предыдущая.
Следующие шестнадцать слагаемых — еще одна полосочка и так далее. Итоговая сумма вся, целиком, будет меньше, чем площадь двух изначальных квадратов. Потому что каждая следующая полосочка по ширине вдвое меньше предыдущей. Поэтому вся сумма не больше двух (рис. 129).
Но хотелось бы узнать, чему она на самом деле равна. Ее посчитал Леонард Эйлер. Один из величайших математиков в истории человечества. Он выяснил, что сумма обратных квадратов равна π2/6 ≈ 1.6449. И доказал это с помощью дифференциального и интегрального исчисления. Дифференциальное и интегральное исчисления совершают чудеса. Потому что дифференциальное и интегральное исчисления — это способ простого перешагивания через бесконечность. Как устроено доказательство? Примерно так: предположим, что сумма меньше π2/6. Тогда она меньше на некоторую величину. Но этого быть не может: мы можем взять так много членов этой суммы, что разница между ней и числом π2/6 была меньше любого наперед заданного числа, в том числе и этой величины. Про бесконечную сумму обычно показывают, что она не может быть больше какого-то числа по одним соображениям, и меньше — по другим. На самом деле в доказательстве используются намного более сложные соображения, связанные с математическим анализом, которые и показывают, что эта сумма в точности равна π2/6.
Другая потрясающая страница развития математики связана с пятым постулатом Евклида. Евклид сформулировал пять постулатов. Но многие теоремы он доказал, не используя пятого постулата. Из-за этого геометры стали думать, что пятый постулат на самом деле не постулат, а теорема, и он должен следовать из предыдущих четырех. С античных времен до середины XIX века ученые пытались доказать это. Сначала пытались вывести этот постулат из других, а потом пошли от противного: допустим, 5-й постулат НЕВЕРЕН. Что из этого будет следовать? Некоторых ученых интересовал вопрос: может быть, нам только кажется, что через данную точку можно провести только одну прямую, параллельную данной. А на самом деле, если рядом через эту же точку нарисовать еще одну прямую (почти неотличимую от первой), она тоже будет параллельна данной (только мы этого не можем разглядеть) (рис. 130).
Рис. 130. Этот пятый постулат дал им всем прикурить!
Значит, если так, то должна быть какая-то непротиворечивая геометрия, в которой пятый постулат будет заменен на альтернативный. Например, что через данную точку можно провести как минимум две прямые, не пересекающие исходную. И вот ученые начинают пытаться привести к логическому противоречию такое предположение. И каждый из них, обнаружив какие-то необычные следствия, говорит: ну а это уже полный абсурд. Например, пятый постулат эквивалентен утверждению, что сумма углов треугольника равна 180°. И, если пятый постулат неверен, то в такой геометрии не существует ни одного треугольника с суммой углов, равной 180°. Ну, это же абсурд! Значит, — говорили ученые, — всё доказано. Никто не замечал, что абсурд наступает исключительно из-за непривычности этих следствий, а не как логическое противоречие. Возьмите сферу и посмотрите, какая будет сумма углов у треугольника на сфере. Она всегда БОЛЬШЕ 180 градусов (нарисуйте треугольник на глобусе и убедитесь в этом! Только учтите, что «прямой» на глобусе является кратчайший путь, то есть «дуга большого круга»). Этот пример показывает, что логических противоречий в таком факте нет.
Следующий шаг работы математиков привел к эквивалентности пятого постулата и утверждения, что существует хотя бы два подобных, но не равных друг другу треугольника. Опять же, на сфере нет такого понятия, как «подобие фигур». Абсолютно нетривиальное утверждение про поверхность нашей планеты. Нарисуем два треугольника на поверхности земного шара, или на глобусе, например, треугольник Москва — Лондон — Иркутск и треугольник (Нью-Йорк) — (Лос-Анджелес) — (Рио-де-Жанейро). Если мы измерим углы у этих двух треугольников и, например, обнаружим, что они попарно равны друг другу, то и сами треугольники окажутся равными, то есть совмещающимися движением сферы — поворотом, отражением или их композицией[29]. А тогда и соответствующие стороны у них будут равными, то есть попарные расстояния между городами окажутся одинаковыми! (Разумеется в приведённоми выше примере это не так.)
